"මෙ මාගේ අවසන් අධිෂ්ඨානය යි." රථාරූඨ වූ රාවණ තමාට ම කියා ගත්තේය. "අද දින හිරු අස්ථංගත වන්ට පෙරාතු ව, සීතා හෝ මා අග බිසව මන්දෝදරී වැන්දඹුවක වන්නී ය. අපගේ මෙ සටන අවසානයෙහි අස්වාමික වූ සීතා, නෙ එසේ නම් මන්දෝදරී, මිහිතලයෙහි ධූලි මත වැතිර හඩා වැලපෙන්නී ය."
රාවණගේ අධිෂ්ඨානය වූ කලි දෙවියන් පවා චංචල කරවන්නක් විය. රාවණ සමග සටනට වදින්ට නම් සිය උපකාරය රාමට අවශ්‍ය බව දෙවියෝ වටහා ගත්හ. ඔව්හු ඉන්ද‍්‍රගේ රථය රාම වෙත එවූහ. එ විභූතිමත් රථය දැකීමෙන් රාම ප‍්‍රීති ප‍්‍රාමෝද්‍යයට පත් වූයේ ය. "මෙය කෙසේ නම් මෙතැනට පැමිණියේ දැ?" යි රාම රියැදුරාගෙන් විමසී ය.
"ස්වාමීනි! මම ඉන්ද‍්‍රගේ රථාචාර්යයා වන මාතලී වෙමි. විශ්වයේ මැවුම්කරු වන මුහුණු සතරක් ඇති මහාබ‍්‍රහ්මයාත් රාවණට ශක්තිය දුන් ශිවත් රාවණගේ අභියෝගය දැක ඔබ වෙත මෙ රිය එවූහ. කඳුහෙල් ගංගා මතින් වායු වෙගයෙන් ඉගිල යෑමෙ බලයක් මෙ රිය සතුව ඇතැ යි රියැදුරු කීවෙය."
මෙ වනාහි රාක්ෂසයන්ගේ තවත් ඉන්ද‍්‍රජාලයක් නො විය හැකි දැයි රාමට සිතිණ. ඔහු මෙ පිළිබඳ ව ලක්ෂ්මණගෙන් සහ හනුමාන්ගෙන් විමසීය. ඔව්හු ඒ වනාහි ඉන්ද‍්‍රගේ රථය ම යැයි නිගමනය කළහ. රාම දුලබ හී වලින් පිරුණු හියොවුරු දෙකක් උරහිසින් දරා ගෙන දුන්න ද අසිපත ද ගෙන ඉන්ද‍්‍රගේ රථයට නැගිණ.
දෙමළ රාමායණය
නව වන උල්ලාසය රාම-රාවණ සටන
ප‍්‍රතිකථනය මහාචාර්ය සුනිල් ආරියරත්න
[උපුටනය සහ අවධාරණය කර්තෘ විසිනි]
ක්වොන්ටම් යාන්ත‍්‍රිකයේ දෙවන සහ තුන්වන කල්පිතයන් කරා යන්නට ප‍්‍රථම යන්තමින් දැන ගත යුතු ගණිතමය පසුබිම් කීපයක් වෙ. එනම් සම්භාවිතාවෙ මූලික සංකල්ප, අයිගන් අගය සහ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යනු කවරෙදැයි යනුවෙනි.
සම්භාවිතාව, මෙ වචනය මහ ගාම්භීර වගක් ඇගෙව්වත් ඒකෙ නිර්වචන මොන තරම් සංකීර්ණ වුනත් අපේ ජීවිතවල නම් සම්භාවිතා භාවිතය හැම මොහොතකම නොදැනී නිරුත්සාහයෙන් නිරුපද‍්‍රිතව සිය කාර්යභාරය ඉටු කරමින් සිටියි. අප පුහුණු කළ නිරුත්සාහයික දැනුමකින් නිරන්තරව අප මනස කි‍්‍රයාත්මක වන වගට මෙ න්‍යායේ ස්වයංඋපයෝගීතාවය හඳුනා ගත හැකිය. උදාහරණයක් වශයෙන් අප තීරණ ගන්නා සෑම අවස්ථාවකම සම්භාවිතා න්‍යායන් උපයෝගී වන බව කිසිවෙකුත් සවිඥ්ඥාණික නොවන තරමට එය අප තුළ ක‍්‍රියාත්මක වෙ.අප යමක් පිළිබඳ තීරණයක් ගන්නේ අතිවිශාල සම්භාවිතා ගණනය කිරීමක් මනසින් සිදු කරමිනි. ඒ පිළිබඳ අප සංවෙදී නොවන්නේ එය සහජාසයෙන් සිදුවන්නක් තරමට අප එයට පුරුදු වී ඇති හෙයිනි. උදාහරණයක් ලෙස මෙ මොහොතේ මා ලියමින් සිටින මෙ ලියවිල්ල යමෙකු විසින් යම් මොහොතක කියවනු ඇතැයි යන උපකල්පනයේ පිහිටා ඔහු තුල මා මෙ අදහස ගොනු කළ යුතු අයුර සිතින් ගොඩ නගමිනි මෙ ලියන්නේ. එමෙන්ම මෙය කියවන්නා ද මෙ ලියවිල්ල තුල සැරිසරන්නේ මෙ සියලු අදහස් මතුපිට තමා මෙතෙක් නොදුටු නොඇසු යමක් මෙ දැන් හමු වනු ඇතැයි යන උපකල්පනයෙනි. උපකල්පන බිඳී ගිය විට අපට හමු වන්නේ ආශ්චර්ය්‍යයි. සියළු කියවීම් සොයා යන්නේ ද ආශ්චර්ය්‍යයි. අප යමෙකු මුණගැසීමට ගෙදරින් පිටත් වන්නේ ඔහු අහවල් ස්ථානයේ මෙ මොහොතෙ ඇතැයි යන උපකල්පනයෙනි. ඔහු එම ස්ථානයේ එම අවස්ථාවෙ නොසිටිය හොත් තවත් උපකල්පන රාශියකට අප සිත පෙළඹෙ. මෙ අයුරින් අප එදිනෙදා ජීවිතය තුල උපකල්පිත ලෝකයක් මවා ගෙන ජීවත් වෙමින් සිටිමු. උපකල්පන සියල්ලම සිදුවීමෙ අහඹුතාවය නමැති මිනුමෙන් රාශිගත වෙ. එනම් උපකල්පනයක් යනු සිදුවීමෙ හැකියාවකින් පෙළෙන්නකි. එම උපකල්පනයන් සත්‍ය වීමට ඇති ඉඩකඩ සම්භාවිතා ගණිතයෙන් විනිශ්චය නොකළ හැකි වුව ද ඒවා ද සම්භාවිතා ආකෘති මත පදනම් වූවා වු පැවතුම් වෙ. සමහර දේවල් සිදු වීමට උපකල්පන ඇවැසි නොවෙ. හෙට දවස මොන ආකරයකින් හෝ උදා නොවන්නෙ යැයි අපට උපකල්පන කිරීමට අවකාෂයක් නොවෙ. එය එතරම්ම ස්ථිරව දන්නේ යැයි අප සිතන නිසාය. එනමුදු එය ද උපකල්පනයක් ම පමණි. නමුත් එය ස්ථිර වශයෙන්ම සිදු වන බව දන්නා උපකල්පනයකි.
ස්ථිරවම සිදුවන බව දන්නා යම් සිදුවීමකට අප සම්භාවිතාවෙදී අගයක් දෙන්නේ 1 ක් වශයෙනි. නැතහොත් 100% ආකාරයෙන් ප‍්‍රතිශතයක් වශයෙනි. ඉන් හැගවෙන්නේ එම උපකල්පනය සැබෑ වීමෙ ඉඩකඩ සීයට සීයක් නිශ්චිත වගකි. සුලබ උදාහරණයම ගනිමු. හෙට ඉර පායන වග ට සම්භාවිතාවෙ අගය එක[1] කි. එය ස්ථිරය. තව වසර බිලියන ගණනකින් එලඹෙන දිනක මෙය වැරදි විය හැකි වුව ද එය මෙ කාල වකවාණුවට අදාලව වෙනස් සම්භාවිතා අගයක් ගන්නට තරම් ප‍්‍රභල සාධකයක් නොවෙ.
සමහර දේ උපකල්පනය කළ ද සිදු නොවන වග ඉඳුරාම දනිමු. එවැනි දේ සිදුවීමෙ සම්භාවිතාව ශූන්‍යය. කිසිදා සිදු නොවන දේක සම්භාවිතා අගය බිංදුවකි[0]. උදාහරණයක් ලෙස බටහිරින් හිරු පායා එමෙ සම්භාවිතාව ශූන්‍ය වෙ.
අනෙක් සියළු සිදුවීම් සිදුවිමෙ අගය මෙම අන්ත දෙක අතර විචලනය වෙ. සමහර දේවල් සිදුවීමෙ හැකියාවන් ගණනය කිරීමට දැන් මෙ දැනුම භාවිතා කළ හැකිය.
හෙට කොළඹ බෝම්බයක් පිපිරීමෙ සම්භාවිතාව ගිය මාසයේ එවැනි දිනෙක බෝම්බයක් පිපිරීමෙ සම්භාවිතාවට වඩා වැඩි යයි එම සිදුවීම් පිළිබඳ විශ්ලේෂණය කරන්නකු ට නිගමනය කළ හැකිය.
තවත් අයෙකුට එම නිගමනයම අනෙක් ආකාරයකට විනිස හැකිය. මෙ අයුරින් සම්භාවිතා අගයන් විවිධ ආකාරයෙන් නිශ්චය කිරීම අවිදග්ධ ආකාරයෙන් කළ හැකි වුව ද ගණිතයේ දී එම සැසඳීම් සිදුවන්නේ කිසියම් සම්භාවිතා අකෘතියක් තුළ ය.
ක්වොන්ටම් යාන්ත‍්‍ර විද්‍යාව තුල දි එම ගණනය කිරීම් සිදු වන්නේ ක්වොන්ටම් අවස්ථාව හෝ ක්වොන්ටම් අංකය හෝ ක්වොන්ටම් ශී‍්‍රතය පසුබිම් කරගෙනය.
රාවණගේ අධිෂ්ඨානය වූ කලි දෙවියන් පවා චංචල කරවන්නක් විය. රාවණ සමග සටනට වදින්ට නම් සිය උපකාරය රාමට අවශ්‍ය බව දෙවියෝ වටහා ගත්හ. ඔව්හු ඉන්ද‍්‍රගේ රථය රාම වෙත එවූහ. එ විභූතිමත් රථය දැකීමෙන් රාම ප‍්‍රීති ප‍්‍රාමෝද්‍යයට පත් වූයේ ය. "මෙය කෙසේ නම් මෙතැනට පැමිණියේ දැ?" යි රාම රියැදුරාගෙන් විමසී ය.
"ස්වාමීනි! මම ඉන්ද‍්‍රගේ රථාචාර්යයා වන මාතලී වෙමි. විශ්වයේ මැවුම්කරු වන මුහුණු සතරක් ඇති මහාබ‍්‍රහ්මයාත් රාවණට ශක්තිය දුන් ශිවත් රාවණගේ අභියෝගය දැක ඔබ වෙත මෙ රිය එවූහ. කඳුහෙල් ගංගා මතින් වායු වෙගයෙන් ඉගිල යෑමෙ බලයක් මෙ රිය සතුව ඇතැ යි රියැදුරු කීවෙය."
මෙ වනාහි රාක්ෂසයන්ගේ තවත් ඉන්ද‍්‍රජාලයක් නො විය හැකි දැයි රාමට සිතිණ. ඔහු මෙ පිළිබඳ ව ලක්ෂ්මණගෙන් සහ හනුමාන්ගෙන් විමසීය. ඔව්හු ඒ වනාහි ඉන්ද‍්‍රගේ රථය ම යැයි නිගමනය කළහ. රාම දුලබ හී වලින් පිරුණු හියොවුරු දෙකක් උරහිසින් දරා ගෙන දුන්න ද අසිපත ද ගෙන ඉන්ද‍්‍රගේ රථයට නැගිණ.
දෙමළ රාමායණය
නව වන උල්ලාසය රාම-රාවණ සටන
ප‍්‍රතිකථනය මහාචාර්ය සුනිල් ආරියරත්න
[උපුටනය සහ අවධාරණය කර්තෘ විසිනි]
ක්වොන්ටම් යාන්ත‍්‍රිකයේ දෙවන සහ තුන්වන කල්පිතයන් කරා යන්නට ප‍්‍රථම යන්තමින් දැන ගත යුතු ගණිතමය පසුබිම් කීපයක් වෙ. එනම් සම්භාවිතාවෙ මූලික සංකල්ප, අයිගන් අගය සහ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා යනු කවරෙදැයි යනුවෙනි.
සම්භාවිතාව, මෙ වචනය මහ ගාම්භීර වගක් ඇගෙව්වත් ඒකෙ නිර්වචන මොන තරම් සංකීර්ණ වුනත් අපේ ජීවිතවල නම් සම්භාවිතා භාවිතය හැම මොහොතකම නොදැනී නිරුත්සාහයෙන් නිරුපද‍්‍රිතව සිය කාර්යභාරය ඉටු කරමින් සිටියි. අප පුහුණු කළ නිරුත්සාහයික දැනුමකින් නිරන්තරව අප මනස කි‍්‍රයාත්මක වන වගට මෙ න්‍යායේ ස්වයංඋපයෝගීතාවය හඳුනා ගත හැකිය. උදාහරණයක් වශයෙන් අප තීරණ ගන්නා සෑම අවස්ථාවකම සම්භාවිතා න්‍යායන් උපයෝගී වන බව කිසිවෙකුත් සවිඥ්ඥාණික නොවන තරමට එය අප තුළ ක‍්‍රියාත්මක වෙ.අප යමක් පිළිබඳ තීරණයක් ගන්නේ අතිවිශාල සම්භාවිතා ගණනය කිරීමක් මනසින් සිදු කරමිනි. ඒ පිළිබඳ අප සංවෙදී නොවන්නේ එය සහජාසයෙන් සිදුවන්නක් තරමට අප එයට පුරුදු වී ඇති හෙයිනි. උදාහරණයක් ලෙස මෙ මොහොතේ මා ලියමින් සිටින මෙ ලියවිල්ල යමෙකු විසින් යම් මොහොතක කියවනු ඇතැයි යන උපකල්පනයේ පිහිටා ඔහු තුල මා මෙ අදහස ගොනු කළ යුතු අයුර සිතින් ගොඩ නගමිනි මෙ ලියන්නේ. එමෙන්ම මෙය කියවන්නා ද මෙ ලියවිල්ල තුල සැරිසරන්නේ මෙ සියලු අදහස් මතුපිට තමා මෙතෙක් නොදුටු නොඇසු යමක් මෙ දැන් හමු වනු ඇතැයි යන උපකල්පනයෙනි. උපකල්පන බිඳී ගිය විට අපට හමු වන්නේ ආශ්චර්ය්‍යයි. සියළු කියවීම් සොයා යන්නේ ද ආශ්චර්ය්‍යයි. අප යමෙකු මුණගැසීමට ගෙදරින් පිටත් වන්නේ ඔහු අහවල් ස්ථානයේ මෙ මොහොතෙ ඇතැයි යන උපකල්පනයෙනි. ඔහු එම ස්ථානයේ එම අවස්ථාවෙ නොසිටිය හොත් තවත් උපකල්පන රාශියකට අප සිත පෙළඹෙ. මෙ අයුරින් අප එදිනෙදා ජීවිතය තුල උපකල්පිත ලෝකයක් මවා ගෙන ජීවත් වෙමින් සිටිමු. උපකල්පන සියල්ලම සිදුවීමෙ අහඹුතාවය නමැති මිනුමෙන් රාශිගත වෙ. එනම් උපකල්පනයක් යනු සිදුවීමෙ හැකියාවකින් පෙළෙන්නකි. එම උපකල්පනයන් සත්‍ය වීමට ඇති ඉඩකඩ සම්භාවිතා ගණිතයෙන් විනිශ්චය නොකළ හැකි වුව ද ඒවා ද සම්භාවිතා ආකෘති මත පදනම් වූවා වු පැවතුම් වෙ. සමහර දේවල් සිදු වීමට උපකල්පන ඇවැසි නොවෙ. හෙට දවස මොන ආකරයකින් හෝ උදා නොවන්නෙ යැයි අපට උපකල්පන කිරීමට අවකාෂයක් නොවෙ. එය එතරම්ම ස්ථිරව දන්නේ යැයි අප සිතන නිසාය. එනමුදු එය ද උපකල්පනයක් ම පමණි. නමුත් එය ස්ථිර වශයෙන්ම සිදු වන බව දන්නා උපකල්පනයකි.
ස්ථිරවම සිදුවන බව දන්නා යම් සිදුවීමකට අප සම්භාවිතාවෙදී අගයක් දෙන්නේ 1 ක් වශයෙනි. නැතහොත් 100% ආකාරයෙන් ප‍්‍රතිශතයක් වශයෙනි. ඉන් හැගවෙන්නේ එම උපකල්පනය සැබෑ වීමෙ ඉඩකඩ සීයට සීයක් නිශ්චිත වගකි. සුලබ උදාහරණයම ගනිමු. හෙට ඉර පායන වග ට සම්භාවිතාවෙ අගය එක[1] කි. එය ස්ථිරය. තව වසර බිලියන ගණනකින් එලඹෙන දිනක මෙය වැරදි විය හැකි වුව ද එය මෙ කාල වකවාණුවට අදාලව වෙනස් සම්භාවිතා අගයක් ගන්නට තරම් ප‍්‍රභල සාධකයක් නොවෙ.
සමහර දේ උපකල්පනය කළ ද සිදු නොවන වග ඉඳුරාම දනිමු. එවැනි දේ සිදුවීමෙ සම්භාවිතාව ශූන්‍යය. කිසිදා සිදු නොවන දේක සම්භාවිතා අගය බිංදුවකි[0]. උදාහරණයක් ලෙස බටහිරින් හිරු පායා එමෙ සම්භාවිතාව ශූන්‍ය වෙ.
අනෙක් සියළු සිදුවීම් සිදුවිමෙ අගය මෙම අන්ත දෙක අතර විචලනය වෙ. සමහර දේවල් සිදුවීමෙ හැකියාවන් ගණනය කිරීමට දැන් මෙ දැනුම භාවිතා කළ හැකිය.
හෙට කොළඹ බෝම්බයක් පිපිරීමෙ සම්භාවිතාව ගිය මාසයේ එවැනි දිනෙක බෝම්බයක් පිපිරීමෙ සම්භාවිතාවට වඩා වැඩි යයි එම සිදුවීම් පිළිබඳ විශ්ලේෂණය කරන්නකු ට නිගමනය කළ හැකිය.
තවත් අයෙකුට එම නිගමනයම අනෙක් ආකාරයකට විනිස හැකිය. මෙ අයුරින් සම්භාවිතා අගයන් විවිධ ආකාරයෙන් නිශ්චය කිරීම අවිදග්ධ ආකාරයෙන් කළ හැකි වුව ද ගණිතයේ දී එම සැසඳීම් සිදුවන්නේ කිසියම් සම්භාවිතා අකෘතියක් තුළ ය.
ක්වොන්ටම් යාන්ත‍්‍ර විද්‍යාව තුල දි එම ගණනය කිරීම් සිදු වන්නේ ක්වොන්ටම් අවස්ථාව හෝ ක්වොන්ටම් අංකය හෝ ක්වොන්ටම් ශී‍්‍රතය පසුබිම් කරගෙනය.
මෙය ද වටහා ගන්නට උත්සාහ කරමු සරල උදාහරණ ඇසුරින්.
සම්භාවිතාව ගැන පාසැලේ උගන්වද්දී නිරන්තර යොදා ගත් උදාහරණයකින්ම මෙය වටහා ගනිමු. අපි සමබර දාදු කැටයක් උඩ දැමූ විට එහි කිසියම් නිශ්චිත මුහුණත අගයක් ලැබීමෙ සම්භාවිතා ගණනය කිරීමට යොමු වෙමු.
දාදු කැටය සමබර වන්නේ යැයි උපකල්පනය කළ විට එහි ඔනම අගයක් ලැබීමෙ සම්භාවිතාව ද සම වෙ. පැති 6ක් ඇති නිසා ඔනම පැත්තක් හෝ ඔනම අගයක් ලැබීමෙ සම්භාවිතාව 1 කි. විශේෂ වශයෙන් අංක 4 ලැබීමෙ සම්භාවිතාව වන්නේ 1/6 කි. එනම් ඇවැසි සිදුවීම සිදූවීමට ඇති අවස්ථා ගණනට සිදුවිය හැකි සියළු අවස්ථා ගණන දරන අනුපාතය යි.
අංක 4 ලැබීමෙ අවස්ථා සංඛ්‍යාව = 1
අංකයක් ලැබීමෙ සියළුම අවස්ථා සංඛ්‍යාව = 6
අංක 4 ලැබීමෙ සම්භාවිතාව = 1/6
එනම් ප‍්‍රමාණාත්මකව ගණනය කල හැකි සිදුවීම් සංඛ්‍යාව නිශ්චිත අවස්ථා සඳහා පමණක් සම්භාවිතා ගණිත ආකෘතිය ව්‍යවහාර වෙ. උදාහරණයක් ලෙස සමබර දාදු කැටයක් උඩ දැමීමෙදී ලැබෙන ප‍්‍රතිඵල වල පරාසය අවස්ථා ගණන නිශ්චිත බැවින් කිසියම් මුහුණත් අගයක් ලැබීමෙ සම්භාවිතාව නිශ්චිතව ගණනය කළ හැක. ඉහත උදාහරණය පරිදිම සිදුවිය හැකි සියළු අවස්ථා ගණනින් පංගුවක් ලෙස එක සිදුවීම් පෙලක් ගණනය කිරීම නිශ්චිත අවස්ථා අතර අනුපාතය ගණනය කිරීමකි.
The idea of "chance" plays no part in the definition of probability; probabilities are ratios of the measure of subsets of a given set. If we know how to measure (count the members of) these sets we can calculate the probabilities uniquely and exactly.
-PROBABILITY AND SCHRGOINGER'S MECHANICS by David B. Cook
දැන් මෙ දාදු කැට උදාහරණයේ දී අපට මුණ ගැහෙන සම්භාවිතා අගයන් සන්තතික නොවන ආකාරයේ අගයන්ය. එනම් එම අගයන් ප‍්‍රස්ථාර ගත කළ හොත් පෙනී යන්නේ ඒවා පිය ගැට පෙළක් මෙන් රළු හැඩයකිනි. එවැනි වක‍්‍ර අප හඳුනා ගන්නේ අසන්තතික ශී‍්‍රත වශයෙනි. වාසනාවකට ක්වොන්ටම් යාන්ත‍්‍රිකයේ දී හමුවෙන ක්වොන්ටම අවස්ථා බොහෝ විට සන්තතික ශී‍්‍රත හේතුවෙන් ගණනය කිරීම් කලනය අනුසාරයෙන් පහසු කරවයි.
සම්භාවිතාව ගැන පාසැලේ උගන්වද්දී නිරන්තර යොදා ගත් උදාහරණයකින්ම මෙය වටහා ගනිමු. අපි සමබර දාදු කැටයක් උඩ දැමූ විට එහි කිසියම් නිශ්චිත මුහුණත අගයක් ලැබීමෙ සම්භාවිතා ගණනය කිරීමට යොමු වෙමු.
දාදු කැටය සමබර වන්නේ යැයි උපකල්පනය කළ විට එහි ඔනම අගයක් ලැබීමෙ සම්භාවිතාව ද සම වෙ. පැති 6ක් ඇති නිසා ඔනම පැත්තක් හෝ ඔනම අගයක් ලැබීමෙ සම්භාවිතාව 1 කි. විශේෂ වශයෙන් අංක 4 ලැබීමෙ සම්භාවිතාව වන්නේ 1/6 කි. එනම් ඇවැසි සිදුවීම සිදූවීමට ඇති අවස්ථා ගණනට සිදුවිය හැකි සියළු අවස්ථා ගණන දරන අනුපාතය යි.
අංක 4 ලැබීමෙ අවස්ථා සංඛ්‍යාව = 1
අංකයක් ලැබීමෙ සියළුම අවස්ථා සංඛ්‍යාව = 6
අංක 4 ලැබීමෙ සම්භාවිතාව = 1/6
එනම් ප‍්‍රමාණාත්මකව ගණනය කල හැකි සිදුවීම් සංඛ්‍යාව නිශ්චිත අවස්ථා සඳහා පමණක් සම්භාවිතා ගණිත ආකෘතිය ව්‍යවහාර වෙ. උදාහරණයක් ලෙස සමබර දාදු කැටයක් උඩ දැමීමෙදී ලැබෙන ප‍්‍රතිඵල වල පරාසය අවස්ථා ගණන නිශ්චිත බැවින් කිසියම් මුහුණත් අගයක් ලැබීමෙ සම්භාවිතාව නිශ්චිතව ගණනය කළ හැක. ඉහත උදාහරණය පරිදිම සිදුවිය හැකි සියළු අවස්ථා ගණනින් පංගුවක් ලෙස එක සිදුවීම් පෙලක් ගණනය කිරීම නිශ්චිත අවස්ථා අතර අනුපාතය ගණනය කිරීමකි.
The idea of "chance" plays no part in the definition of probability; probabilities are ratios of the measure of subsets of a given set. If we know how to measure (count the members of) these sets we can calculate the probabilities uniquely and exactly.
-PROBABILITY AND SCHRGOINGER'S MECHANICS by David B. Cook
දැන් මෙ දාදු කැට උදාහරණයේ දී අපට මුණ ගැහෙන සම්භාවිතා අගයන් සන්තතික නොවන ආකාරයේ අගයන්ය. එනම් එම අගයන් ප‍්‍රස්ථාර ගත කළ හොත් පෙනී යන්නේ ඒවා පිය ගැට පෙළක් මෙන් රළු හැඩයකිනි. එවැනි වක‍්‍ර අප හඳුනා ගන්නේ අසන්තතික ශී‍්‍රත වශයෙනි. වාසනාවකට ක්වොන්ටම් යාන්ත‍්‍රිකයේ දී හමුවෙන ක්වොන්ටම අවස්ථා බොහෝ විට සන්තතික ශී‍්‍රත හේතුවෙන් ගණනය කිරීම් කලනය අනුසාරයෙන් පහසු කරවයි.
සන්තතික ශ‍්‍රීත ආශ‍්‍රිත සම්භාවිතා ව්‍යාප්ති
සම්භාවිතා අධ්‍යයනයේදී බහුලව භාවිතා වන ගවුසියන් ශ‍්‍රිතයක් උපයෝගි කරගෙන තව දුරටත් මෙම සන්තතික ගති ගුණ ආශ‍්‍රිත අධ්‍යයනය ඉදිරියට ගෙන යමු. ක්වොන්ටම් භොතිකයේ බොහෝ ගණනය කිරීම් සඳහා උපයෝගි වන සම්භාවිතා ගණිත මූලධර්ම සියල්ල මෙහි සාකච්ඡා කිරීමට ප‍්‍රායෝගිකව දුෂ්කර බැවින් දළ වටහා ගැනීමකට උපකාරී වන අන්දමට සන්නිකර්ෂණය කළ සම්භාවිතා හැදෑරීමකට අපට යොමු වන්නට සිදුවෙ.
උදාහරණයක් ලෙස දාදු කැටයක් උඩ දැමීමෙ දී එය නිශ්චලතාවයට එළඹීමට ගතවන කාලය පරීක්ෂණාත්මකව සොයන්නේ යැයි උපකල්පනය කරමු. දැන් එම පරීක්ෂාවන්ට අනුව එය නිසලතාවයට එළඹෙන්නට ගතවන සාමාන්‍ය කාලය තත්පර 5ක් යැයි සිතමු. මෙ අනුසාරයෙන් සම්භාවිතා ආකෘතියක් ගොඩනගා ගැනීමට අපි ගවුසියන් ශි‍්‍රතයක් උපයෝගි කරගමු.
P(t)=exp(-(t-t0)^2)
මෙහි දැක්වෙන P(t) යනු සම්භාවිතා ව්‍යාප්ති ශ‍්‍රිතයයි. t0 යනු නිසලතාවයට එළඹීමට ගතවන සාමාන්‍ය කාලයයි.
මෙම ගවුසියන් [Gaussian ] ශි‍්‍රතය ප‍්‍රස්ථාර ගත කළ විට එය සාමාන්‍ය අගය[t0=5] වටා සමමිතික ලෙස ව්‍යාප්ත වුනු සම්භාවිතා අගයන් පෙන්නුම් කරයි. මෙ ප‍්‍රස්ථාරයට අනුව පෙනී යන්නේ දාදු කැටය නිසලතාවයට පත්වන්නට ගතවන කාලය අඩුවෙන්ම ගන්නේ මෙන්ම වැඩියෙන්ම ගන්නා වූ අවස්ථාවන් ඉතා අඩු බවත් සාමාන්‍ය අගය වූ තත්පර 5 වටා සියලු අනෙක් අගයන් බහුතරයක් හැසිරෙන හැටිත් ද වෙ. මෙ ආකාරයේ විසිරුනු දත්තයන් සොබාදහම තුළ අනේක වාරයක් හමු වෙ. සරල උදාහරණයකට විභාගයකින් නිකුත් වන ප‍්‍රතිඵල පවා මෙවැනි වක‍්‍රයක ස්වරූප ගන්නේ ඒ ඒ විශයන් අනුගතව සිසුන් ගේ දක්ෂතා ලෙස ප‍්‍රතිඵල සටහන් ප‍්‍රස්ථාර ගත කළ විටය. ගවුසියන් ශ‍්‍රිත ආශ‍්‍රයෙන් සම්භාවිතා ගණනය කිරීම පසුවට තබමු.
ක්වොන්ටම් අංකය හෝ ක්වොන්ටම් ශ‍්‍රිතය ද මෙවැනි සම්භාවිතා වක‍්‍රයක් ලෙස හඳුන්වා දිය හැකිය. එහි දී අපට කිසියම් අවස්ථාවක් හෝ කිසියම් පිහිටුමක දී එම ප‍්‍රස්තුථ අංශුවෙ භොතික අවස්ථාවන් ගණනය කරන්නට එම සම්භාවිතා ආකෘතිය උපයෝගි කරගත හැකිය. සරලම අවස්ථාවක් ලෙස හයිඩ‍්‍රජන් පරමාණුවෙ ඉලෙක්ට්‍රෝනය සැලකිය හැකිය.
නැවතත් අපගේ තරංග ශ‍්‍රිතය කරා පැමිණියහොත් ක්වොන්ටම් අංකය හෝ ක්වොන්ටම් තත්වය හරහා අපට කිසියම් මොහොතක අංශුවක් අවකාෂයේ පිහිටන ඛණ්ඩාංක පරාසය පිලිබඳ සම්භාවිතා ආකෘතියක් ගොඩනගා ගත හැකිය. මෙහිදී කිසියම් මොහොතක තරංගයේ විස්තාරය එනම් උපරිම අගයේ වර්ගයෙන් එම සම්භාවිතාව ප‍්‍රකට වන බව උපකල්පනය කළ හැකිය. බොහො තරංගවල ශක්තිය සම්පේ‍්‍රෂණය වන ඝණත්වය [intensity] මෙම මිනුම හරහා මැන ගන්නා, ගණනය කරගන්නා බැවින් එම අගයම සම්භාවිතාව ලෙස උපයෝගිකර ගැනීම තාර්කික වෙ.
සම්භාවිතා සම්බන්ධ තවත් සංකල්පයක් වන අපේක්ෂිත වටිනාකම් ගණනය කිරීම් සම්බන්ධව ද සුළුවෙන් හෝ සළකා බලන්නට සිදුවන්නේ ක්වොන්ටම් යාන්ත‍්‍රිකයේ බොහෝ ගණනය කිරීම්වල දී අපේක්ෂිත සාමාන්‍ය අගයන් ගණනය ද සුලබ බැවිනි.
තවත් වැදගත් ගණිතමය සංකල්පයක් ද මෙ එක්කම සටහන් කර තබන්නට කැමැත්තෙමි. එය නම් අයිගන් අගය [eigen value] යන සංකල්පයයි. අයිගන් අගය යනු කිසියම් ඉලක්කමකි. එය අදිශයක් වෙ[scalar]. එනම් දිශාවක් රහිත අගයකි. අයිගන් අගයේ තවත් එක් ස්වරූපයක් නම් ඒකක අගයක් පැවතීමයි. එය අපට හමු වන්නේ මැට්රික්ස් [matrix] අධ්‍යයනය කිරීමෙ දීය. මැට්රික්ස් යනු නිශ්චායකයන්ය. නිශචායකයන් යනු කුමක්දැයි කීමට උදාහරණයකට යා යුතුය. සාමාන්‍යයෙන් ගණිතයේ දි හමුවන විචල්‍යයන් එක අගයකින් යුතු වෙ. බහුවිධ අගයන් ගන්නා විචල්‍යයෝද වෙති. එබඳු අවස්ථාවක එම බහුවිධ අගයන් එකට ගොනු කර තබන්නට ගණිතමය වශයෙන් ඒවා විවිධ කි‍්‍රයාකාරකම් වලට හසු කර ගන්නට උපයෝගි වන විචල්‍ය පරිපාලන ක‍්‍රමයට අපි නිශ්චායක යැයි කියමු. දැනට ඒ ඇතිය.
සම්භාවිතා අධ්‍යයනයේදී බහුලව භාවිතා වන ගවුසියන් ශ‍්‍රිතයක් උපයෝගි කරගෙන තව දුරටත් මෙම සන්තතික ගති ගුණ ආශ‍්‍රිත අධ්‍යයනය ඉදිරියට ගෙන යමු. ක්වොන්ටම් භොතිකයේ බොහෝ ගණනය කිරීම් සඳහා උපයෝගි වන සම්භාවිතා ගණිත මූලධර්ම සියල්ල මෙහි සාකච්ඡා කිරීමට ප‍්‍රායෝගිකව දුෂ්කර බැවින් දළ වටහා ගැනීමකට උපකාරී වන අන්දමට සන්නිකර්ෂණය කළ සම්භාවිතා හැදෑරීමකට අපට යොමු වන්නට සිදුවෙ.
උදාහරණයක් ලෙස දාදු කැටයක් උඩ දැමීමෙ දී එය නිශ්චලතාවයට එළඹීමට ගතවන කාලය පරීක්ෂණාත්මකව සොයන්නේ යැයි උපකල්පනය කරමු. දැන් එම පරීක්ෂාවන්ට අනුව එය නිසලතාවයට එළඹෙන්නට ගතවන සාමාන්‍ය කාලය තත්පර 5ක් යැයි සිතමු. මෙ අනුසාරයෙන් සම්භාවිතා ආකෘතියක් ගොඩනගා ගැනීමට අපි ගවුසියන් ශි‍්‍රතයක් උපයෝගි කරගමු.
P(t)=exp(-(t-t0)^2)
මෙහි දැක්වෙන P(t) යනු සම්භාවිතා ව්‍යාප්ති ශ‍්‍රිතයයි. t0 යනු නිසලතාවයට එළඹීමට ගතවන සාමාන්‍ය කාලයයි.
මෙම ගවුසියන් [Gaussian ] ශි‍්‍රතය ප‍්‍රස්ථාර ගත කළ විට එය සාමාන්‍ය අගය[t0=5] වටා සමමිතික ලෙස ව්‍යාප්ත වුනු සම්භාවිතා අගයන් පෙන්නුම් කරයි. මෙ ප‍්‍රස්ථාරයට අනුව පෙනී යන්නේ දාදු කැටය නිසලතාවයට පත්වන්නට ගතවන කාලය අඩුවෙන්ම ගන්නේ මෙන්ම වැඩියෙන්ම ගන්නා වූ අවස්ථාවන් ඉතා අඩු බවත් සාමාන්‍ය අගය වූ තත්පර 5 වටා සියලු අනෙක් අගයන් බහුතරයක් හැසිරෙන හැටිත් ද වෙ. මෙ ආකාරයේ විසිරුනු දත්තයන් සොබාදහම තුළ අනේක වාරයක් හමු වෙ. සරල උදාහරණයකට විභාගයකින් නිකුත් වන ප‍්‍රතිඵල පවා මෙවැනි වක‍්‍රයක ස්වරූප ගන්නේ ඒ ඒ විශයන් අනුගතව සිසුන් ගේ දක්ෂතා ලෙස ප‍්‍රතිඵල සටහන් ප‍්‍රස්ථාර ගත කළ විටය. ගවුසියන් ශ‍්‍රිත ආශ‍්‍රයෙන් සම්භාවිතා ගණනය කිරීම පසුවට තබමු.
ක්වොන්ටම් අංකය හෝ ක්වොන්ටම් ශ‍්‍රිතය ද මෙවැනි සම්භාවිතා වක‍්‍රයක් ලෙස හඳුන්වා දිය හැකිය. එහි දී අපට කිසියම් අවස්ථාවක් හෝ කිසියම් පිහිටුමක දී එම ප‍්‍රස්තුථ අංශුවෙ භොතික අවස්ථාවන් ගණනය කරන්නට එම සම්භාවිතා ආකෘතිය උපයෝගි කරගත හැකිය. සරලම අවස්ථාවක් ලෙස හයිඩ‍්‍රජන් පරමාණුවෙ ඉලෙක්ට්‍රෝනය සැලකිය හැකිය.
නැවතත් අපගේ තරංග ශ‍්‍රිතය කරා පැමිණියහොත් ක්වොන්ටම් අංකය හෝ ක්වොන්ටම් තත්වය හරහා අපට කිසියම් මොහොතක අංශුවක් අවකාෂයේ පිහිටන ඛණ්ඩාංක පරාසය පිලිබඳ සම්භාවිතා ආකෘතියක් ගොඩනගා ගත හැකිය. මෙහිදී කිසියම් මොහොතක තරංගයේ විස්තාරය එනම් උපරිම අගයේ වර්ගයෙන් එම සම්භාවිතාව ප‍්‍රකට වන බව උපකල්පනය කළ හැකිය. බොහො තරංගවල ශක්තිය සම්පේ‍්‍රෂණය වන ඝණත්වය [intensity] මෙම මිනුම හරහා මැන ගන්නා, ගණනය කරගන්නා බැවින් එම අගයම සම්භාවිතාව ලෙස උපයෝගිකර ගැනීම තාර්කික වෙ.
සම්භාවිතා සම්බන්ධ තවත් සංකල්පයක් වන අපේක්ෂිත වටිනාකම් ගණනය කිරීම් සම්බන්ධව ද සුළුවෙන් හෝ සළකා බලන්නට සිදුවන්නේ ක්වොන්ටම් යාන්ත‍්‍රිකයේ බොහෝ ගණනය කිරීම්වල දී අපේක්ෂිත සාමාන්‍ය අගයන් ගණනය ද සුලබ බැවිනි.
තවත් වැදගත් ගණිතමය සංකල්පයක් ද මෙ එක්කම සටහන් කර තබන්නට කැමැත්තෙමි. එය නම් අයිගන් අගය [eigen value] යන සංකල්පයයි. අයිගන් අගය යනු කිසියම් ඉලක්කමකි. එය අදිශයක් වෙ[scalar]. එනම් දිශාවක් රහිත අගයකි. අයිගන් අගයේ තවත් එක් ස්වරූපයක් නම් ඒකක අගයක් පැවතීමයි. එය අපට හමු වන්නේ මැට්රික්ස් [matrix] අධ්‍යයනය කිරීමෙ දීය. මැට්රික්ස් යනු නිශ්චායකයන්ය. නිශචායකයන් යනු කුමක්දැයි කීමට උදාහරණයකට යා යුතුය. සාමාන්‍යයෙන් ගණිතයේ දි හමුවන විචල්‍යයන් එක අගයකින් යුතු වෙ. බහුවිධ අගයන් ගන්නා විචල්‍යයෝද වෙති. එබඳු අවස්ථාවක එම බහුවිධ අගයන් එකට ගොනු කර තබන්නට ගණිතමය වශයෙන් ඒවා විවිධ කි‍්‍රයාකාරකම් වලට හසු කර ගන්නට උපයෝගි වන විචල්‍ය පරිපාලන ක‍්‍රමයට අපි නිශ්චායක යැයි කියමු. දැනට ඒ ඇතිය.
තවත් සරල ආකාරයෙන් කියන්නේ නම් නිදහස් පක්ෂයේ සාමාජිකයන් එක කුලකයකි; කුලක හා නිශ්චායක පටලවා නොගත යුතුය. මන්ද යත් නිදහස් පාක්ෂිකයන් කුලකය ලෙස ගතහොත් ඔවුන් කිසිදා ඡන්ද ජයග‍්‍රහණය නොකරන්නේය. එහෙත් ඔවුන් නිශ්චායකයක් ලෙස ගත හොත් ඔවුන් සියල්ල ජනතාව මත ක‍්‍රියාත්මක වී ඡන්ද ලබා ගැනීමෙ කි‍්‍රයාකාරිත්වයට සාර්ථකව පිලිපන්නනු ඇත. තවද එක්සත් ජාතික පාක්ෂිකයන් මත නිදහස් පාක්ෂිකයන්ගේ නිශ්චායකය කි‍්‍රයාත්මක වී ඔවුන ද නිදහස් පාක්ෂිකයන් බවට පරිවර්තනය කළ හැකිය. සමහර විට සමහර පක්ෂ අයිගන් නිශ්චායකයන් ලෙස ද පවතී. එනම් ඔවුන් මත මොන පක්ෂයක් ක‍්‍රියාත්මක වුව ද එම පක්ෂය නොනැසී එහිම කොටසක් ව පැවතීමයි.
එහෙත් බොහෝ විට සිදුවන්නේ කුලක කුලක ලෙසම පැවතීමයි. ඒවා තවත් කුලක සමග එකතු වී තම කුලකයේ හිස් සංඛ්‍යාව වැඩි කරගත්තත් ඉන් භොතික ලෝකයට ඵලක් නැත. තවත් සමහරක් පක්ෂ කුලක හා සෘණාත්මකව සංධානගතවී පක්ෂ කුලක වල දිය වී යාමද මෙබඳුම ආකාරයෙන් වටහා ගත හැකිය.
තවත් බොහෝ පක්ෂ කුලක සහ නිශ්චායක යන දෙවැදෑරුම් ගතිගුණ පළ කරයි.
තවත් ස්වල්පයක් පක්ෂ නිශ්චායක ගතිසොබා පමණක් පළ කරයි. නිශ්චායක ගතිසොබා පළ කරන පක්ෂ අතුරින් ජනතා විමුක්ති පෙරමුණ සමාජ ක‍්‍රියාකාර්ත්වය අතින් ප‍්‍රබල බව දක්වද්දී පෙරටුගාමී පක්ෂය මතවාදී ප‍්‍රබල බව දක්වයි. දැනට පෙනී යන නිශ්චායක ස්වභාවයේ පක්ෂ ඇත්තේ එපමණකි. නැවතත් ක්වොන්ටම් සහ සම්භාවිතා සහසම්බන්ධය කරා එමු.
තරංග ශ‍්‍රිතය අංශුවකට අදාලව වටහා ගැනීමට දරන උත්සාහයක් ලෙසයි මෙම සම්භාවිතා මූලික දැනුම අපට අවශ්‍ය වන්නේ. පසුව අප සාකච්ඡා කරනු ලබන පරිදි මෙම තරංග ශ‍්‍රිතය සංකීර්ණ ශ‍්‍රිතයක් වන්නේ ප‍්‍රථම කල්පිතය විසින් යෝජනා කරන ලද්දා වූ අවකල සමීකරණය හේතුවෙනි. සංකීර්ණ ශ‍්‍රිතවලට පාදක වන සංකීර්ණ සංඛ්‍යා පිලිබඳවත් යමතමින් දැන ගැනීමට අවශ්‍ය වන්නේ ය. ඒ පිළිබඳව ද මතු දිනෙක සාකච්ඡා කරන්නට බලාපොරොත්තු වෙමි.
දැන් අපි ක්වොන්ටම් යාන්ත‍්‍රිකයේ දෙවන කල්පිතය වෙත යමු.
දෙවන කල්පිතය:
නිරීක්ෂකයන්[observables] ක‍්‍රියාකරුවන්[operators] සහ අයිගන් අවස්ථා[eigenstates]
ක්වොන්ටම් යාන්ත‍්‍රික පද්ධතියක නිරීක්ෂණය කළ හැකි, මිනුම් කළ හැකි ගුණාංගවලට නිරීක්ෂකයන් ලෙස අර්ථ දැක්වෙ. එම නිරීක්ෂකයන් හර්මිෂියන් ක‍්‍රියාකරුවන් [Hermitian operators] ලෙස හැඳින්වෙ.
පහත දැක්වෙන ක්වොන්ටම් පද්ධතිය සිය ක්වෙන්ටම් අවස්ථා si-j විසින් සැපිරෙන්නේ යැයි උපකල්පනය කළ විට
මෙහි ඒ හැට් [A] යනු ඔපරෙටරයකි. එය කිසියම් නිරීක්ෂකයක් [ observable] නිරූපනය කරයි. ඒ ජේ [aj]යනු නියතයකි. දැන් සයි ජේ [si j] යනු ජේ වැනි [j-th] අයිගන් තත්වයක් [eigenstate ]වන අතර ඒ ජේ [aj] යනු එම අයිගන් තත්වයට අදාල අයිගන් අගයකි [eigen value]. ක්වොන්ටම් යාන්ත‍්‍රික පද්ධතිය සයි ජේ [si j]නම් වු ක්වොන්ටම් අවස්ථාවෙ [quantum state] පවතියි ද ඒ නම් වූ ඔපරෙටයකින් [A operator] මනිනු ලබන කිසියම් නිරීක්ෂණයක් අරභයා එහි මිනුම ඒ ජේ [aj]නම් වූ අයිගන් අගය වෙ.
යම් කිසි රටක ජනතාවට තමන්ගේ විනාශයේ තරම පෙන්වන සංඛ්‍යාලේඛන පෙන්වූ විට ඒවායින් ඔවුහු තැති ගනිති. අපේ රටෙ සිදුවන්නේ මෙහි ප‍්‍රතිවිරුද්ධතාවයයි. තමන්ගේ විනාශය පෙන්වන විට ඔවුහු ප‍්‍රීති වෙති. නටති. සුරා තව තවත් බොති. එබැවින් ආර්ථික සංඛ්‍යා ලේඛණ ලාංකිකයන්ට විකාරයකි.
එසේ නම් ඔවුන්ට වැදගත් වන්නේ කුමක් ද?
2000 මාර්තු - මාතොට -PAGE 2 OF 05
[උපුටනය සහ අවධාරණය කර්තෘ විසිනි]
