තරලයක චලනය තුළ සැඟවුණු ගණිතය: Navier–Stokes සමීකරණ ඇසින් දකින්නට ලැබෙන අපූරු වෙබ් අඩවියක්
තරලයක චලනය තුළ සැඟවුණු ගණිතය: Navier–Stokes සමීකරණ ඇසින් දකින්නට ලැබෙන අපූරු වෙබ් අඩවියක්
ගඟක ජලය ගලා යන හැටි, මුහුදු රළක් වෙරළට පැමිණ බිඳී යන හැටි, ගුවන් යානයක තටුවක් වටා වාතය ගමන් කරන හැටි, එසේත් නැත්නම් තේ කෝප්පයකට කිරි ස්වල්පයක් දැමූ විට එය සෙමින් පැතිරී යන හැටි අපි කවුරුත් දැක තිබෙනවා.
මේ සියල්ල අතර පොදු දෙයක් තිබෙනවා. ඒ තමයි තරලයක චලනය.
ජලය සහ වාතය වැනි තරලවල චලනය විස්තර කිරීමට ගණිතඥයන් හා භෞතික විද්‍යාඥයන් සියවස් ගණනාවක් තිස්සේ උත්සාහ කර තිබෙනවා. ඒ උත්සාහයේ විශිෂ්ට ප්‍රතිඵලයක් තමයි Navier–Stokes සමීකරණ.
ඉංජිනේරු විද්‍යාව හදාරන කෙනෙකුට මේ නම අමුත්තක් නොවෙයි. විශේෂයෙන්ම තරල යාන්ත්‍ර විද්‍යාව (Fluid Mechanics) හෝ වෙරළ හා සමුද්‍ර ඉංජිනේරු විද්‍යාව (Coastal and Marine Engineering) හදාරන කෙනෙකුට මේ සමීකරණ සමඟ කිසියම් අවස්ථාවක ඔට්ටු වීමට සිදුවෙනවා.
නමුත් පොතක තිබෙන සමීකරණයක් කියවීමත්, එම සමීකරණයෙන් විස්තර කරන භෞතික ක්‍රියාවලිය ඇස් ඉදිරිපිට දැකීමත් අතර විශාල වෙනසක් තිබෙනවා.
මෑතකදී මට හමුවුණු An Album of Computational Fluid Motion නම් වෙබ් අඩවිය ගැන ලියන්නට සිතුණේ මේ වෙනස නිසයි.
ඡායාරූප එකතුවකින් ආරම්භ වූ කතාව
1982 වසරේදී ස්ටැන්ෆර්ඩ් විශ්වවිද්‍යාලයේ තරල යාන්ත්‍ර විද්‍යාව පිළිබඳ මහාචාර්යවරයෙකු වූ Milton van Dyke විසින් An Album of Fluid Motion නමින් අපූරු පොතක් පළ කළා.
එහි ඇතුළත් වූයේ ලෝකයේ විවිධ පර්යේෂකයන් විසින් සිදුකරන ලද තරල චලන පරීක්ෂණවල ඡායාරූප 278ක්.
ඒ ඡායාරූපවල තිබුණේ සාමාන්‍යයෙන් අපේ ඇසට පහසුවෙන් හඳුනාගත නොහැකි තරල චලන රටා.
උදාහරණයක් ලෙස, සිලින්ඩරයක් වටා ජලය ගලා යන විට එයට පිටුපසින් ඇතිවන සුළි රටා, තටුවක් මතින් ගලා යන වාතය එහි මතුපිටින් වෙන්වීම, හෝ සන්සුන් ප්‍රවාහයක් ක්‍රමයෙන් කැළඹිලි සහිත ප්‍රවාහයක් බවට පත්වීම වැනි දේ.
මෙහි විශේෂත්වය වූයේ ගණිතමය සමීකරණවලින් විස්තර කරන සංසිද්ධීන් සැබෑ පරීක්ෂණවලින් දෘශ්‍යමාන කිරීමයි.
දැන් එම අදහස තවත් පියවරක් ඉදිරියට ගෙන යමින්, පරිගණක අනුකරණ (Computer Simulations) මඟින් එම තරල චලන රටා නැවත නිර්මාණය කිරීමේ උත්සාහයක් ක්‍රියාත්මක වෙනවා.
එය තමයි මේ Album of Computational Fluid Motion ව්‍යාපෘතිය.
Navier–Stokes සමීකරණ කියන්නේ මොනවාද?
මෙය තේරුම් ගැනීමට ඉතා සරල උදාහරණයක් ගනිමු.
ගඟක ජලය ගලා යනවා කියා සිතන්න.
ගඟේ සෑම තැනකම ජලය එකම වේගයකින් ගලා යන්නේ නැහැ. ගඟේ මැද වේගය වැඩි විය හැකියි. ඉවුරු ආසන්නයේ ජලය සෙමින් ගලා යා හැකියි. ගඟ වංගුවක් ගන්නා තැන සුළි ඇතිවිය හැකියි.
මේ සියල්ල සිදුවන්නේ ජලයට බලපාන පීඩනය, ගුරුත්වාකර්ෂණය, දුස්ස්‍රාවිතාව (Viscosity) සහ ජලයේම චලනය නිසා ඇතිවන ත්වරණය වැනි සාධක එකිනෙක සමඟ සම්බන්ධ වීමෙන්.
Navier–Stokes සමීකරණවලින් අප උත්සාහ කරන්නේ මේ සම්බන්ධතා ගණිතමය වශයෙන් විස්තර කිරීමටයි. (මේ ගැන මා කලින් ලියා ඇති ලිපිය මෙතැනින්.)
නියත ඝනත්වයක් සහිත, සම්පීඩනය නොවන Newtonian තරලයක් සඳහා මෙම සමීකරණයේ එක් ආකාරයක් මෙසේ ලියන්න පුළුවන්.
ρ [∂u/∂t + (u · ∇)u] = −∇p + μ∇²u + ρg
බැලූ බැල්මට මෙය තරමක් සංකීර්ණයි. නමුත් එහි තිබෙන අදහස ඉතා සුන්දරයි.
මෙහි,
ρ යනු තරලයේ ඝනත්වයයි.
u යනු තරලයේ ප්‍රවේග දෛශිකයයි.
p යනු පීඩනයයි.
μ යනු ගතික දුස්ස්‍රාවිතාවයි.
g යනු ගුරුත්වාකර්ෂණ ත්වරණ දෛශිකයයි.
සමීකරණයේ වම් පැත්තෙන් තරල අංශුවක ගම්‍යතාව වෙනස්වන ආකාරය නිරූපණය වෙනවා.
දකුණු පැත්තෙන් එම වෙනසට හේතුවන පීඩන බල, දුස්ස්‍රාවී බල සහ ගුරුත්වාකර්ෂණය වැනි බල නිරූපණය වෙනවා.
සරලව කියනවා නම්, මෙය Newtonගේ දෙවන නියමය තරලයකට යෙදීමක්.
නමුත් මෙහි තිබෙන වැදගත්ම ගණිතමය ලක්ෂණයක් වන්නේ (u · ∇)u යන පදයයි.
මෙය තරලයේ ප්‍රවේගය එහිම අවකාශීය වෙනස්වීම් සමඟ සම්බන්ධ කරන රේඛීය නොවන (Nonlinear) පදයක්.
ඒ නිසාම තරල චලනය බොහෝ අවස්ථාවල ඉතා සංකීර්ණ වෙනවා.
සම්පීඩනය නොවන තරලයකට තවත් වැදගත් කොන්දේසියක් තිබෙනවා.
∇ · u = 0
මෙයින් කියවෙන්නේ තරලයේ ඉතා කුඩා පරිමාවක් තුළට ඇතුළු වන හා පිටවන ප්‍රවාහ අතර ස්කන්ධ සංරක්ෂණයට අනුකූල සම්බන්ධතාවක් තිබිය යුතු බවයි.
මේ සමීකරණ දෙක එකට ගත් විට තරලයක චලනය ගැන අපට විශාල තොරතුරු ප්‍රමාණයක් ලබාගත හැකියි.
එහෙත් ඒවා විසඳීම හැමවිටම පහසු නැහැ.
සමීකරණයක් පරිගණකයකින් දෘශ්‍යමාන කරන්නේ කොහොමද?
Computational Fluid Dynamics හෙවත් CFD කියන්නේ තරල චලනය පිළිබඳ පාලක සමීකරණ සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රම මඟින් විසඳීමට භාවිත කරන විද්‍යාත්මක හා ඉංජිනේරු ක්ෂේත්‍රයයි.
අපි යම් ජල ප්‍රවාහයක් අධ්‍යයනය කරනවා කියා සිතමු.
පළමුව එම ප්‍රවාහය සිදුවන අවකාශය කුඩා කොටස් රාශියකට බෙදාගන්නවා. මෙයට Computational Mesh එකක් නිර්මාණය කිරීම කියනවා.
ඉන්පසු තරලයේ භෞතික ගුණ, ආරම්භක තත්ත්වයන් සහ මායිම් කොන්දේසි ලබා දෙනවා.
පරිගණකය ඒ කුඩා කොටස්වල පාලක සමීකරණ සංඛ්‍යාත්මකව විසඳමින් ප්‍රවේගය, පීඩනය සහ අනෙකුත් භෞතික රාශීන්ගේ වෙනස්වීම් ගණනය කරනවා.
අවසානයේදී ඒ ප්‍රතිඵල වර්ණ, රේඛා, දෛශික සහ සජීවී රූප මඟින් අපට දැකගත හැකි වෙනවා.
එවිට ගණිතමය සංකේතවලින් පමණක් විස්තර කළ චලනයක් අපේ ඇස් ඉදිරිපිට දිස්වෙන්නට පටන් ගන්නවා.
නමුත් මෙහිදී එක් දෙයක් මතක තබාගත යුතුයි. පරිගණකයෙන් ලැබෙන ලස්සන රූපයක් නිවැරදි භෞතික විසඳුමක් බවට ස්වයංක්‍රීයව සහතිකයක් නොවෙයි. එහි නිරවද්‍යතාව රඳා පවතින්නේ භාවිත කරන ගණිතමය ආකෘතිය, Mesh එක, මායිම් කොන්දේසි සහ සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රම මතයි.
අපේ රටේ තරුණයෙකුගේ පර්යේෂණයකින් Navier–Stokes සමීකරණ දකිමු
මේ ගැන ලියන විට මට මතක් වුණේ මෑතකදී නැරඹූ ශ්‍රී ලාංකික තරුණ ශිෂ්‍යයෙකුගේ පර්යේෂණ අත්දැකීමක් විස්තර කරන YouTube සාකච්ඡාවක්.
එහිදී ඔහු තරල ප්‍රවාහයක් අධ්‍යයනය කිරීමට Navier–Stokes සමීකරණ සංඛ්‍යාත්මකව විසඳන ආකාරයත්, ඒ සඳහා Computational Mesh එකක් නිර්මාණය කර ප්‍රවේගය හා පීඩනය ගණනය කරන ආකාරයත් ඉතා රසවත් ලෙස පැහැදිලි කරනවා. විශේෂයෙන්ම Python ක්‍රමලේඛනය තම පර්යේෂණය අතරතුරම ඉගෙනගත් බව ඔහු පවසන තැන මගේ අවධානයට ලක්වුණා.
මෙවැනි අත්දැකීම් අපේ තරුණ පරපුරට වැදගත් වන්නේ ගණිතය යනු විභාගයකට සමීකරණ විසඳීම පමණක් නොව, සැබෑ ලෝකයේ ගැටලුවක් විමර්ශනය කිරීමට යොදාගත හැකි නිර්මාණශීලී මෙවලමක් බව පෙන්වා දෙන නිසයි.
මෙවැනි විද්‍යාත්මක සාකච්ඡා සිංහලෙන් ඉදිරිපත් කරන අධ්‍යාපනික YouTube නාලිකා අප අගය කළ යුතුයි. ඒවාට ලැබෙන අපේ කුඩා සහයෝගය පවා තවත් තරුණයෙකුගේ විද්‍යාත්මක කුතුහලය අවදි කිරීමට හේතුවක් විය හැකියි.
සාකච්ඡාව මෙතැනින් නරඹන්න.
මේ වෙබ් අඩවියේ අපට දැකගත හැක්කේ මොනවාද?
මෙහි තරල චලනයේ විවිධ සංසිද්ධීන් වෙන වෙනම අධ්‍යයනය කළ හැකි ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කර තිබෙනවා.
1. Laminar Flow — පිළිවෙළකට ගලා යන තරලය
තරලයේ ස්ථර සාපේක්ෂව පිළිවෙළකට ගලා යන ආකාරය මෙහිදී දැකගත හැකියි. එය තරල චලනයේ මූලික සංකල්ප තේරුම් ගැනීමට හොඳ ආරම්භයක්.
2. Flow Separation — ප්‍රවාහය මතුපිටකින් වෙන්වීම
ගුවන් යානයක තටුවක් හෝ වෙනත් වස්තුවක් වටා ගලා යන තරලය, යම් අවස්ථාවක එම මතුපිටින් වෙන්වී යනවා. මෙය ප්‍රතිරෝධය, ඉසිලීමේ බලය සහ වස්තුව පිටුපස ඇතිවන ප්‍රවාහ රටාවලට වැදගත් වෙනවා.
3. Vortices — තරල සුළි
මෙය මට විශේෂයෙන්ම ආකර්ෂණීය කොටසක්.
සිලින්ඩරයක් වටා ගලා යන තරලයක, සිලින්ඩරයට පිටුපසින් මාරුවෙන් මාරුවට සුළි නිර්මාණය විය හැකියි.
මෙම රටාව Kármán Vortex Street ලෙස හැඳින්වෙනවා.
මෙය දෘශ්‍යමය වශයෙන් සුන්දර වුවත්, ඉංජිනේරු විද්‍යාවේදී ඉතා වැදගත් ප්‍රශ්නයක් මතු කරනවා.
එවැනි සුළි නිසා වස්තුවකට කාලයත් සමඟ වෙනස්වන බල ඇතිවිය හැකියි. යම් තත්ත්වයන් යටතේ ඒවා ව්‍යුහයක කම්පනයටත් හේතු විය හැකියි.
4. Turbulence — කැළඹිලි සහිත ප්‍රවාහය
සන්සුන්ව ගලා යන තරලයක් ඇතැම් තත්ත්වයන් යටතේ අක්‍රමවත්, විවිධ ප්‍රමාණයේ සුළි සහිත ප්‍රවාහයක් බවට පත්වෙනවා.
මෙය Turbulence ලෙස හඳුන්වනවා.
Turbulence තේරුම් ගැනීම සහ නිවැරදිව පුරෝකථනය කිරීම අදත් තරල යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ විශාල අභියෝගයක්.
5. Free-Surface Flow — නිදහස් මතුපිටක් සහිත ප්‍රවාහය
ජල මතුපිට රළ ඇතිවීම, ජලය බිඳී යාම සහ ද්‍රවයක නිදහස් මතුපිට වෙනස්වීම වැනි සංසිද්ධීන් මේ ක්ෂේත්‍රයට අයත් වෙනවා.
වෙරළ හා සමුද්‍ර ඉංජිනේරු විද්‍යාවට මෙය විශේෂයෙන් වැදගත්.
මෙයට අමතරව Natural Convection, Shock Waves සහ Supersonic Flow වැනි මාතෘකාද මෙම වෙබ් අඩවියේ ඇතුළත් වෙනවා.
Reynolds Number — ප්‍රවාහයේ ස්වභාවය වෙනස් කරන අනුපාතයක්
මේ සජීවී රූප නරඹන විට අපට නැවත නැවත හමුවන තවත් සංකල්පයක් තමයි Reynolds Number.
එය සාමාන්‍යයෙන් මෙසේ ලියනවා.
Re = ρUL/μ
මෙහි U යනු ලාක්ෂණික ප්‍රවේගයක් වන අතර L යනු ලාක්ෂණික දිගක්.
Reynolds Number මඟින් තරලයේ අවස්ථිති බල සහ දුස්ස්‍රාවී බල අතර සාපේක්ෂ වැදගත්කම පිළිබඳ අදහසක් ලැබෙනවා.
උදාහරණයක් ලෙස, සිලින්ඩරයක් වටා ගලා යන තරලයක Reynolds Number වෙනස් කරන විට ප්‍රවාහ රටාවද වෙනස් විය හැකියි.
ඉතා අඩු Reynolds Number එකකදී දුස්ස්‍රාවී බලවල බලපෑම ප්‍රමුඛ වෙනවා.
එය වැඩි වන විට ප්‍රවාහ වෙන්වීම, සුළි ඇතිවීම සහ ඇතැම් අවස්ථාවල කැළඹිලි සහිත චලනය වර්ධනය වීම දැකගත හැකියි.
මේ වෙබ් අඩවියේ විවිධ Reynolds Number අගයන් යටතේ සිලින්ඩරයක් වටා ඇතිවන ප්‍රවාහ රටා සංසන්දනය කිරීම ඉතා ප්‍රයෝජනවත් අධ්‍යයනයක්.
මෙය ඉංජිනේරුවන්ට පමණක් වැදගත්ද?
කොහෙත්ම නැහැ.
ගණිතය කියන්නේ සමීකරණ විසඳීම පමණක් යැයි සිතන පාසල් සිසුවෙකුටත් මෙය වැදගත්.
අපි පොතක ඉගෙනගන්නා අවකලනය (Differentiation), දෛශික (Vectors), අවකල සමීකරණ (Differential Equations) සහ සංඛ්‍යාත්මක ක්‍රම (Numerical Methods) වැනි සංකල්ප සැබෑ ලෝකයේ ක්‍රියා කරන ආකාරය මෙයින් දැකගත හැකියි.
විශේෂයෙන්ම ගණිතය හදාරන තරුණයෙකුට මෙවැනි දෘශ්‍යමය අත්දැකීමක්, සංකීර්ණ ගණිතය තවදුරටත් ඉගෙනගැනීමට කුතුහලයක් ඇති කරන්න පුළුවන්.
අනෙක් අතට, ඉංජිනේරුවෙකුට තමන් භාවිත කරන ගණිතමය ආකෘතියක් පිටුපස තිබෙන භෞතික සංසිද්ධිය නැවත සිතා බැලීමට මෙය අවස්ථාවක්.
තවමත් විසඳී නැති Navier–Stokes ප්‍රශ්නය
මෙහිදී තවත් අපූරු කරුණක් සඳහන් කළ යුතුයි.
Navier–Stokes සමීකරණ ඉංජිනේරු විද්‍යාවේ දිනපතා භාවිත කළත්, ඒවා පිළිබඳ මූලික ගණිතමය ප්‍රශ්නයක් තවමත් නොවිසඳී පවතිනවා.
එනම්, සුදුසු ආරම්භක තත්ත්වයන් යටතේ ත්‍රිමාන, සම්පීඩනය නොවන Navier–Stokes සමීකරණවල සුමට විසඳුම් සෑම කාලයකටම පවතින්නේද, නැතහොත් ඇතැම් අවස්ථාවල එම සුමටභාවය බිඳ වැටිය හැකිද යන ප්‍රශ්නයයි.
මෙය Clay Mathematics Institute විසින් නම් කරන ලද Millennium Prize Problems හතෙන් එකක්.
මෙයින් කියවෙන්නේ Navier–Stokes සමීකරණ කිසිවක් විසඳීමට නොහැකි බව නොවෙයි.
විශේෂිත තත්ත්වයන් සඳහා අපට විශ්ලේෂණාත්මක විසඳුම්ද, බොහෝ ප්‍රායෝගික ගැටලු සඳහා සංඛ්‍යාත්මක ආසන්න විසඳුම්ද ලබාගත හැකියි.
නමුත් සියලු සුදුසු ත්‍රිමාන ආරම්භක තත්ත්වයන් සඳහා විසඳුම්වල දිගුකාලීන සුමටභාවය පිළිබඳ සම්පූර්ණ ගණිතමය සාධනයක් තවමත් අප සතුව නැහැ.
මෙය මට විද්‍යාවේ ඇති ඉතාමත් ආකර්ෂණීය ලක්ෂණයක්.
අපි දිනපතා භාවිත කරන සමීකරණයක පවා තවමත් විසඳී නැති ගැඹුරු ගණිතමය ප්‍රශ්න තිබිය හැකියි.
අවසානයේ මට සිතෙන දෙයක්
මම මේ වෙබ් අඩවිය දකින්නේ තරල යාන්ත්‍ර විද්‍යාව ඉගෙනගැනීමට තිබෙන තවත් එක් මූලාශ්‍රයක් ලෙස පමණක් නොවෙයි. එය ගණිතය, භෞතික ලෝකය සහ පරිගණකය අතර තිබෙන අපූරු සම්බන්ධය දැකගැනීමට ලැබෙන අවස්ථාවක්. අපි ගණිතමය සමීකරණයක් ලියන විට එහි තිබෙන්නේ සංකේත කිහිපයක් පමණක් නොවෙයි. ඒ සංකේතවලින් අපි උත්සාහ කරන්නේ ස්වභාවධර්මයේ සිදුවන යම් ක්‍රියාවලියක් පිළිබඳ නිරවද්‍ය විස්තරයක් ගොඩනැඟීමටයි.
එහෙත් ස්වභාවධර්මය ඒ සමීකරණ කියවාගෙන තමන්ගේ චලනය තීරණය කරන්නේ නැහැ. සිදුවන්නේ එහි අනෙක් පැත්තයි. ස්වභාවධර්මයේ චලනය නිරීක්ෂණය කරන අපි, එය විස්තර කිරීමට ගණිතමය භාෂාවක් නිර්මාණය කරනවා.
ඒ නිසාම ගණිතය ඉගෙනගැනීමේ සුන්දරත්වය තිබෙන්නේ නිවැරදි පිළිතුරක් සොයාගැනීම තුළ පමණක් නොවෙයි.
සමීකරණයකින් ලෝකය දෙස බලන්නට ඉගෙනගැනීම තුළත් එම සුන්දරත්වය තිබෙනවා.
තරලයක චලනය තුළ ඒ සුන්දරත්වය දැකගන්නට කැමති කෙනෙකුට මේ වෙබ් අඩවියට පිවිසෙන්නැයි මම ආරාධනා කරනවා.
An Album of Computational Fluid Motion
මුල් කෘතිය: An Album of Fluid Motion — Milton van Dyke (1982)
https://album-of-cfm.com/book/
මෙම ලිපිය වෙබ් අඩවිය හඳුන්වා දීමත්, එහි අන්තර්ගතයට අදාළ තරල යාන්ත්‍ර විද්‍යා සංකල්ප කිහිපයක් සරලව පැහැදිලි කිරීමත් සඳහා ලියන ලද්දකි.
