ගණිතය සිතන්නේ කවුද? රාමනුජන්ගේ දෙවඟන, පොපර්ගේ සීමාව සහ ලැකාන්ගේ අවිඥානය
ගණිතය සිතන්නේ කවුද? රාමනුජන්ගේ දෙවඟන, පොපර්ගේ සීමාව සහ ලැකාන්ගේ අවිඥානය
අප සිතනවාද, නැතහොත් අප තුළ යමක් සිතනවාද?
මීට පෙර ලියූ ලිපියකදී මා මතු කළ ප්‍රශ්නයක් නැවතත් වෙනත් මානයකින් බැලීමට මගේ සිත බල කරනව.
ගණිතඥයෙකු අලුත් ගණිතමය සම්බන්ධතාවක් සොයාගන්නා විට ඇත්තටම සිදුවන්නේ කුමක්ද?
ඔහු එය නිර්මාණය කරනවාද? නැතහොත් ඔහුටත් පෙර සිට පැවති, එහෙත් මෙතෙක් කිසිවෙකු නොදුටු සම්බන්ධතාවක් හදිසියේ ඔහු ඉදිරියේ විවෘත වෙනවාද?
මේ ප්‍රශ්නය මට වැදගත් වන්නේ ගණිතය නිසාම නොවෙයි. අපගේ සිතීම, නිර්මාණශීලීත්වය, අවිඥානය සහ දැන් කෘත්‍රිම බුද්ධිය පවා මේ ප්‍රශ්නය තුළ එකිනෙක හමුවන නිසයි. මේ ගැන සිතන්න අපට විවිධ පැති තයෙනවා.
ඉන්දියානු ගණිතඥ ශ්‍රීනිවාස රාමනුජන් තමන්ට ඇතැම් ගණිතමය අදහස් ලැබුණු ආකාරය නමගිරි දෙවඟන සමඟ සම්බන්ධ කර විස්තර කළ බව අප දන්නවා. ඔහුගේ ඒ අත්දැකීම අප අද්භූත සිදුවීමක් ලෙසම පිළිගත යුතු නැහැ. එසේම එය හුදු මිථ්‍යා විශ්වාසයක් යැයි කියා බැහැර කිරීමත් මට නම් එතරම් සෑහීමකට පත්විය හැකි පිළිතුරක් නොවෙයි.
මගේ කුතුහලය වෙනත් තැනකයි.
සවිඥානිකව පියවරෙන් පියවර සිතා නොබැලූ ගණිතමය සම්බන්ධතාවක් මිනිස් මනස තුළ හදිසියේ මතුවන්නේ කෙසේද?
මේ ගැන සිතමින් සිටියදී කාල් පොපර්ගේ විද්‍යාත්මක දර්ශනයත්, ලෙවි-චිවිටාගේ ගණිතමය සංකේතයකුත්, ජැක් ලැකාන්ගේ අවිඥානය පිළිබඳ අදහසුත් එකිනෙක සම්බන්ධ කර බැලීමට මට සිතුණා.
මේවා එකම දෙයක් පැහැදිලි කරන න්‍යායන් තුනක් නොවෙයි. එහෙත් එකිනෙකට වෙනස් මේ ක්ෂේත්‍ර තුන අතර යම් අපූරු දාර්ශනික සමානකමක් මට පෙනෙනවා.
පොපර්ගේ ප්‍රශ්නය: සත්‍යයක් විද්‍යාත්මක වන්නේ කෙසේද?
කාල් පොපර්ගේ නම ඇසූ විට අපට මතක් වන්නේ Falsifiability යන සංකල්පයයි.
ඔහුගේ තර්කය සරලව මෙසේ පැහැදිලි කළ හැකියි.
යම් විද්‍යාත්මක න්‍යායක් ඉදිරිපත් කරන විට එය නිවැරදි බව පෙන්වන උදාහරණ දහසක් සොයාගැනීම පමණක් ප්‍රමාණවත් නැහැ. එම න්‍යාය වැරදි බව පෙන්විය හැකි පරීක්ෂණයක් හෝ නිරීක්ෂණයක් මූලධර්මීය වශයෙන් තිබිය යුතුයි.
උදාහරණයක් ලෙස, සියලු හංසයන් සුදු පැහැති බව අප කියනවා යැයි සිතමු. සුදු හංසයන් දහස් ගණනක් දැකීමෙන් එය අවසාන වශයෙන් සනාථ වන්නේ නැහැ. එහෙත් එක කළු හංසයෙකු දැකීමෙන් එම ප්‍රකාශය අසත්‍ය බව පෙන්විය හැකියි.
මෙතැනදී පොපර් අපට කියන්නේ විද්‍යාත්මක දැනුමේ ස්වභාවය පිළිබඳ වැදගත් දෙයක්.
නමුත් මගේ ප්‍රශ්නය වෙනත් එකක්.
ගණිතමය සත්‍යයන්ටත් මේ නිර්ණායකය ඒ ආකාරයෙන්ම අදාළ වෙනවාද?
අපට කිසිදා ඇසින් දැකිය නොහැකි අනන්තයක් පිළිබඳ ගණිතමය ප්‍රකාශයක්, භෞතික පරීක්ෂණයකින් සනාථ කිරීම හෝ අසත්‍ය කිරීම කළ හැකිද?
ඇත්ත වශයෙන්ම පොපර්ගේ නිර්ණායකය ගොඩනැගුණේ ආනුභවික විද්‍යාව සහ ආනුභවික නොවන ප්‍රකාශ අතර සීමාව හඳුනාගැනීමටයි. ශුද්ධ ගණිතය ඒ නිර්ණායකයට යටත් නොවීම එහි අසාර්ථකත්වයක් නොවෙයි.
එහෙත් එම වෙනස අපට තවත් වැදගත් ප්‍රශ්නයක් විවෘත කරනවා.
භෞතික ලෝකයේ පරීක්ෂණයකින් තොරව, ගණිතමය ව්‍යුහයක් තුළ පමණක් සත්‍යයක් ස්ථාපිත විය හැක්කේ කෙසේද?
2. රාමනුජන්ගේ අමුතු අනන්තය
මෙතැනදී රාමනුජන්ගේ නම සමඟ නිතර සම්බන්ධ කෙරෙන අපූරු ගණිතමය ප්‍රකාශයක් මතක් වෙනවා.
මේක දුටු ගමන් සාමාන්‍ය ගණිතය දන්නා ඕනෑම කෙනෙකුට පුදුම හිතෙන්න පුළුවන්.
ධන සංඛ්‍යා එකතු කරගෙන යන විට ඍණ සංඛ්‍යාවක් ලැබෙන්නේ කොහොමද?
ඇත්තෙන්ම සාමාන්‍ය එකතු කිරීමේ අර්ථයෙන් මෙය නිවැරදි නැහැ. එම ශ්‍රේණියේ ආංශික එකතුව අසීමිත ලෙස වැඩි වෙනවා. එය (-1/12) වෙත අභිසාරී වන්නේ නැහැ.
එහෙත් රීමන් සීටා ශ්‍රිතය (Riemann Zeta Function) විශ්ලේෂකව දිගු කළ විට,
ζ(−1) = −1/12
යන අගය ලැබෙනවා.
මෙය සාමාන්‍ය අනන්ත එකතුවක් සහ විශේෂ ගණිතමය ක්‍රමයකින් එයට අනුයුක්ත කරන අගයක් අතර ඇති වෙනසයි.
මේ සම්බන්ධතාව රාමනුජන්ගේ කෘතිවල දක්නට ලැබෙන අපූරු අනන්ත ශ්‍රේණි පිළිබඳ චින්තනය සිහිපත් කරනවා.
නමුත් මගේ අවධානය යොමුවන්නේ මෙහි ඇති (-1/12) අගයටම නොවෙයි. ඒ අගය ලැබෙන්නේ අපගේ සාමාන්‍ය සංඛ්‍යාත්මක අත්දැකීමෙන් නොව, ගණිතමය ව්‍යුහයක නිශ්චිත නීති අනුගමනය කිරීමෙන් වීමයි.
අපට හුරුපුරුදු එකතු කිරීමේ ක්‍රියාවක්, වෙනත් ගණිතමය සන්දර්භයකදී සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් අර්ථයක් ලබාගන්නවා.
මෙතැනදී මට ලැකාන්ගේ භාෂාව පිළිබඳ අදහසක් සිහිපත් වෙනවා.
යම් සංකේතයක අර්ථය එම සංකේතය තුළම සිරවී තිබෙන දෙයක් නොවෙයි. එය වෙනත් සංකේත සමඟ ඇති සම්බන්ධතාව තුළින් නිර්මාණය වෙනවා.
ඒ සමානකම තව ටිකක් ගණිතමය ආකාරයෙන් බැලීමට මට අවශ්‍ය වුණා.
ලෙවි-චිවිටා: ස්ථාන මාරුවකින් වෙනස් වන අගය
ගණිතයේ සහ භෞතික විද්‍යාවේ භාවිත වන ලෙවි-චිවිටා සංකේතය (Levi-Civita Symbol) මෙහිදී මට හමු වූ ඉතාමත් රසවත් උදාහරණයක්.
ත්‍රිමාන අවකාශයක එය මෙසේ ලියනවා.
εijk
මෙහි (i,j,k) යනු දර්ශක (indices) තුනක්. ඒවාට 1, 2, 3 යන අගයන් ලබාදිය හැකියි.
එහි නීතිය මෙසේයි.
| εijk = +1 | ඉරට්ටේ පර්යුටේෂණයකදී |
| εijk = −1 | ඔත්තේ පර්යුටේෂණයකදී |
| εijk = 0 | දර්ශක දෙකක් හෝ සමාන වූ විට |
උදාහරණයක් ලෙස,
ε123 = +1
නමුත්,
ε213 = −1
එකම සංඛ්‍යා තුනයි.
වෙනස් කළේ ඒවායේ අනුපිළිවෙළ පමණයි.
එහෙත් අගය ධන එකක සිට ඍණ එකකට මාරු වෙනවා.
තවත් අවස්ථාවක් බලමු.
ε113 = 0
εiik = 0
මෙහි දර්ශක දෙකක් සමාන නිසා අගය ශුන්‍ය වෙනවා.
මෙය හුදු සංඛ්‍යා සෙල්ලමක් නොවෙයි. දෛශික ගුණිත (cross products), අවකාශීය දිශානතිය සහ ප්‍රතිසමමිතික ගණිතමය සම්බන්ධතා විස්තර කිරීමේදී මෙය වැදගත් කාර්යයක් ඉටු කරනවා.
මට මෙහි විශේෂයෙන්ම සිත්ගත්තේ වෙනත් කාරණයක්.
මෙහි අගය තීරණය වන්නේ එක් දර්ශකයක ස්වාධීන අර්ථයකින් නොව, දර්ශක තුන අතර ඇති පිළිවෙළ සහ වෙනස අනුවයි.
මෙය දැකීමෙන් මගේ සිත ගණිතයෙන් මනෝවිශ්ලේෂණය වෙත ගියා.
ලැකාන්: අප භාෂාව භාවිත කරනවාද, භාෂාව අපව භාවිත කරනවාද?
ජැක් ලැකාන්ගේ ප්‍රකට ප්‍රකාශයක් තිබෙනවා.
The unconscious is structured like a language.
අවිඥානය භාෂාවක් මෙන් ව්‍යුහගත වී තිබෙනවා.
මෙය අවිඥානය තුළ අප නොදන්නා වචන ගබඩාවක් තිබෙන බව කියන සරල අදහසක් නොවෙයි.
ලැකාන්ගේ අදහස අනුව, මනුෂ්‍යයා භාෂාවට ඇතුළු වන විට ඔහුට පෙර සිටම පවතින සංකේතමය සම්බන්ධතා ජාලයකට ඇතුළු වෙනවා.
අප උපදින්නටත් පෙර අපට නම් තිබෙනවා. පවුල් සම්බන්ධතා, සමාජීය අපේක්ෂා, තහනම් කිරීම් සහ අප වෙනුවෙන් අනෙක් අය ගොඩනැගූ කතා තිබෙනවා.
අප කතා කිරීමට ඉගෙනගන්නේ මේ සියල්ලෙන් සම්පූර්ණයෙන් නිදහස් වූ තැනක සිට නොවෙයි.
අප සිතන ආකාරය පවා ඒ භාෂාමය සම්බන්ධතා විසින් හැඩගස්වනවා.
ලැකාන්ගේ Signifier හෙවත් හැඟවුම්කාරකය පිළිබඳ අදහස මෙහිදී වැදගත් වෙනවා.
වචනයක හෝ සංකේතයක අර්ථය එය තුළ ස්ථිරව පවතින්නේ නැහැ. එය අනෙකුත් හැඟවුම්කාරක සමඟ ඇති සම්බන්ධතා තුළ වෙනස් වෙනවා. එකම වචනයක් වෙනත් වාක්‍යයකට ඇතුළු කළ විට වෙනත් අර්ථයක් ලබාගත හැකියි. එකම නමක්, වෙනත් කෙනෙකුගේ මුවින් ඇසෙන විට, අප තුළ වෙනස් හැඟීමක් ඇති කළ හැකියි.
මෙතැනදී මට නැවතත් ලෙවි-චිවිටා සංකේතය මතක් වෙනවා.
ε₁₂₃ = +1, ε₂₁₃ = −1
එකම දර්ශක, වෙනස් පිළිවෙළක්, වෙනස් ප්‍රතිඵලයක්.
ලැකාන්ගේ හැඟවුම්කාරක දාමයත් මෙවැනි ගණිතමය සංකේතයක් ලෙසම ක්‍රියා කරන බව මම කියන්නේ නැහැ. ඒ දෙක අතර සෘජු ගණිතමය සමානතාවක් නැහැ. එහෙත් ඒවා අතර දාර්ශනිකව සිතන්නට වටිනා සමානකමක් තිබෙනවා.
යම් දෙයක අර්ථය හෝ අගය තීරණය කිරීමේදී එය පවතින සම්බන්ධතා ව්‍යුහය තීරණාත්මක විය හැකියි.
ගණිතයේදී මෙය නිශ්චිත නීතියක්. භාෂාවේදී එය අර්ථය නිර්මාණය වන සංකීර්ණ ක්‍රියාවලියක්.
ඒ දෙක එකක් නොවුණත්, එකක් දෙස බලා අනෙක පිළිබඳ අලුතින් සිතන්නට පුළුවන්.
ශුන්‍යය, හිඩැස සහ අවිඥානය
ලෙවි-චිවිටා සංකේතයේ දර්ශක දෙකක් සමාන වූ විට අගය ශුන්‍ය වීම ගැන තවත් ටිකක් සිතන්නට මට අවශ්‍යයි.
εᵢᵢₖ = 0
ප්‍රතිසමමිතික ව්‍යුහය තුළ දර්ශක දෙකක් සමාන වූ විට ඒ සංරචකය අනිවාර්යයෙන් ශුන්‍ය වෙනවා. ලැකාන්ගේ මනෝවිශ්ලේෂණයේදීත් වෙනස (difference), අඩුව (lack) සහ සංකේතමය සම්බන්ධතා ඉතා වැදගත්.
නමුත් මෙතැනදී අප ප්‍රවේශම් විය යුතුයි.
ගණිතයේ ශුන්‍යය සහ ලැකාන්ගේ lack එකම දෙයක් නොවෙයි. එසේම දර්ශක දෙකක් සමාන වීම ලැකාන්ගේ foreclosure සංකල්පයට සමාන කළ නොහැකියි. ලැකාන්ගේ foreclosure යනු විශේෂිත හැඟවුම්කාරකයක් සංකේතමය අඩවියට ඇතුළත් නොවීම හා සම්බන්ධ මනෝවිශ්ලේෂණාත්මක සංකල්පයක්.
එය ගණිතමය ශුන්‍යයකින් පැහැදිලි කළ හැකි යාන්ත්‍රික ක්‍රියාවලියක් නොවෙයි.
එහෙත් මේ වෙනසම මට වැදගත් වෙනවා.
ගණිතය තුළ අපට සම්බන්ධතා පිළිබඳ නිශ්චිත නීති ගොඩනැගිය හැකියි. මිනිස් මනස තුළ ඒ සම්බන්ධතා එතරම් පහසුවෙන් ගණනය කළ නොහැකියි.
මිනිසාගේ සිහින, කටවැරදීම්, මතකයන්, ආශාවන් සහ බිය, ගණිතමය දර්ශක කිහිපයකට සීමා කරන්නට බැහැ.
එහෙත් ඒවා සම්පූර්ණයෙන් අහඹු දේවල් ලෙස සැලකීමටත් අපට බැහැ.
ලැකාන් අපට ආරාධනා කරන්නේ ඒවා තුළ ක්‍රියාත්මක වන සංකේතමය සම්බන්ධතා සොයා බලන්නටයි.
මෙතැනදී මට තවත් ප්‍රශ්නයක් ඇති වෙනවා.
අපගේ සවිඥානික මනසට නොපෙනෙන සම්බන්ධතා, අපගේ සිහින සහ කටවැරදීම් තුළින් මතු විය හැකි නම්, ගණිතමය ආභාසයක් තුළින් ද එවැනි නොපෙනෙන මානසික ක්‍රියාවලියක් ප්‍රකාශ විය නොහැකිද?
මෙය ලැකාන් විසින් ඔප්පු කළ ගණිතමය නිගමනයක් නොවෙයි.
මා මෙහි මතු කරන්නේ විමසා බැලිය යුතු හැකියාවක් පමණයි.
රාමනුජන් නැවත හමුවීම
දැන් අපි නැවතත් රාමනුජන් වෙත යමු.
ඔහුගේ ගණිතමය ආභාසය නමගිරි දෙවඟනගේ මැදිහත්වීමක් ලෙස ඔහු අර්ථකථනය කළා නම්, අපට එම අත්දැකීම කියවිය හැකි ආකාර කිහිපයක් තිබෙනවා.
ආගමික කියවීමකදී එය දිව්‍යමය ආනුභාවයක් විය හැකියි.
මනෝවිද්‍යාත්මක කියවීමකදී එය දිගුකාලීන ගණිතමය පුහුණුව, රටා හඳුනාගැනීම, මතකය සහ සවිඥානික නොවන මානසික ක්‍රියාවලීන්ගේ ප්‍රතිඵලයක් විය හැකියි.
දාර්ශනික කියවීමකදී තවත් ප්‍රශ්නයක් මතු වෙනවා.
ගණිතමය සම්බන්ධතා අප විසින් නිර්මාණය කරන දේවල්ද? නැතහොත් අප ඒවා සොයාගන්නා දේවල්ද?
මේ ප්‍රශ්නයට සරල පිළිතුරක් නැහැ.
ප්ලේටෝනික ගණිත දර්ශනයට අනුව, ගණිතමය සත්‍යයන් මිනිස් මනසින් ස්වාධීනව පවතිනවා.
අනෙක් අතට, ගණිතය මිනිසා විසින් නිර්මාණය කළ සංකේතමය පද්ධති සහ ඒවායේ නීති තුළින් ගොඩනැගෙන බව අවධාරණය කරන දාර්ශනික ප්‍රවේශත් තිබෙනවා.
රාමනුජන්ගේ අත්දැකීම මේ විවාදයට අවසාන පිළිතුරක් ලබාදෙන්නේ නැහැ.
එහෙත් එය අපට වැදගත් දෙයක් සිහිපත් කරනවා. ගණිතමය සොයාගැනීමක මොහොත සහ එම සොයාගැනීම ගණිතමය වශයෙන් සනාථ කිරීමේ ක්‍රියාවලිය එකම දෙයක් නොවන බවයි.
අදහසක් සිහිනයකින්, ආභාසයකින් හෝ හදිසි කල්පනාවකින් පැමිණිය හැකියි.
නමුත් එය ගණිතමය සත්‍යයක් වන්නේ එහි සාධනය සහ තාර්කික පදනම ස්ථාපිත කළ විටයි.
මේ දෙක අතර වෙනස අමතක නොකළ යුතුයි.
එසේ නම් කෘත්‍රිම බුද්ධිය සිතන්නේ කෙසේද?
මේ සියල්ල අතරට අද අලුත් අමුත්තෙකු පැමිණ තිබෙනවා.
කෘත්‍රිම බුද්ධිය.
AI පද්ධති ගණිතමය සම්බන්ධතා සොයාගන්නා විට හෝ නව සාධන සඳහා උපකාර කරන විට, අප නැවතත් පරණ ප්‍රශ්නය වෙත පැමිණෙනවා.
සොයාගැනීමක් සිදුවීමට එය සිදුකරන පද්ධතියට මිනිසෙකු මෙන් අභ්‍යන්තර අත්දැකීමක් තිබිය යුතුද?
රාමනුජන් තම ආභාසය දෙවඟනකගේ හඬක් ලෙස අත්විඳින්නට ඇති.
ගණිතමය AI පද්ධතියක් නම් සංඛ්‍යාත්මක නිරූපණ, ඇල්ගොරිතම, සෙවීම් සහ තාර්කික සම්බන්ධතා හරහා ප්‍රතිඵලයක් ලබාදෙනවා.
එහෙත් ඒ දෙක සමාන මානසික ක්‍රියාවලීන් බව මෙයින් කියවෙන්නේ නැහැ.
AI පද්ධතියකට මිනිසාට සමාන අවිඥානයක්, ආශාවක් හෝ අභ්‍යන්තර අත්දැකීමක් තිබෙන බවත් අපට මෙයින් නිගමනය කළ නොහැකියි.
මට මෙහි වැදගත් වන්නේ වෙනත් කරුණක්.
නව ගණිතමය සම්බන්ධතාවක් සොයාගැනීම සහ එම සොයාගැනීම සිදුකළේ කවුරුන්ද යන ප්‍රශ්නය, අප සිතා සිටියාට වඩා සංකීර්ණ වී තිබෙනවා.
ලැකාන්ගේ සංකේතමය අඩවිය මනුෂ්‍ය ආශාව, භාෂාව සහ අවිඥානය සමඟ බැඳුණු සංකල්පයක්. එය AI පද්ධතියකට සෘජුව ආදේශ කිරීම නිවැරදි නැහැ.
නමුත් මිනිසාගේ සවිඥානික පාලනයෙන් ඔබ්බට යන සංකේතමය ක්‍රියාවලීන් පිළිබඳ සිතීමට ලැකාන් අපට විවර කළ දාර්ශනික අවකාශය, අද AI පිළිබඳ විවාදයටත් අලුත් ප්‍රශ්න ගෙන එනවා.
අවසානයක් වෙනුවට තවත් ප්‍රශ්නයක්
මේ ලිපිය ලියන්නට පටන්ගත්තේ ගණිතයේ ඇති කුඩා සංකේතයක් නිසයි.
εᵢⱼₖ
එහි දර්ශක තුනක පිළිවෙළ වෙනස් කිරීමෙන් අගය වෙනස් වන ආකාරය මට ලැකාන්ගේ හැඟවුම්කාරක දාමය සිහිපත් කළා. එතැනින් රාමනුජන්ගේ ආභාසයත්, පොපර්ගේ විද්‍යාත්මක සීමා නිර්ණයත්, අවසානයේ කෘත්‍රිම බුද්ධියත් මගේ සිතුවිලි අතරට පැමිණියා.
මේ සියල්ල එකම න්‍යායකින් පැහැදිලි කරන්නට මම උත්සාහ කරන්නේ නැහැ.
ගණිතය මනෝවිශ්ලේෂණයට සාධකයක් නොවෙයි. මනෝවිශ්ලේෂණය ගණිතයට සාධනයක් නොවෙයි. එසේම AI මිනිස් අවිඥානයේ තාක්ෂණික පිටපතක් බවත් මෙයින් කියවෙන්නේ නැහැ.
එහෙත් මේ ක්ෂේත්‍ර එකිනෙක හමුවන තැන අපට නොසලකා හැරිය නොහැකි ප්‍රශ්නයක් ඉතිරි වෙනවා.
අපගේ සිතුවිලිවල කතුවරයා සැබවින්ම අපමද?
අප සිතන වචන අපට පෙර සිටම භාෂාව තුළ තිබුණා. අප විසඳන ගණිතමය ගැටලු අපට පෙර පරම්පරා ගණනාවක් ගොඩනැගූ සංකේත සහ නීති මත පදනම් වෙනවා. අපගේ ආශාවන් පවා අප තනිවම නිර්මාණය කළ දේවල් නොවන බව ලැකාන් අපට මතක් කරනවා.
එහෙත් ඒ සියල්ලෙන් මනුෂ්‍යයාගේ නිර්මාණශීලීත්වය අහෝසි වන්නේ නැහැ.
සමහර විට නිර්මාණශීලීත්වය කියන්නේම අපට උරුම වූ සංකේත, නීති සහ සම්බන්ධතා අතර මෙතෙක් කිසිවෙකු නොදුටු අලුත් මඟක් විවෘත කිරීම විය හැකියි.
රාමනුජන් එය දෙවඟනකගේ ආනුභාවය ලෙස අත්විඳින්නට ඇති.
ලැකාන් එවැනි අත්දැකීම් පිළිබඳ සිතීමට අවිඥානය සහ හැඟවුම්කාරකය අතර සම්බන්ධතාව අපට පෙන්වා දුන්නා.
අද AI අපට මේ ප්‍රශ්නය තවත් අලුත් ආකාරයකින් අසන්නට බල කරනවා.
අප ගණිතය තුළ සිතනවාද, නැතහොත් ගණිතය අපගේ සිතීම තුළින් තමන්ට මෙතෙක් නොතිබූ අලුත් ප්‍රකාශනයක් ලබාගන්නවාද?
මට නම් තවමත් මේ ප්‍රශ්නයට අවසාන පිළිතුරක් නැහැ. නමුත් එය අසන්නට හැකි වීමම, ගණිතයේත් දර්ශනයේත් ඇති අපූරු සුන්දරත්වයක් ලෙස මට හැඟෙනවා.
