සංඛ්‍යා දෙකක් අතර සැඟවුණු සම්බන්ධයකින් ක්වොන්ටම් පැටලීමේ ගණිතය සොයා යෑම
සංඛ්‍යා දෙකක් අතර සැඟවුණු සම්බන්ධයකින් ක්වොන්ටම් පැටලීමේ ගණිතය සොයා යෑම
3 සහ 7 යන සංඛ්‍යා දෙක අපව ක්වොන්ටම් ලෝකයට රැගෙන යන්නේ කෙසේද?
ක්වොන්ටම් පැටලීම (Quantum Entanglement) ගැන අප බොහෝ විට අසා තිබෙන්නේ තරමක් අද්භූත කතාවක්. අංශු දෙකක් එකිනෙකින් ඉතා ඈතට ගියත්, ඒවා අතර කිසියම් සම්බන්ධයක් ඉතිරි වන බවත්, එකක මිනුමක ප්‍රතිඵලය අනෙකේ මිනුම සමඟ සම්බන්ධ වන බවත් අපට කියා දෙනවා.
නමුත් මේ සම්බන්ධය ඇත්තෙන්ම කුමක්ද?
එය අංශු දෙක අතර අදෘශ්‍යමාන නූලක් තිබීමක්ද? නැතිනම් අප තවමත් නොදන්නා තොරතුරු හුවමාරුවක්ද?
මේ ප්‍රශ්නයට පිළිතුරක් සොයන්නට මම තරමක් වෙනස් මාර්ගයක් තෝරාගත්තා.
අපි ක්වොන්ටම් අංශු දෙකකින් නොව, ඉතා සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා දෙකකින් ආරම්භ කරමු.
3 සහ 7.
මේ සංඛ්‍යා දෙක විවිධ ගණිතමය ක්‍රියාවලට භාජනය කරමින්, ඒවායේ මුල් ස්වරූපය වෙනස් කළත් කිසියම් සම්බන්ධයක් නොවෙනස්ව තබාගත හැකිදැයි බලමු.
එතැනින් අපි ක්‍රමයෙන් ක්වොන්ටම් යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ සැබෑ ගණිතය වෙත ගමන් කරමු.
මෙහිදී මතක තබාගත යුතු වැදගත් දෙයක් තිබෙනවා. සංඛ්‍යා දෙකක් අතර සම්බන්ධයක් ආරක්ෂා වීම පමණක් ක්වොන්ටම් පැටලීමක් නොවෙයි. එහෙත් ඒ සරල අදහස, පැටලීමේ ගණිතය අවබෝධ කරගැනීමට හොඳ ආරම්භයක් විය හැකියි.
සංඛ්‍යා දෙකක් අතර සම්බන්ධය
අපි මුලින්ම සංඛ්‍යා දෙකක් තෝරාගනිමු.
a = 3
b = 7
දැන් ඒවා එකතු කරමු.
x = a + b = 10
ඊළඟට ඒවායේ වෙනස සොයමු.
y = a − b = −4
දැන් අප සතුව තිබෙන්නේ මුල් සංඛ්‍යා දෙක නොව, ඒවායින් නිර්මාණය කළ අලුත් සංඛ්‍යා දෙකක්.
x = 10 සහ y = −4
මේවා තවත් ගණිතමය ක්‍රියාවලියකට භාජනය කරමු. නමුත් මෙහිදී අප තෝරාගන්නා සමීකරණ දෙක ගැන මුලින්ම යමක් පැහැදිලි කළ යුතුයි.
u = 2x + 3y
v = 3x − 2y
ඇයි අපි මෙහි 2 සහ 3 යන සංඛ්‍යා තෝරාගත්තේ? 6 සහ 7 තෝරාගන්න බැරිද?
ඇත්තෙන්ම පුළුවන්. අපට වැදගත් වන්නේ ඒ සංඛ්‍යාවල නිශ්චිත අගයන් නොව, ඒවා සමීකරණ දෙක තුළ පිහිටුවා ඇති රටාවයි.
එය සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් මෙසේ ලියන්න පුළුවන්.
u = px + qy
v = qx − py
මෙහි p සහ q සඳහා එකවර ශුන්‍ය නොවන ඕනෑම තාත්වික සංඛ්‍යා යුගලයක් තෝරාගත හැකියි.
මේ රටාව තෝරාගැනීමට නිශ්චිත ගණිතමය හේතුවක් තිබෙනවා. සමීකරණ දෙකේ වර්ග එකතු කළ විට, මිශ්‍ර පද එකිනෙක අවලංගු වී පහත සම්බන්ධය ලැබෙනවා.
u² + v² = (p² + q²)(x² + y²)
එනම්, අපේ මුල් සංඛ්‍යා යුගලයේ වර්ග එකතුව, පරිවර්තනයෙන් පසු නිශ්චිත ගුණකයකින් පමණක් වෙනස් වෙනවා.
ඒ නිසා 2 සහ 3 තෝරාගත්තොත් එම ගුණකය 13 වන අතර, 6 සහ 7 තෝරාගත්තොත් එය 85 වෙනවා.
අපි 2 සහ 3 තෝරාගන්නේ ගණනය සරලව තබාගැනීමටයි. එහෙත් සමීකරණ දෙකේ රටාව තෝරාගන්නේ අපට අවශ්‍ය ගණිතමය ගුණයක් ආරක්ෂා කිරීමටයි.
මෙහි කිසිදු අහඹු හාස්කමක් නැහැ. අපි යම් ගුණයක් ආරක්ෂා වන ආකාරයට පරිවර්තනයක් නිර්මාණය කර, එම ගුණය ගණිතයෙන් තහවුරු කරමින් සිටිනවා.
මේ වෙනස අපේ ඉදිරි ක්වොන්ටම් ගවේෂණයට වැදගත් වෙනවා. මන්ද ක්වොන්ටම් යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේදීත් සියලු පරිවර්තන එකම ආකාරයෙන් ක්‍රියා නොකරන නිසාත්, විශේෂයෙන් ඒකීය පරිවර්තන යටතේ ඇතැම් ගුණ ආරක්ෂා වන නිසාත්ය.
අගයන් ආදේශ කළ විට,
u = 2(10) + 3(−4) = 8
v = 3(10) − 2(−4) = 38
දැන් අපට ලැබී තිබෙන්නේ,
u = 8 සහ v = 38
මුලින් තිබුණු 3 සහ 7 කොහේද?
ඒවා නැතිවී ගොස් නැහැ. අප නිර්මාණය කළ අලුත් සංඛ්‍යා දෙක තුළ ඒවා පිළිබඳ තොරතුරු තවමත් තිබෙනවා.
ඒ බව පෙන්වීමට මුල් සමීකරණවලට නැවත යමු.
u = 5a − b
v = a + 5b
මේ සමීකරණ දෙක විසඳීමෙන්,
a = (5u + v)/26
b = (−u + 5v)/26
දැන් u = 8 සහ v = 38 ආදේශ කරමු.
a = (5 × 8 + 38)/26 = 3
b = (−8 + 5 × 38)/26 = 7
අපි නැවතත් මුල් සංඛ්‍යා දෙක සොයාගෙන තිබෙනවා!
මෙහි අප දුටුවේ එක්තරා ආකාරයක තොරතුරු සංරක්ෂණයක්. සංඛ්‍යා වෙනස් වුවත්, ආපසු හැරවිය හැකි ගණිතමය පරිවර්තනයක් තුළ ඒවා පිළිබඳ තොරතුරු අතුරුදහන් වී නැහැ.
නමුත් මේ කතාව තවමත් සාමාන්‍ය වීජ ගණිතය පමණයි.
නොවෙනස්ව පවතින ගණිතමය ගුණයක්
දැන් අපි තවත් අපූරු දෙයක් සොයා බලමු.
මුල් සංඛ්‍යා දෙකේ වර්ග එකතු කළ විට,
a² + b² = 3² + 7² = 58
අලුත් සංඛ්‍යා දෙකේ වර්ග එකතු කළ විට,
u² + v² = 8² + 38² = 1508
මේ අගයන් අතර සම්බන්ධයක් තිබෙනවාද?
1508 = 26 × 58
එනම්,
u² + v² = 26(a² + b²)
මෙය 3 සහ 7 සඳහා පමණක් සත්‍ය වන අහඹු සම්බන්ධයක් නොවෙයි. අප තෝරාගත් පරිවර්තනය යටතේ ඕනෑම a සහ b සංඛ්‍යා දෙකකට එය සත්‍යයි.
ගණිතයේ මෙවැනි පරිවර්තන යටතේ නොවෙනස්ව පවතින ගුණයකට අවිචල්‍යයක් (Invariant) කියනවා.
මෙහිදී a² + b² යන අගය, පරිවර්තනයෙන් පසු නිශ්චිත 26 ගුණයකින් වැඩි වී තිබෙනවා.
අප පරිවර්තනයේ ප්‍රතිඵල √26 න් බෙදුවහොත්, වර්ග එකතුව නොවෙනස්ව තබාගත හැකියි.
√26 යනු 26 හි වර්ගමූලයයි.
මේ ආකාරයේ පරිවර්තනයක් ද්විමාන තලයක දෛශිකයක් භ්‍රමණය කිරීමක් ලෙසද තේරුම් ගත හැකියි.
දෛශිකයක් (Vector) යනු මෙහිදී දිශාවක් සහ විශාලත්වයක් ඇති ගණිතමය වස්තුවක්. (3, 7) යන සංඛ්‍යා යුගලය තලයක දෛශිකයක සංරචක දෙකක් ලෙස සැලකිය හැකියි.
දෛශිකය භ්‍රමණය කළත් එහි දිග නොවෙනස්ව පවතිනවා.
මේ අදහස ක්වොන්ටම් යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේ ඉතා වැදගත් ගණිතමය මූලධර්මයකට අපව සමීප කරනවා.
ක්වොන්ටම් අවස්ථාවක් යනු කුමක්ද?
දැන් අපි ක්වොන්ටම් ගණිතයට පිවිසෙමු.
සාමාන්‍ය පරිගණකයක තොරතුරු ඒකකය බිට් (Bit) ලෙස හඳුන්වනවා. බිට් එකකට 0 හෝ 1 යන අගයන්ගෙන් එකක් තිබිය හැකියි.
ක්වොන්ටම් පරිගණකයක මූලික තොරතුරු ඒකකය ක්‍යුබිට් (Qubit) ලෙස හඳුන්වනවා.
ක්‍යුබිට් එකක් 0 සහ 1 යන පදනම් අවස්ථා දෙකේ සුපිරිස්ථාපනයක (Superposition) පැවතිය හැකියි.
මෙය ගණිතමය වශයෙන් ලියන්නේ මෙහෙමයි.
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩
මෙය අපේ ලිපියේ පළමුවරට හමුවන අලුත් ගණිතමය භාෂාවක් නිසා, එහි සෑම සංකේතයක්ම හඳුනාගනිමු.
|ψ⟩ යනු කුමක්ද?
මෙය කෙට් අංකනය (Ket Notation) ලෙස හඳුන්වන සංකේත ක්‍රමයකින් ලියූ ක්වොන්ටම් අවස්ථාවක්.
ψ යනු ග්‍රීක හෝඩියේ ප්සයි (Psi) අක්ෂරයයි.
එහි වම්පස ඇති සිරස් ඉර සහ දකුණුපස ඇති කෝණ වරහන එකට එක්ව, ක්වොන්ටම් අවස්ථාවක් නිරූපණය කරන දෛශිකයක් හඳුන්වනවා. මෙම අංකන ක්‍රමය භෞතික විද්‍යාඥ පෝල් ඩිරැක් (Paul Dirac) විසින් වර්ධනය කළ නිසා එය Dirac notation ලෙසද හඳුන්වනවා.
|0⟩ සහ |1⟩ යනු කුමක්ද?
මේවා ක්‍යුබිට් එකක පදනම් අවස්ථා දෙකයි (Basis States).
අපට ඒවා ගණිතමය දෛශික දෙකක් ලෙස ලියන්නත් පුළුවන්.
|0⟩ = (1, 0)
|1⟩ = (0, 1)
මෙහි වරහන් තුළ ඇති සංඛ්‍යා යුගලය තීරු දෛශිකයක සංරචක දෙක දැක්වීමට භාවිත කරන කෙටි ලිවීමක්.
α සහ β යනු කුමක්ද?
මේවා සම්භාවිතා විස්තාර (Probability Amplitudes) ලෙස හඳුන්වනවා.
α යනු ග්‍රීක හෝඩියේ ඇල්ෆා අක්ෂරයයි. β යනු බීටා අක්ෂරයයි.
මෙම විස්තාර සාමාන්‍යයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා (Complex Numbers) විය හැකියි.
සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් යනු තාත්වික කොටසක් සහ අතාත්වික කොටසක් සහිත සංඛ්‍යාවක්. එහි අතාත්වික ඒකකය i ලෙස ලියන අතර i² = −1 යි.
α සහ β සෘජුවම සම්භාවිතා නොවෙයි.
ඒවායේ නිරපේක්ෂ අගයන්ගේ වර්ග මඟින් සම්භාවිතා ලබාගන්නවා.
|α|² + |β|² = 1
මෙහි |α| යන්නෙන් අදහස් වන්නේ α හි නිරපේක්ෂ අගය (Modulus) යි.
මේ සමීකරණයෙන් කියන්නේ, ක්‍යුබිට් එක 0 හෝ 1 ලෙස මැනීමේ සම්භාවිතා දෙකේ එකතුව 1, එනම් 100% විය යුතු බවයි.
අපේ 3 සහ 7 ක්වොන්ටම් විස්තාර බවට පත් කරමු
දැන් අපි නැවත මුල් සංඛ්‍යා දෙක වෙත යමු.
a = 3 සහ b = 7
ක්වොන්ටම් අවස්ථාවක් නිර්මාණය කිරීමට මේ සංඛ්‍යා දෙක සම්භාවිතා විස්තාර ලෙස භාවිත කරමු.
නමුත් 3² + 7² = 58 නිසා, ඒවා සෘජුවම භාවිත කළ නොහැකියි. සම්භාවිතා එකතුව 1 වන ලෙස සංඛ්‍යා දෙක සාමාන්‍යකරණය (Normalization) කළ යුතුයි.
එබැවින්,
α = 3/√58
β = 7/√58
දැන්,
|α|² + |β|² = 9/58 + 49/58 = 1
ඒ අනුව අපේ පළමු ක්වොන්ටම් අවස්ථාව,
|ψ⟩ = (3|0⟩ + 7|1⟩)/√58
මේ සමීකරණය කියවන්නේ මෙහෙමයි.
ක්‍යුබිට් එක 0 සහ 1 යන පදනම් අවස්ථා දෙකේ සුපිරිස්ථාපනයක පවතිනවා. ඒ අවස්ථා දෙකට අදාළ විස්තාර පිළිවෙළින් 3/√58 සහ 7/√58 යි.
අපි එය මැනුවහොත්,
0 ලැබීමේ සම්භාවිතාව = 9/58 ≈ 15.5%
1 ලැබීමේ සම්භාවිතාව = 49/58 ≈ 84.5%
මෙහිදී අප තේරුම් ගත යුතු දෙයක් තිබෙනවා.
ක්‍යුබිට් එක 15.5% ක් 0 ලෙසත්, ඉතිරි 84.5% ක් 1 ලෙසත් භෞතිකව බෙදී පවතිනවා යැයි මෙයින් අදහස් වන්නේ නැහැ.
මේවා නිශ්චිත පදනමක සිදුකරන මිනුමකදී ලැබිය හැකි ප්‍රතිඵලවල සම්භාවිතායි.
ක්වොන්ටම් සුපිරිස්ථාපනයක් යනු හුදෙක් අප නොදන්නා, කලින්ම තීරණය වූ 0 හෝ 1 අගයක් නොවෙයි.
0 ලැබීමේ සම්භාවිතාව = 9/58 ≈ 15.5%
1 ලැබීමේ සම්භාවිතාව = 49/58 ≈ 84.5%
මෙතැනදී අපට සාධාරණ ප්‍රශ්නයක් මතුවෙන්න පුළුවන්. ලැබිය හැකි ප්‍රතිඵල දෙකක් පමණක් තිබෙනවා නම්, ඒ දෙකටම 50% බැගින් සම්භාවිතාවක් නොලැබෙන්නේ ඇයි?
අපි සාමාන්‍ය කාසියක් උඩ දැමීම ගැන සිතමු. එහිදී හිස හෝ අගය ලැබීමේ සම්භාවිතාව 50% බැගින් බව කියන්නේ කාසිය සාධාරණ බවත්, ප්‍රතිඵල දෙකටම සමාන අවස්ථාවක් තිබෙන බවත් උපකල්පනය කරන නිසයි. නමුත් එක් පැත්තකට බර වැඩි කළ කාසියක එම සම්භාවිතා සමාන නොවිය හැකියි. එබැවින් ප්‍රතිඵල දෙකක් තිබීම පමණින් 50:50 සම්භාවිතාවක් අනිවාර්ය වන්නේ නැහැ.
ක්වොන්ටම් යාන්ත්‍ර විද්‍යාවේදීත් ප්‍රතිඵල දෙකකට සමාන සම්භාවිතා තිබිය යුතු නැහැ. නමුත් එම සම්භාවිතා ගණනය කරන්නේ විශේෂ නියමයකට අනුවයි.
එය බෝර්න් නියමය (Born Rule) ලෙස හඳුන්වනවා. ක්වොන්ටම් අවස්ථාවක යම් මිනුම් ප්‍රතිඵලයකට අදාළ සම්භාවිතාව, එම ප්‍රතිඵලයට අදාළ සම්භාවිතා විස්තාරයේ නිරපේක්ෂ අගයේ වර්ගයෙන් ලැබෙන බව එයින් කියැවෙනවා.
|α|² + |β|² = 1
මෙහි |α| යන්නෙන් අදහස් වන්නේ α හි නිරපේක්ෂ අගය (Modulus) යි.
අපේ උදාහරණයේ විස්තාර දෙක 3/√58 සහ 7/√58 නිසා, ඒවායේ වර්ග පිළිවෙළින් 9/58 සහ 49/58 වෙනවා.
එසේ නම් 50:50 සම්භාවිතාවක් ලැබෙන්නේ කවදාද?
අපේ ක්‍යුබිට් එකේ විස්තාර දෙකේ නිරපේක්ෂ අගයන් සමාන වූ විටයි. උදාහරණයක් ලෙස,
|ψ⟩ = (|0⟩ + |1⟩)/√2
නම්,
0 ලැබීමේ සම්භාවිතාව = 1/2 = 50%
1 ලැබීමේ සම්භාවිතාව = 1/2 = 50%
මෙහිදී තවත් වැදගත් දෙයක් තේරුම් ගත යුතුයි.
අපේ මුල් ක්‍යුබිට් එක 15.5% ක් 0 ලෙසත්, ඉතිරි 84.5% ක් 1 ලෙසත් භෞතිකව බෙදී පවතිනවා යැයි මෙයින් අදහස් වන්නේ නැහැ.
මේවා අප තෝරාගත් මිනුම් පදනමෙන් ක්‍යුබිට් එක මිිනුම් කළ විට ලැබිය හැකි ප්‍රතිඵලවල සම්භාවිතායි.
එම ක්වොන්ටම් අවස්ථාවම වෙනත් පදනමකින් මැන්නොත් සම්භාවිතා වෙනස් විය හැකියි.
එමෙන්ම ක්වොන්ටම් සුපිරිස්ථාපනයක් යනු හුදෙක් අප නොදන්නා, කලින්ම තීරණය වූ 0 හෝ 1 අගයක් නොවෙයි. එහි සම්භාවිතා විස්තාර අතර සාපේක්ෂ කලා සම්බන්ධතා (Relative Phases) තිබිය හැකි අතර, ඒවා ක්වොන්ටම් නිරෝධනය (Quantum Interference) වැනි සංසිද්ධිවලට බලපානවා.
ඒ නිසා 50:50 හෝ 15.5:84.5 යන සම්භාවිතා අනුපාත පමණක් බැලීමෙන් ක්වොන්ටම් අවස්ථාවක සම්පූර්ණ ස්වභාවය හඳුනාගත නොහැකියි.
අපේ ක්වොන්ටම් අවස්ථාව පරිවර්තනය කරමු
දැන් අපි මුලින් භාවිත කළ ගණිතමය පරිවර්තනයම ක්වොන්ටම් අවස්ථාවට යොදමු.
අපේ මුල් පරිවර්තනය මතකද?
u = 5a − b
v = a + 5b
මෙය න්‍යාසයක් (Matrix) භාවිතයෙන් මෙසේ නිරූපණය කළ හැකියි.
M = [[5, −1], [1, 5]]
න්‍යාසයක් යනු පේළි සහ තීරු වශයෙන් සකස් කළ සංඛ්‍යා සමූහයක්. මෙහි කොටු වරහන් ඇතුළත ඇති සංඛ්‍යා යුගල දෙක න්‍යාසයේ පේළි දෙක නිරූපණය කරනවා.
අපේ මුල් සංඛ්‍යා දෙක (3, 7) මෙම න්‍යාසයෙන් පරිවර්තනය කළ විට,
පළමු පේළියෙන්,
5 × 3 − 1 × 7 = 8
දෙවැනි පේළියෙන්,
1 × 3 + 5 × 7 = 38
ලැබෙනවා.
ඒ අනුව,
M(3, 7) = (8, 38)
නමුත් දැන් අපි සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා යුගලයක් සමඟ නොව, ක්වොන්ටම් අවස්ථාවක් සමඟ වැඩ කරන නිසා තවත් කොන්දේසියක් සපුරාලිය යුතුයි.
ක්වොන්ටම් අවස්ථාවේ සම්භාවිතා එකතුව 1 ලෙසම පවත්වාගත යුතුයි.
අපේ මුල් ක්වොන්ටම් අවස්ථාව,
|ψ⟩ = (3|0⟩ + 7|1⟩)/√58
ලෙස සාමාන්‍යකරණය කර තිබුණේ ඒ නිසයි.
දැන් M න්‍යාසය යෙදීමෙන් ලැබෙන 8 සහ 38 සංඛ්‍යා දෙකේ වර්ග එකතුව බලමු.
8² + 38² = 64 + 1444 = 1508
එහෙත් මුල් සංඛ්‍යා දෙකේ වර්ග එකතුව,
3² + 7² = 9 + 49 = 58
අප කලින් සොයාගත් පරිදි,
1508 = 26 × 58
එනම්, මෙම පරිවර්තනයෙන් දෛශිකයේ වර්ග දිග 26 ගුණයකින් වැඩි වෙනවා.
ඒ නිසා ක්වොන්ටම් අවස්ථාවේ සාමාන්‍යකරණය ආරක්ෂා කරගැනීමට, M න්‍යාසය √26 න් බෙදිය යුතුයි.
එවිට අපට ලැබෙන්නේ,
R = [[5, −1], [1, 5]]/√26
මෙය සාමාන්‍යකරණය ආරක්ෂා කරන ඒකීය පරිවර්තනයක් (Unitary Transformation).
දැන් මෙම R න්‍යාසය අපේ ක්වොන්ටම් අවස්ථාවට යොදමු.
|ψ′⟩ = R|ψ⟩
මෙහි ψ′ යනු පරිවර්තනයෙන් පසු ලැබෙන අලුත් ක්වොන්ටම් අවස්ථාවයි.
පළමුව, අපේ මුල් විස්තාර දෙක මත න්‍යාසය ක්‍රියාත්මක කරමු.
පළමු විස්තාරය:
[5 × 3 − 1 × 7]/(√26 × √58)
= 8/(√26 × √58)
දෙවැනි විස්තාරය:
[1 × 3 + 5 × 7]/(√26 × √58)
= 38/(√26 × √58)
දැන් වර්ගමූල ගුණ කිරීමේ නියමය අනුව,
√26 × √58 = √(26 × 58)
= √1508
ඒ නිසා අපේ අලුත් ක්වොන්ටම් අවස්ථාව,
|ψ′⟩ = (8|0⟩ + 38|1⟩)/√1508
ලෙස ලැබෙනවා.
මෙන්න නැවතත් අපට 8 සහ 38 හමුවුණා!
නමුත් දැන් ඒවා සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා දෙකක් නොවෙයි. සාමාන්‍යකරණය කළ ක්වොන්ටම් අවස්ථාවක සම්භාවිතා විස්තාර නිර්මාණය කිරීමට භාවිත වන සංඛ්‍යා දෙකක්.
අවසාන වශයෙන්, අපේ නව ක්වොන්ටම් අවස්ථාව නිවැරදිව සාමාන්‍යකරණය වී තිබෙනවාදැයි පරීක්ෂා කරමු.
P(0) = 8²/1508 = 64/1508
P(1) = 38²/1508 = 1444/1508
එවිට,
P(0) + P(1) = (64 + 1444)/1508
= 1508/1508
= 1
එනම් සම්පූර්ණ සම්භාවිතාව තවමත් 100% යි.
මෙහිදී සිදු වූයේ කුමක්ද?
මුල් ක්වොන්ටම් අවස්ථාවේ සම්භාවිතා විස්තාර වෙනස් වී තිබෙනවා. එම නිසා 0 සහ 1 මැනීමේ සම්භාවිතාත් වෙනස් වෙනවා.
එහෙත් සමස්ත සම්භාවිතාව 1 ලෙස ආරක්ෂා වී තිබෙනවා.
ඒකීය පරිවර්තනයක වැදගත් ගුණයක් වන්නේ මෙයයි. එය ක්වොන්ටම් අවස්ථාව වෙනස් කළත් එහි සාමාන්‍යකරණය ආරක්ෂා කරනවා.
අප තවමත් ක්වොන්ටම් පැටලීමක් නිර්මාණය කර නැහැ. ඒ සඳහා අවශ්‍ය වන ගණිතමය පදනමක් පමණයි මේ වන විට සකස් කරගෙන තිබෙන්නේ.
අප මෙතෙක් අධ්‍යයනය කළේ එක් ක්‍යුබිට් එකක් පමණයි.
ක්වොන්ටම් පැටලීමක් ඇති කිරීමට දැන් අපට දෙවැනි ක්‍යුබිට් එකක් අවශ්‍යයි.
දෙවැනි ක්‍යුබිට් එක හඳුන්වා දෙමු
අපේ පළමු ක්‍යුබිට් එක A ලෙස හඳුන්වමු.
|ψ⟩A = (3|0⟩ + 7|1⟩)/√58
දෙවැනි ක්‍යුබිට් එක B ලෙස හඳුන්වමු.
එය මුලින් |0⟩ අවස්ථාවේ තිබෙනවා යැයි සිතමු.
|ψ⟩B = |0⟩
දැන් ක්‍යුබිට් දෙක එකම ගණිතමය පද්ධතියක් ලෙස විස්තර කිරීමට අපට ටෙන්සර් ගුණිතය (Tensor Product) අවශ්‍ය වෙනවා.
ටෙන්සර් ගුණිතය යනු වෙන වෙනම ගණිතමය අවකාශ දෙකක් ඒකාබද්ධ කර, සංයුක්ත පද්ධතියක් නිරූපණය කිරීමට භාවිත කරන ක්‍රමයක්.
එහි සංකේතය ⊗ යි.
එබැවින්,
|Ψ₀⟩ = |ψ⟩A ⊗ |0⟩B
මෙහි Ψ යනු විශාල ප්සයි අක්ෂරයයි. එය ක්‍යුබිට් දෙකේ ඒකාබද්ධ අවස්ථාව හඳුන්වන්නට භාවිත කරමු. පහළ ඇති ₀ සංකේතයෙන් ආරම්භක අවස්ථාව දැක්වෙනවා.
ටෙන්සර් ගුණිතය විහිදුවා ලියූ විට,
|Ψ₀⟩ = (3|00⟩ + 7|10⟩)/√58
මෙහි |00⟩ යන්නෙන් A = 0 සහ B = 0 යන පදනම් අවස්ථාව නිරූපණය කරනවා.
|10⟩ යන්නෙන් A = 1 සහ B = 0 යන පදනම් අවස්ථාව නිරූපණය කරනවා.
ක්‍යුබිට් දෙකක පද්ධතියකට මෙවැනි පදනම් අවස්ථා හතරක් තිබෙනවා.
|00⟩, |01⟩, |10⟩, |11⟩
නමුත් අපේ ආරම්භක පද්ධතිය තවමත් ක්වොන්ටම් පැටලීමකට පත්වී නැහැ.
ඒ ඇයි?
අපට තවමත් ඒකාබද්ධ අවස්ථාව, වෙන වෙනම ක්‍යුබිට් දෙකේ අවස්ථාවල ටෙන්සර් ගුණිතයක් ලෙස ලියන්න පුළුවන්.
එවැනි අවස්ථාවකට වෙන් කළ හැකි අවස්ථාවක් (Separable State) කියනවා.
දැන් ක්වොන්ටම් පැටලීම නිර්මාණය කරමු
මෙතැනදී අපි ක්වොන්ටම් පරිගණකවල භාවිත කරන විශේෂ ක්‍රියාවක් හඳුන්වා දෙමු.
එය CNOT Gate ලෙස හඳුන්වනවා.
CNOT යනු Controlled-NOT යන්නෙහි කෙටි නමයි.
CNOT ක්‍රියාව තරමක් සරලව තේරුම් ගනිමු
අපි මොහොතකට ක්වොන්ටම් ලෝකයෙන් පිටතට පැමිණ, සාමාන්‍ය විදුලි ස්විච දෙකක් ගැන සිතමු.
එකක් A ලෙසත් අනෙක B ලෙසත් නම් කරමු.
ස්විචයකට අවස්ථා දෙකක් තිබෙනවා.
0 = අක්‍රිය (OFF)
1 = සක්‍රිය (ON)
දැන් A ස්විචය පාලකයා ලෙසත් B ස්විචය එම පාලනයට යටත් වන ස්විචය ලෙසත් සලකමු.
අපි පහත නීතිය පනවමු.
A = 0 නම්, B වෙනස් කරන්න එපා.
A = 1 නම්, B හි තිබෙන අවස්ථාව අනෙක් පැත්තට පෙරළන්න.
මෙහි පෙරළීම යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ,
0 → 1
1 → 0
යන වෙනස්කම් දෙකයි.
ඒ අනුව, A සක්‍රියව තිබෙන විට පමණක් B හි අවස්ථාව වෙනස් වෙනවා.
දැන් අපි මේ ක්‍රියාව සිදුවිය හැකි අවස්ථා හතරෙන්ම බලමු.
පළමු අවස්ථාව: |00⟩
මෙයින් අදහස් වන්නේ A = 0 සහ B = 0 බවයි.
A අක්‍රිය නිසා B වෙනස් කිරීමට අවශ්‍ය නැහැ.
ඒ නිසා,
|00⟩ → |00⟩
දෙවැනි අවස්ථාව: |01⟩
මෙහි A = 0 සහ B = 1.
A තවමත් අක්‍රියයි. ඒ නිසා B හි තිබෙන 1 අගය වෙනස් වන්නේ නැහැ.
|01⟩ → |01⟩
තුන්වැනි අවස්ථාව: |10⟩
මෙහි A = 1 සහ B = 0.
දැන් A සක්‍රිය නිසා B පෙරළිය යුතුයි.
B හි 0 අගය 1 බවට පත්වෙනවා.
|10⟩ → |11⟩
හතරවැනි අවස්ථාව: |11⟩
මෙහි A = 1 සහ B = 1.
නැවතත් A සක්‍රිය නිසා B පෙරළෙනවා.
මෙවර B හි 1 අගය 0 බවට පත්වෙනවා.
|11⟩ → |10⟩
මේ අවස්ථා හතර එකට ගත් විට,
|00⟩ → |00⟩
|01⟩ → |01⟩
|10⟩ → |11⟩
|11⟩ → |10⟩
මෙයයි CNOT ක්‍රියාවේ මූලික නීතිය.
නමුත් මෙතැනදී අප තවත් දෙයක් අවබෝධ කරගත යුතුයි.
අප මෙතෙක් පැහැදිලි කළේ CNOT ක්‍රියාව පදනම් අවස්ථා හතරකට බලපාන ආකාරය පමණයි.
මේ නීතියම සාමාන්‍ය පරිගණකයක බිට් දෙකකටත් යෙදිය හැකියි. එයින් පමණක් ක්වොන්ටම් පැටලීමක් ඇතිවන්නේ නැහැ.
ක්වොන්ටම් ලෝකයේ විශේෂත්වය මතුවන්නේ පළමු ක්‍යුබිට් එක 0 හෝ 1 යන නිශ්චිත පදනම් අවස්ථාවක නොව, ඒ දෙකේ සුපිරිස්ථාපනයක තිබෙන විටයි.
අපේ මුල් ක්‍යුබිට් එක මතකද?
|ψ⟩ = (3|0⟩ + 7|1⟩)/√58
මෙහිදී පළමු ක්‍යුබිට් එක 0 හෝ 1 ලෙස කලින්ම මැන තීරණය කර නැහැ. එය ඒ අවස්ථා දෙකේ සුපිරිස්ථාපනයක් ලෙස සකස් කර තිබෙනවා.
දැන් එයට දෙවැනි ක්‍යුබිට් එකක් එකතු කරමු. දෙවැනි ක්‍යුබිට් එක මුලින් |0⟩ අවස්ථාවේ තිබෙනවා.
එවිට ඒකාබද්ධ අවස්ථාව,
|Ψ₀⟩ = (3|00⟩ + 7|10⟩)/√58
ලෙස ලියන්න පුළුවන්.
දැන් මේ සමීකරණය දෙස බලන්න.
එහි පද දෙකක් තිබෙනවා.
පළමු පදය 3|00⟩.
දෙවැනි පදය 7|10⟩.
CNOT ක්‍රියාව මේ පද දෙකටම යෙදෙනවා.
පළමු පදයේ |00⟩ වෙනස් වන්නේ නැහැ.
දෙවැනි පදයේ |10⟩ යන්න |11⟩ බවට පත්වෙනවා.
එබැවින්,
(3|00⟩ + 7|10⟩)/√58
යන්න,
(3|00⟩ + 7|11⟩)/√58
බවට පත්වෙනවා.
මෙහිදී 3 සහ 7 යන සම්භාවිතා විස්තාර වෙනස් වී නැහැ. වෙනස් වී තිබෙන්නේ ඒවා සමඟ සම්බන්ධ වී ඇති පදනම් අවස්ථායි.
මෙය ක්‍යුබිට් දෙක වෙන වෙනම පාලනය කිරීමක් ලෙස නොව, ඒවායේ ඒකාබද්ධ ක්වොන්ටම් අවස්ථාව මත සිදුවන පරිවර්තනයක් ලෙස තේරුම් ගැනීම වැදගත්.
දැන් අපට ලැබී තිබෙන්නේ,
|Ψ⟩ = (3|00⟩ + 7|11⟩)/√58
යන අවස්ථාවයි.
මෙහි පළමු ක්‍යුබිට් එක 0 ලෙස මැනුවහොත් දෙවැනි ක්‍යුබිට් එකත් 0 ලෙස ලැබෙනවා.
පළමු ක්‍යුබිට් එක 1 ලෙස මැනුවහොත් දෙවැනි ක්‍යුබිට් එකත් 1 ලෙස ලැබෙනවා.
එහෙත් මිනුම සිදු කිරීමට පෙර, පද්ධතියේ අවස්ථාව 00 හෝ 11 යන දෙකෙන් එකක් ලෙස කලින්ම තෝරාගෙන තිබෙනවා යැයි මෙයින් අදහස් වන්නේ නැහැ.
මේ අවස්ථාව වෙන් කළ නොහැකි ක්වොන්ටම් අවස්ථාවක් බව අපි ඊළඟ ගණිතමය පියවරේදී තහවුරු කරමු.
මෙතැනදී අපට පළමු වරට ක්වොන්ටම් පැටලීමේ සැබෑ ගණිතමය ස්වරූපය හමුවෙනවා.
මෙය සැබෑ පැටලීමක් බව ගණිතයෙන් පෙන්වමු
අපේ අවස්ථාව නැවත ලියමු.
|Ψ⟩ = (3|00⟩ + 7|11⟩)/√58
මෙය වෙන් කළ හැකි අවස්ථාවක් යැයි මොහොතකට උපකල්පනය කරමු.
එවිට එය මෙසේ ලියන්නට හැකි විය යුතුයි.
(α|0⟩ + β|1⟩) ⊗ (γ|0⟩ + δ|1⟩)
මෙහි γ (ගැමා) සහ δ (ඩෙල්ටා) යනු තවත් සම්භාවිතා විස්තාර දෙකක් නිරූපණය කිරීමට යොදාගත් ග්‍රීක අක්ෂරයි.
මෙම ගුණිතය විහිදුවා ලියූ විට,
αγ|00⟩ + αδ|01⟩ + βγ|10⟩ + βδ|11⟩
අපේ අවස්ථාව සමඟ සැසඳූ විට,
αγ = 3/√58
αδ = 0
βγ = 0
βδ = 7/√58
පළමු සහ අවසාන සමීකරණ දෙක අනුව α, β, γ සහ δ යන කිසිවක් ශුන්‍ය විය නොහැකියි.
නමුත් මැද සමීකරණ දෙක අනුව ඒවායේ සමහර ගුණිත ශුන්‍ය විය යුතුයි.
එය පරස්පරතාවක්.
එබැවින් අපේ අවස්ථාව වෙන වෙනම ක්‍යුබිට් අවස්ථා දෙකක ගුණිතයක් ලෙස ලියන්න බැහැ.
එය ගණිතමය වශයෙන් පැටලුණු ක්වොන්ටම් අවස්ථාවක් බව දැන් තහවුරුයි.
පැටලුණු ක්‍යුබිට් දෙක මැන්නොත් කුමක් සිදුවේද?
අපේ අවස්ථාව,
|Ψ⟩ = (3|00⟩ + 7|11⟩)/√58
දැන් ක්‍යුබිට් දෙකම 0 සහ 1 පදනමෙන් මැනුවහොත් ලැබිය හැකි ප්‍රතිඵල බලමු.
A = 0, B = 0 : සම්භාවිතාව 9/58
A = 0, B = 1 : සම්භාවිතාව 0
A = 1, B = 0 : සම්භාවිතාව 0
A = 1, B = 1 : සම්භාවිතාව 49/58
මෙයින් පෙනෙන්නේ ක්‍යුබිට් දෙකම මැනූ විට ඒවායේ ප්‍රතිඵල සැමවිටම සමාන වන බවයි.
A = 0 නම් B = 0.
A = 1 නම් B = 1.
නමුත් A මැනීමට පෙර එහි නිශ්චිත ප්‍රතිඵලය අපට කිව නොහැකියි.
එය 0 වීමේ සම්භාවිතාව 9/58 යි.
1 වීමේ සම්භාවිතාව 49/58 යි.
මෙහි වැදගත් කරුණක් තිබෙනවා.
ක්‍යුබිට් දෙකේ ප්‍රතිඵල සමාන වීම පමණක් ක්වොන්ටම් පැටලීමක් ඇති බවට ප්‍රමාණවත් සාක්ෂියක් නොවෙයි. සාමාන්‍ය සම්භාවිතා පද්ධතියකද මෙවැනි සම්බන්ධතා තිබිය හැකියි.
අපේ අවස්ථාව පැටලුණු එකක් බව තහවුරු කරන්නේ පෙර කොටසේ පෙන්වූ, එය වෙන් කළ නොහැකි බවයි.
පැටලීම නොවෙනස්ව තබාගෙන අවස්ථාව වෙනස් කළ හැකිද?
දැන් අපි මේ ගණිතමය ගවේෂණය ආරම්භයේදී ඇසූ ප්‍රශ්නයට නැවත පැමිණෙමු.
අපි සංඛ්‍යා දෙකක් තෝරාගෙන, ඒවා විවිධ ගණිතමය ක්‍රියාවලට භාජනය කළා. සංඛ්‍යාවල අගයන් වෙනස් වුණත්, ඒවා අතර තිබුණු කිසියම් ගණිතමය ගුණයක් ආරක්ෂා කරගත හැකි බවත් දුටුවා.
දැන් අපට ඊට වඩා වැදගත් ප්‍රශ්නයක් තිබෙනවා.
පැටලුණු ක්‍යුබිට් දෙකකින් එකක් පමණක් වෙනස් කළොත්, ඒ දෙක අතර ඇති ක්වොන්ටම් පැටලීමත් වෙනස් වෙනවාද?
මෙය තේරුම් ගැනීමට අපි කලින් නිර්මාණය කළ ක්වොන්ටම් අවස්ථාව නැවත ගනිමු.
|Ψ⟩ = (3|00⟩ + 7|11⟩)/√58
මෙහි A සහ B යන ක්‍යුබිට් දෙක පැටලී තිබෙනවා.
මේ සමීකරණයේ පද දෙකක් තිබෙනවා.
පළමු පදය 3|00⟩.
දෙවැනි පදය 7|11⟩.
ඒවායේ පළමු ඉලක්කම A ක්‍යුබිට් එකත්, දෙවැනි ඉලක්කම B ක්‍යුබිට් එකත් නිරූපණය කරනවා.
දැන් අපි A ක්‍යුබිට් එකට පමණක් වෙනසක් කරමු. B ක්‍යුබිට් එකට කිසිවක් නොකරමු.
මේක තේරුම් ගැනීමට කුඩා උපමාවක් සිතමු.
එකම සිදුවීමක් කැමරා දෙකකින් රූගත කරනවා යැයි සිතන්න. පළමු කැමරාවේ කෝණය වෙනස් කළොත් එයින් පෙනෙන රූපය වෙනස් වෙනවා. දෙවැනි කැමරාව එතැනම තිබෙනවා.
කැමරා දෙකෙන් ලැබෙන රූප වෙනස් වුණත්, ඒවා රූගත කරන්නේ එකම සිදුවීමයි.
අපේ ක්වොන්ටම් පරිවර්තනය මෙයට සම්පූර්ණයෙන් සමාන නැහැ. මන්ද අප මෙහි වෙනස් කරන්නේ නිරීක්ෂණ කෝණයක් පමණක් නොව, A ක්‍යුබිට් එකේ ක්වොන්ටම් අවස්ථාවම නිසායි. එහෙත් එක් පැත්තකින් පෙනෙන ආකාරය වෙනස් වීමෙන් සමස්ත පද්ධතියේ සියලු ගුණ අනිවාර්යයෙන් වෙනස් නොවන බව සිතාගැනීමට මේ උපමාව උපකාරී වෙනවා.
පළමුව A ක්‍යුබිට් එකට සිදුවන වෙනස බලමු
අපි කලින් භාවිත කළ R පරිවර්තනය මතකද?
R = [[5, −1], [1, 5]]/√26
මෙය යෙදූ විට තනි ක්‍යුබිට් එකක |0⟩ සහ |1⟩ යන පදනම් අවස්ථා වෙනස් වන්නේ කෙසේදැයි පළමුව සොයා බලමු.
|0⟩ යනු (1, 0) යන දෛශිකය බව අපි කලින් හඳුනාගත්තා.
ඒ නිසා R න්‍යාසය |0⟩ මත යෙදූ විට,
පළමු සංරචකය = 5 × 1 − 1 × 0 = 5
දෙවැනි සංරචකය = 1 × 1 + 5 × 0 = 1
එබැවින්,
R|0⟩ = (5|0⟩ + |1⟩)/√26
මෙහි තේරුම වන්නේ මුලින් |0⟩ ලෙස තිබුණු පදනම් අවස්ථාව, පරිවර්තනයෙන් පසු |0⟩ සහ |1⟩ යන අවස්ථා දෙකේ සුපිරිස්ථාපනයක් බවට පත්වන බවයි.
දැන් |1⟩ සඳහා එම ක්‍රියාවම කරමු.
|1⟩ යනු (0, 1) යන දෛශිකයයි.
පළමු සංරචකය = 5 × 0 − 1 × 1 = −1
දෙවැනි සංරචකය = 1 × 0 + 5 × 1 = 5
එබැවින්,
R|1⟩ = (−|0⟩ + 5|1⟩)/√26
දැන් අපට වැදගත් ප්‍රතිඵල දෙකක් ලැබී තිබෙනවා.
|0⟩ → (5|0⟩ + |1⟩)/√26
|1⟩ → (−|0⟩ + 5|1⟩)/√26
මෙහි − ලකුණ සෘණ සම්භාවිතාවක් අදහස් කරන්නේ නැහැ. එය සම්භාවිතා විස්තාරයක ලකුණයි. මෙවැනි ලකුණු ක්වොන්ටම් අවස්ථාවල සාපේක්ෂ කලා සම්බන්ධතාවලට වැදගත් වෙනවා.
දැන් මේ වෙනස පැටලුණු ක්‍යුබිට් දෙකට යොදමු
අපේ මුල් අවස්ථාව නැවත බලමු.
|Ψ⟩ = (3|00⟩ + 7|11⟩)/√58
පළමු පදය 3|00⟩ යි.
මෙහි පළමු 0 යනු A ක්‍යුබිට් එකයි. දෙවැනි 0 යනු B ක්‍යුබිට් එකයි.
අපි A පමණක් වෙනස් කරන නිසා, B හි 0 නොවෙනස්ව තබාගනිමු.
A හි |0⟩ වෙනුවට අපට දැන්,
(5|0⟩ + |1⟩)/√26
ලැබෙනවා.
ඒ නිසා |00⟩ යන ඒකාබද්ධ පදනම් අවස්ථාව,
(5|00⟩ + |10⟩)/√26
බවට පත්වෙනවා.
මුලින් තිබුණු 3 ගුණකයත් ඇතුළත් කළ විට,
3|00⟩ → (15|00⟩ + 3|10⟩)/√26
මෙන්න අපේ අලුත් සංඛ්‍යා දෙකක් ලැබුණා!
15 සහ 3.
ඒවා අහඹුවෙන් ලැබුණු සංඛ්‍යා නොවෙයි.
15 = 3 × 5
3 = 3 × 1
දැන් දෙවැනි පදයට යමු.
එය 7|11⟩ යි.
මෙහි A ක්‍යුබිට් එක |1⟩ අවස්ථාවේ තිබෙනවා. B ක්‍යුබිට් එකත් |1⟩ අවස්ථාවේ තිබෙනවා.
අපි A පමණක් වෙනස් කරන නිසා, B හි |1⟩ නොවෙනස්ව තබාගනිමු.
A හි |1⟩ වෙනුවට,
(−|0⟩ + 5|1⟩)/√26
ආදේශ කරමු.
එවිට |11⟩ යන්න,
(−|01⟩ + 5|11⟩)/√26
බවට පත්වෙනවා.
මුලින් තිබුණු 7 ගුණකය ඇතුළත් කළ විට,
7|11⟩ → (−7|01⟩ + 35|11⟩)/√26
දැන් අපට තවත් සංඛ්‍යා දෙකක් ලැබුණා.
−7 සහ 35.
මෙහිදීත්,
−7 = 7 × (−1)
35 = 7 × 5
යන ගුණ කිරීම් පමණයි සිදුවී තිබෙන්නේ.
දැන් ප්‍රතිඵල දෙක එකතු කරමු
පළමු පදයෙන් අපට ලැබුණේ,
15|00⟩ + 3|10⟩
දෙවැනි පදයෙන් ලැබුණේ,
−7|01⟩ + 35|11⟩
මේ සියල්ල එකතු කළ විට,
15|00⟩ − 7|01⟩ + 3|10⟩ + 35|11⟩
ලැබෙනවා.
නමුත් මුල් අවස්ථාව සාමාන්‍යකරණය කිරීමට √58 න් බෙදා තිබුණු බවත්, අලුත් පරිවර්තනයේදී √26 න් බෙදිය යුතු බවත් අමතක නොකරමු.
එබැවින් සම්පූර්ණ හරය,
√58 × √26 = √1508
වෙනවා.
ඒ අනුව අපේ අලුත් ක්වොන්ටම් අවස්ථාව,
|Ψ′⟩ = (15|00⟩ − 7|01⟩ + 3|10⟩ + 35|11⟩)/√1508
ලෙස ලැබෙනවා.
මෙන්න අපි පියවරෙන් පියවර සොයාගත් ප්‍රතිඵලය!
දැන් සිදු වූ වෙනස දෙස බලමු
මුලින් අපට තිබුණේ,
|Ψ⟩ = (3|00⟩ + 7|11⟩)/√58
යන අවස්ථාවයි.
එහි |01⟩ සහ |10⟩ යන පදනම් අවස්ථාවල විස්තාර ශුන්‍යයි.
නමුත් පරිවර්තනයෙන් පසු අපට පදනම් අවස්ථා හතරටම ශුන්‍ය නොවන විස්තාර ලැබී තිබෙනවා.
අපි අලුත් අවස්ථාව මැනුවහොත් ලැබිය හැකි ප්‍රතිඵලවල සම්භාවිතා දැන් වෙනස් වී තිබෙනවා.
|00⟩ ලැබීමේ සම්භාවිතාව = 15²/1508 = 225/1508
|01⟩ ලැබීමේ සම්භාවිතාව = (−7)²/1508 = 49/1508
|10⟩ ලැබීමේ සම්භාවිතාව = 3²/1508 = 9/1508
|11⟩ ලැබීමේ සම්භාවිතාව = 35²/1508 = 1225/1508
මේවා එකතු කළ විට,
(225 + 49 + 9 + 1225)/1508 = 1
එනම් සම්පූර්ණ සම්භාවිතාව තවමත් 100% යි.
නමුත් තවත් වැදගත් වෙනසක් සිදුවී තිබෙනවා.
මුලින් අපි ක්‍යුබිට් දෙකම 0 සහ 1 පදනමෙන් මැනූ විට ඒවායේ ප්‍රතිඵල සැමවිටම සමාන වුණා.
දැන් එම පදනමෙන්ම මැනූ විට |01⟩ සහ |10⟩ යන ප්‍රතිඵලත් ලැබිය හැකියි.
එනම්, කලින් අපට පැහැදිලිව පෙනුණු සමාන ප්‍රතිඵල ලැබීමේ සම්බන්ධය දැන් එම ආකාරයෙන් නොපෙනෙනවා.
එසේ නම් අපේ ක්වොන්ටම් පැටලීම නැතිවී ගොස් තිබෙනවාද?
මෙතැනදී අප ඉතා ප්‍රවේශම් විය යුතුයි. මිනුම් ප්‍රතිඵලවල සම්භාවිතා වෙනස් වීමත්, ක්වොන්ටම් පැටලීම නැතිවීමත් එකම දෙයක් නොවෙයි. අප කළේ A ක්‍යුබිට් එකට පමණක් ආපසු හැරවිය හැකි ඒකීය පරිවර්තනයක් යෙදීමයි. B ක්‍යුබිට් එකට කිසිදු පරිවර්තනයක් යෙදුවේ නැහැ.
එවැනි පරිවර්තනයකින් ක්‍යුබිට් දෙක අතර ඇති පැටලීමේ ප්‍රමාණය වෙනස් වන්නේ නැහැ.
එය තවමත් ආරක්ෂා වී තිබෙනවා.
නමුත් අප එසේ කියන්නේ හුදෙක් මුල් සංඛ්‍යා ආපසු සොයාගත හැකි නිසා නොවෙයි. පැටලීමේ ප්‍රමාණය නොවෙනස්ව පවතින බවට නිශ්චිත ගණිතමය හේතුවක් තිබෙනවා.
ඒ හේතුව තේරුම් ගැනීමට අපට ක්වොන්ටම් පැටලීම මැනිය හැකි ගණිතමය ක්‍රමයක් අවශ්‍ය වෙනවා.
ඒ සඳහා අපි ඊළඟට Concurrence නමින් හඳුන්වන පැටලීමේ මිනුම හඳුනාගනිමු.
එවිට අපට අනුමාන කිරීමෙන් තොරව, පරිවර්තනයට පෙර සහ පසු පැටලීමේ ප්‍රමාණය සංඛ්‍යාත්මකව සසඳා බැලීමට පුළුවන්.
පැටලීම මැනීම — Concurrence
ක්‍යුබිට් දෙකක පිරිසිදු ක්වොන්ටම් අවස්ථාවක පැටලීමේ ප්‍රමාණය මැනීමට භාවිත කරන එක් ගණිතමය මිනුමක් Concurrence ලෙස හඳුන්වනවා.
පිරිසිදු අවස්ථාවක් (Pure State) යනු එක් අවස්ථා දෛශිකයකින් සම්පූර්ණයෙන් විස්තර කළ හැකි ක්වොන්ටම් අවස්ථාවක්.
අපේ අවස්ථාව පද හතරක් සහිත සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් ලියමු.
|Ψ⟩ = c₀₀|00⟩ + c₀₁|01⟩ + c₁₀|10⟩ + c₁₁|11⟩
මෙහි c₀₀, c₀₁, c₁₀ සහ c₁₁ යනු අදාළ පදනම් අවස්ථාවල සම්භාවිතා විස්තාරයි.
ඒවා 2 × 2 න්‍යාසයක් ලෙස සකස් කළ හැකියි.
C = [[c₀₀, c₀₁], [c₁₀, c₁₁]]
දැන් අපට නිර්ණායකය (Determinant) හඳුන්වා දීමට සිදුවෙනවා.
2 × 2 න්‍යාසයක නිර්ණායකය ගණනය කරන්නේ ප්‍රධාන විකර්ණයේ සංඛ්‍යා දෙකේ ගුණිතයෙන් අනෙක් විකර්ණයේ සංඛ්‍යා දෙකේ ගුණිතය අඩු කිරීමෙන්.
උදාහරණයක් ලෙස,
C = [[p, q], [r, s]]
නම්,
det(C) = ps − qr
මෙහි det යනු determinant යන්නෙහි කෙටි යෙදුමයි.
ක්‍යුබිට් දෙකක සාමාන්‍යකරණය කළ පිරිසිදු අවස්ථාවක් සඳහා Concurrence අගය,
𝒞 = 2|det(C)|
ලෙස ගණනය කළ හැකියි.
මෙහි 𝒞 යනු පැටලීමේ ප්‍රමාණය නිරූපණය කිරීමට භාවිත කරන සංකේතයයි.
𝒞 = 0 නම් අවස්ථාව වෙන් කළ හැකියි.
𝒞 = 1 නම් එය උපරිම පැටලීමක් සහිත පිරිසිදු ක්‍යුබිට් යුගලයක්.
0 සහ 1 අතර අගයන් මඟින් වෙනත් පැටලීමේ ප්‍රමාණ නිරූපණය කරනවා.
අපේ මුල් පැටලුණු අවස්ථාවට,
C = [[3, 0], [0, 7]]/√58
එහි නිර්ණායකය,
det(C) = 21/58
එබැවින්,
𝒞 = 42/58 = 21/29 ≈ 0.724
දැන් පරිවර්තනයෙන් පසු අවස්ථාව බලමු.
C′ = [[15, −7], [3, 35]]/√1508
එහි නිර්ණායකය,
det(C′) = [15 × 35 − (−7 × 3)]/1508
= 546/1508
එබැවින්,
𝒞′ = 2 × 546/1508
𝒞′ = 21/29 ≈ 0.724
මෙන්න අප සොයමින් සිටි ප්‍රතිඵලය!
පරිවර්තනයට පෙර,
𝒞 = 21/29
පරිවර්තනයට පසු,
𝒞′ = 21/29
ක්වොන්ටම් අවස්ථාවේ ගණිතමය සංරචක වෙනස් වී තිබුණත්, පැටලීමේ ප්‍රමාණය නොවෙනස්ව පවතිනවා.
මෙය අහඹු සිදුවීමක් නොවෙයි.
ක්‍යුබිට් දෙකට වෙන වෙනම යොදන ඒකීය පරිවර්තන (Local Unitary Transformations) යටතේ පිරිසිදු ද්විපාර්ශ්වික අවස්ථාවක පැටලීමේ ප්‍රමාණය ආරක්ෂා වෙනවා.
ක්වොන්ටම් පැටලීම ගැන අවසානයේ අප තේරුම් ගත යුත්තේ කුමක්ද?
අපි මේ ගමන ආරම්භ කළේ 3 සහ 7 යන සාමාන්‍ය සංඛ්‍යා දෙකකින්.
ඒවා එකතු කළා. අඩු කළා. විවිධ ගණිතමය පරිවර්තනවලට භාජනය කළා. සංඛ්‍යා වෙනස් වුණත්, ඒවා අතර යම් ගණිතමය ගුණයක් ආරක්ෂා කරගත හැකි බව සොයාගත්තා.
අවසානයේ ඒ සංඛ්‍යා දෙක ක්වොන්ටම් අවස්ථාවක සම්භාවිතා විස්තාර ලෙස භාවිත කරමින්, ක්‍යුබිට් දෙකක් අතර පැටලීමක් නිර්මාණය කළා.
නමුත් මෙහිදී අප අමතක නොකළ යුතු දෙයක් තිබෙනවා.
ක්වොන්ටම් පැටලීම යනු සංඛ්‍යා දෙකක් අතර ඇති ගණිතමය සම්බන්ධයක් පමණක් නොවෙයි.
එය තේරුම් ගැනීමට අපි ඉතා සරල උදාහරණයක් ගනිමු.
එකිනෙකට සම්බන්ධ පෙට්ටි දෙකක් ගැන සිතමු
අපට A සහ B යනුවෙන් පෙට්ටි දෙකක් තිබෙනවා යැයි සිතන්න. ඒ දෙකේ එක්කෝ රතු, නැත්නම් නිල් බෝලයක් තිබෙනවා.
අපි පෙට්ටි සකස් කරන්නේ එකක රතු බෝලයක් තිබුණොත් අනෙකේත් රතු බෝලයක් තිබෙන ආකාරයටයි. එකක නිල් බෝලයක් තිබුණොත් අනෙකේත් නිල් බෝලයක් තිබෙනවා.
දැන් පෙට්ටි දෙක දුරස්ථ ස්ථාන දෙකකට ගෙන ගියත්, පළමු පෙට්ටිය විවෘත කර රතු බෝලයක් දුටුවොත් අනෙක් පෙට්ටියේත් රතු බෝලයක් තිබෙන බව අප දන්නවා.
මේක පුදුමයක් නොවෙයි.
මන්ද බෝලවල වර්ණ අප පෙට්ටි වසා දැමීමට පෙරම තීරණය වී තිබුණා විය හැකියි.
මෙය සාමාන්‍ය ලෝකයේ අප දන්නා සම්බන්ධතාවක්.
නමුත් ක්වොන්ටම් පැටලීම මෙයට වඩා වෙනස්.
ක්වොන්ටම් පද්ධතියකදී ක්‍යුබිට් දෙකේ ඒකාබද්ධ අවස්ථාව, එක් ක්‍යුබිට් එකකට එක් ස්වාධීන ක්වොන්ටම් අවස්ථාවකුත් අනෙකට තවත් ස්වාධීන ක්වොන්ටම් අවස්ථාවකුත් ලබාදී සම්පූර්ණයෙන් විස්තර කළ නොහැකි විය හැකියි.
එවිට අපට ක්‍යුබිට් දෙක වෙන වෙනම විස්තර කිරීමෙන් පමණක් සම්පූර්ණ පද්ධතිය තේරුම් ගැනීමට බැහැ.
ඒවායේ ඒකාබද්ධ ක්වොන්ටම් අවස්ථාව ගැනම කතා කළ යුතුයි.
මෙයයි පැටලීමේ මූලික අදහස.
එහෙත් එකම ප්‍රතිඵලය ලැබෙන පෙට්ටි දෙකක උදාහරණය පමණක් පැටලීම සනාථ කිරීමට ප්‍රමාණවත් නැහැ. එය අපට පැටලීම ගැන සිතාගැනීමට උපකාරී වන පළමු පියවරක් පමණයි.
එසේ නම් පැටලීම අඩු වැඩි විය හැකිද?
ඔව්. පැටලීමක් තිබෙනවාද නැද්ද යන්න පමණක් නොව, එහි ප්‍රමාණය කොපමණද යන්නත් අපට ගණිතමය වශයෙන් මැනිය හැකියි.
අපේ මුල් උදාහරණය නැවත බලමු.
|Ψ⟩ = (3|00⟩ + 7|11⟩)/√58
මෙහි |00⟩ සහ |11⟩ යන අවස්ථා දෙකේ සම්භාවිතා විස්තාර සමාන නැහැ.
අපි කලින් හඳුනාගත් Concurrence නමැති පැටලීමේ මිනුම අනුව, මෙම අවස්ථාවේ පැටලීමේ අගය,
C = 21/29 ≈ 0.724
ලෙස ලැබෙනවා.
මෙම මිනුමේදී,
C = 0 නම් පැටලීමක් නැහැ.
C = 1 නම් උපරිම පැටලීමක් තිබෙනවා.
0 සහ 1 අතර අගයක් ලැබුණොත්, පැටලීමක් තිබෙන නමුත් එය උපරිම මට්ටමේ නැහැ.
ඒ අනුව අපේ උදාහරණයේ 0.724 යනු පැටලීමක් තිබෙන බවත්, එය උපරිම පැටලීමක් නොවන බවත් පෙන්වන අගයක්.
මෙය අර්ධ පැටලීමක් (Partial Entanglement) ලෙස හඳුන්වන්න පුළුවන්.
නමුත් මෙහිදී වරදවා තේරුම් නොගත යුතු දෙයක් තිබෙනවා.
0.724 යන්නෙන් ක්‍යුබිට් දෙක 72.4% ක කාලයක් පැටලී සිටින බවක් අදහස් වන්නේ නැහැ.
එසේම එක් ක්‍යුබිට් එකකින් 72.4% ක් පමණක් අනෙක් ක්‍යුබිට් එකට සම්බන්ධ වී ඇති බවක් අදහස් වන්නේත් නැහැ.
එය මේ විශේෂ ගණිතමය මිනුම අනුව, සම්පූර්ණ ක්වොන්ටම් අවස්ථාවේ පැටලීමේ ප්‍රමාණය නිරූපණය කරන සංඛ්‍යාවක්.
උපරිම පැටලීමක් තිබෙන්නේ කවදාද?
අපේ උදාහරණයේ 3 සහ 7 වෙනුවට සමාන සම්භාවිතා විස්තාර දෙකක් තිබුණා යැයි සිතමු.
එවිට,
|Φ⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2
යන අවස්ථාව අපට ලැබෙනවා.
මෙය ප්‍රසිද්ධ Bell අවස්ථාවක්.
මෙහි Concurrence අගය,
C = 1
වෙනවා.
එනම් ක්‍යුබිට් දෙක උපරිම ලෙස පැටලී තිබෙනවා.
නමුත් මෙයින් වැදගත් වෙනසක් හඳුනාගත යුතුයි.
|00⟩ සහ |11⟩ සමාන සම්භාවිතාවකින් ලැබීම පමණක් උපරිම පැටලීමක් තිබෙන බව ඔප්පු කරන්නේ නැහැ. කලින්ම සකස් කළ සාමාන්‍ය පෙට්ටි දෙකකින් පවා එවැනි ප්‍රතිඵල ලබාගත හැකියි.
ක්වොන්ටම් පැටලීමේ වෙනස මතුවන්නේ විවිධ ආකාරවලින් මිනුම් සිදුකරන විට පෙනෙන සම්බන්ධතා තුළයි.
බෙල් අසමානතා අපට කියාදෙන්නේ කුමක්ද?
මෙහිදී අපට තවත් ප්‍රශ්නයක් මතු වෙනවා.
ක්‍යුබිට් දෙක අතර අප දකින සම්බන්ධතාව, පෙට්ටි දෙකේ බෝලවල වර්ණ මෙන් කලින්ම තීරණය වී තිබෙන දෙයක් පමණක්ද?
එසේත් නැත්නම් සාමාන්‍ය භෞතික ලෝකය පිළිබඳ අපේ අපේක්ෂාවලට වඩා වෙනස් දෙයක් මෙහි සිදුවෙනවාද?
භෞතික විද්‍යාඥ ජෝන් බෙල් (John Bell) ඉදිරිපත් කළ බෙල් අසමානතා (Bell Inequalities) වැදගත් වන්නේ මෙතැනදීයි.
ඒවා ඉතා සරලව තේරුම් ගත්තොත්, එක් එක් පද්ධතියේ මිනුම් ප්‍රතිඵල දේශීයව (Local) පවතින සැඟවුණු තොරතුරු මගින් තීරණය වන බව උපකල්පනය කළ විට, දුරස්ථ පද්ධති දෙකක මිනුම් ප්‍රතිඵල අතර සම්බන්ධතා කොතරම් ප්‍රබල විය හැකිද යන්නට සීමා පනවන ගණිතමය නියමයන් ලෙස සැලකිය හැකියි.
ක්වොන්ටම් යාන්ත්‍ර විද්‍යාව අනාවැකි පළ කරන්නේ ඇතැම් පැටලුණු අවස්ථා සහ සුදුසු මිනුම් සැකැස්මක් යටතේ එම සීමා ඉක්මවිය හැකි බවයි.
පර්යේෂණවලින්ද එවැනි උල්ලංඝනයන් නිරීක්ෂණය කර තිබෙනවා.
ඒ නිසා ක්වොන්ටම් පැටලීම යනු ගණිතමය කුතුහලයක් පමණක් නොවෙයි. එය සැබෑ භෞතික පර්යේෂණවලින් පරීක්ෂා කළ හැකි සංසිද්ධියක්.
නමුත් පැටලීමක් තිබෙන සෑම අවස්ථාවකම, අප තෝරාගන්නා ඕනෑම මිනුම් සැකැස්මකින් බෙල් අසමානතාවක් උල්ලංඝනය වන බවක් මෙයින් කියැවෙන්නේ නැහැ.
එසේ නම් එක් ක්‍යුබිට් එකකින් අනෙකට ක්ෂණික පණිවිඩයක් යැවිය හැකිද?
මෙය බොහෝ දෙනෙකුට ඇතිවන තවත් කුතුහලයක්.
පැටලුණු ක්‍යුබිට් දෙකක් ඉතා ඈත ස්ථාන දෙකක තබා තිබුණා යැයි සිතමු.
අපි A ක්‍යුබිට් එක මැනුවහොත්, එහි ප්‍රතිඵලය දැනගැනීමෙන් B ක්‍යුබිට් එක ගැනත් යම් තොරතුරක් ලබාගත හැකියි.
නමුත් A ක්‍යුබිට් එක මනින පුද්ගලයාට තමන් කැමති ප්‍රතිඵලය තෝරාගැනීමට බැහැ.
එසේම B ක්‍යුබිට් එක මනින පුද්ගලයාට, තමන්ගේ මිනුම් ප්‍රතිඵල පමණක් බලා A හි පුද්ගලයා මිනුමක් කළාද නැද්ද යන්න හඳුනාගැනීමටත් බැහැ.
ඒ සඳහා දෙදෙනාගේ මිනුම් වාර්තා සාමාන්‍ය සන්නිවේදන ක්‍රමයකින් එකිනෙකා සමඟ සසඳා බැලිය යුතුයි.
ඒ නිසා ක්වොන්ටම් පැටලීමෙන් ආලෝකයේ වේගයට වඩා වේගයෙන් පණිවිඩ යැවිය නොහැකියි.
අවසානයේ අප පැමිණ සිටින්නේ කොතැනටද?
අපේ ගමන ආරම්භ වූයේ 3 සහ 7 යන සංඛ්‍යා දෙක අතර ගණිතමය සම්බන්ධයක් සොයාගැනීමෙන්.
නමුත් අවසානයේ අප හඳුනාගත්තේ ඊට වඩා ගැඹුරු දෙයක්.
ක්වොන්ටම් පැටලීමකදී වැදගත් වන්නේ එක් ක්‍යුබිට් එකක තනි අවස්ථාව පමණක් නොවෙයි. ක්‍යුබිට් දෙක එක්ව නිර්මාණය කරන සමස්ත අවස්ථාවයි.
අපට එම අවස්ථාවේ පෙනුම වෙනස් කළ හැකියි. එක් ක්‍යුබිට් එකකට පමණක් ඒකීය පරිවර්තනයක් යෙදිය හැකියි. මිනුම් ප්‍රතිඵලවල සම්භාවිතා වෙනස් කළ හැකියි.
එහෙත් එවැනි දේශීය ඒකීය පරිවර්තනයකින් ක්‍යුබිට් දෙක අතර ඇති පැටලීමේ ප්‍රමාණය වෙනස් වන්නේ නැහැ.
මෙයයි අප මුලින් සොයාගත් ගණිතමය ගුණයක් ආරක්ෂා වීමේ අදහසත්, ක්වොන්ටම් පැටලීමේ ගණිතයත් අතර ඇති සැබෑ සම්බන්ධය.
සංඛ්‍යා වෙනස් විය හැකියි. ක්වොන්ටම් අවස්ථාව නිරූපණය කරන ආකාරය වෙනස් විය හැකියි. නමුත් ඒ වෙනස්කම් අතරත් නොවෙනස්ව පවතින ගුණයක් තිබිය හැකියි.
එහෙත් එය අප කැමති ආකාරයට නිර්මාණය කළ ගණිතමය උපමාවකින් පමණක් සනාථ කළ නොහැකියි.
එය සැබෑ ක්වොන්ටම් ලෝකයේ පවතින බව අප දන්නේ ගණිතය, න්‍යාය සහ පර්යේෂණ එකිනෙක හමුවන තැනදීයි.
13. අපේ ගණිතමය ගවේෂණය අවසානයේ
මේ කතාවේ ආරම්භයේදී මට තිබුණේ ඉතා සරල කුතුහලයක්.
සංඛ්‍යා දෙකක් ගණිතමය ක්‍රියාවලින් වෙනස් කරමින්, ඒවායේ මුල් සම්බන්ධය කිසියම් ආකාරයකින් ආරක්ෂා කරගත හැකිද?
ඒ ප්‍රශ්නය අපව සාමාන්‍ය වීජ ගණිතයෙන් න්‍යාස වෙතත්, එතැනින් දෛශික අවකාශ වෙතත්, අවසානයේ ක්වොන්ටම් අවස්ථා සහ ටෙන්සර් ගුණිත වෙතත් රැගෙන ආවා.
අප සොයාගත් පළමු අවිචල්‍යය වූයේ,
u² + v² = 26(a² + b²)
යන සම්බන්ධයයි.
නමුත් අවසානයේ අප හඳුනාගත් වඩා ගැඹුරු අවිචල්‍යය වූයේ,
𝒞 = 𝒞′ = 21/29
යන පැටලීමේ මිනුමයි.
මේ දෙක එකම භෞතික සංසිද්ධියක් නොවුණත්, පරිවර්තන යටතේ ආරක්ෂා වන ගණිතමය ගුණ පිළිබඳ සංකල්පය ඒවා සම්බන්ධ කරනවා.
අපි මුලින්ම 3 සහ 7 යන සංඛ්‍යා දෙක තෝරාගත්තේ අහඹුවෙන්.
ඒ වෙනුවට වෙනත් ශුන්‍ය නොවන තාත්වික සංඛ්‍යා දෙකක් තෝරාගත්තත්, ඒවා සාමාන්‍යකරණය කර සුදුසු ක්වොන්ටම් පරිපථයකට ඇතුළත් කිරීමෙන් පැටලුණු අවස්ථාවක් නිර්මාණය කළ හැකියි.
එහෙත් ඒ පැටලීමේ ප්‍රමාණය මුල් සංඛ්‍යා දෙක මත රඳා පවතිනවා.
මෙය මට තවත් දාර්ශනික ප්‍රශ්නයක් මතු කරනවා.
අප යම් පද්ධතියක කොටස් වෙන වෙනම හඳුනාගන්නා විට, එම කොටස්වලින් පමණක් සම්පූර්ණ පද්ධතිය විස්තර කළ හැකි යැයි සිතීමට පුරුදුව සිටිනවාද?
ක්වොන්ටම් පැටලීමේ ගණිතය අපට පෙන්වන්නේ, එවැනි විස්තරයක් සෑම විටම ප්‍රමාණවත් නොවන බවයි.
සමස්ත පද්ධතියේ ක්වොන්ටම් අවස්ථාව තුළ, එහි කොටස් දෙකේ ස්වාධීන අවස්ථාවලින් පමණක් නිරූපණය කළ නොහැකි ව්‍යුහයක් තිබිය හැකියි.
ඒ නිසා ක්වොන්ටම් පැටලීම මට සිත්ගන්නාසුලු වන්නේ එය අද්භූත කතාවක් නිසා නොවෙයි.
අප වෙන් වෙන්ව හඳුනාගන්නා දේවල් අතර සම්බන්ධය, සමහර අවස්ථාවල ඒ දේවල් තනි තනිව විස්තර කිරීමෙන් සම්පූර්ණයෙන් අවබෝධ කරගත නොහැකි බව ගණිතය විසින්ම පෙන්වා දෙන නිසායි.
අපේ 3 සහ 7, ඒ අදහස වෙත යන්නට අපට උපකාර කළ කුඩා සංඛ්‍යා දෙකක් පමණයි.
 |
| The photo shows a strong form of quantum entanglement source: https://www.bbc.com/news/uk-scotland-glasgow-west-48971538 |
පසු සටහන (P.S.) — ක්වොන්ටම් පැටලීම ඡායාරූපයකට හසු වූ මොහොතක්!
2019 ජූලි මාසයේදී BBC පුවත් සේවය, ස්කොට්ලන්තයේ ග්ලාස්ගෝ විශ්වවිද්‍යාලයේ පර්යේෂකයන් විසින් ක්වොන්ටම් පැටලීම සම්බන්ධයෙන් ලබාගත් අපූරු ඡායාරූපයක් පිළිබඳව වාර්තා කළා.
පර්යේෂකයන් පැටලුණු ෆෝටෝන (ආලෝක අංශු) යුගල භාවිත කරමින්, ඒවායේ මිනුම් ප්‍රතිඵල අතර පවතින ක්වොන්ටම් සම්බන්ධතාව රූපමය ආකාරයෙන් නිරූපණය කිරීමට සමත් වුණා.
මෙය ක්වොන්ටම් පැටලීම ඇසට පෙනෙන නූලක් හෝ බලයක් ලෙස ඡායාරූපගත කිරීමක් නොවෙයි. විශේෂ පර්යේෂණාත්මක ක්‍රමයක් ඔස්සේ පැටලුණු අංශු අතර සම්බන්ධතාව පිළිබඳ රූපමය සාක්ෂි ලබාගැනීමක්.
අපි මේ ලිපිය පුරා සමීකරණවලින් තේරුම් ගැනීමට උත්සාහ කළ අසාමාන්‍ය ක්වොන්ටම් සම්බන්ධතාව, සැබෑ පර්යේෂණාගාරයකදී අධ්‍යයනය කරන ආකාරය දැකගැනීමට මෙය කදිම අවස්ථාවක්.
