යන්ත්‍රයකට ගණිතය සිතිය හැකි ද? යුක්ලීඩ්ගේ ජ්‍යාමිතියේ සිට ක්වොන්ටම් පරිගණනය දක්වා
යන්ත්‍රයකට ගණිතය සිතිය හැකි ද?
වසර 18ක ගණිත ගැටලුවක්, කෘත්‍රිම බුද්ධිය සහ ක්වොන්ටම් පරිගණනය
වසර 18ක් නොවිසඳුණු ගණිත ගැටලුවක්
2008 වසරේ ගණිතඥයන් දෙදෙනෙකු වූ Scott Aaronson සහ Andris Ambainis විසින් ක්වොන්ටම් පරිගණනය සම්බන්ධයෙන් ගණිතමය අනුමානයක් (mathematical conjecture) ඉදිරිපත් කළා. එතැන් සිට වසර 18ක් පමණ ගතවන තුරුත් එම අනුමානය සම්පූර්ණයෙන් සනාථ කරන සාධනයක් ගණිතඥයන් අතර පිළිගැනීමට ලක්ව තිබුණේ නැහැ.
නමුත් 2026 නොවැම්බර් මාසයේදී මේ පිළිබඳ අපූරු පුවතක් වාර්තා වුණා.
Physical Superintelligence (PSI) නමැති ඇමෙරිකානු පර්යේෂණ ආයතනයක් තමන්ගේ කෘත්‍රිම බුද්ධි පර්යේෂණ පද්ධතිය මඟින් දින තුනක් ඇතුළත එම ගණිතමය අනුමානය සඳහා සාධනයක් සොයාගත් බව ප්‍රකාශ කළා.
මෙය තවත් එක් ගණිත ප්‍රශ්නයකට පිළිතුරක් ලබාගැනීමක් පමණක් නොවෙයි. එය මිනිසාගේ බුද්ධිමය ක්‍රියාකාරකම් පිළිබඳ අප මෙතෙක් ගොඩනගාගෙන තිබෙන අදහස් නැවත විමසා බැලීමට හේතු වන සිද්ධියක්.
මෙම පුවත David Borish විසින් සංස්කරණය කරන The AI Spectator Weekly සතිපතා ප්‍රකාශනයේ 2026 නොවැම්බර් 14 කලාපයේ ද සාකච්ඡාවට ලක් කර තිබුණා. මා එහි විද්‍යුත් තැපැල් ප්‍රකාශනයට දායක වී සිටින නිසා අද උදෑසන මේ පුවත මටත් ලැබුණා. ඉතින්, එය කියවීමෙන් ඇති වූ කුතුහලයත්, ඒ ඔස්සේ මතු වූ ප්‍රශ්න කිහිපයකුත් තමයි මේ ලියමනට මුල් වුණේ.
එම වාර්තාවට අනුව, AI පද්ධතිය ඉදිරිපත් කළ සාධනය Lean 4 නමැති පරිගණක වැඩසටහනක් මඟින් පරීක්ෂා කළ හැකි ආකාරයට සකස් කර තිබෙනවා. එම පරීක්ෂාව නැවත සිදු කිරීමට ගතවන්නේ මිනිත්තු 11ක් පමණයි.
එහෙත් මෙහි වැදගත් වෙනසක් තිබෙනවා.
Lean 4 විසින් තහවුරු කරන්නේ, වැඩසටහනට ලබාදුන් නිර්වචන සහ මූලික උපකල්පන අනුව සාධනයේ තර්කමය පියවර නිවැරදි බවයි. මුල් ගණිතඥයන් ඉදිරිපත් කළ ප්‍රශ්නය සහ පරිගණකයට ලබාදුන් ගණිතමය ප්‍රකාශනය හරියටම එකම දෙයක් ද යන්න එයින් ස්වයංක්‍රීයව තහවුරු වන්නේ නැහැ. එබැවින් මෙය තවමත් ස්වාධීන විද්වත් පරීක්ෂාව සම්පූර්ණ නොවූ සාධනයක් පිළිබඳ ප්‍රකාශයක් ලෙස සැලකීම නිවැරදියි.
නමුත් මේ සිද්ධියෙන් අපට අලුත් ප්‍රශ්නයක් මතු වෙනවා.
යන්ත්‍රයකට ගණිතමය සාධනයක් නිර්මාණය කළ හැකි නම්, එයින් අදහස් වන්නේ යන්ත්‍රයට ගණිතය සිතිය හැකි බව ද?
 |
| යුක්ලීඩ්ගේ ජ්‍යාමිතියේ සිට ක්වොන්ටම් පරිගණනය දක්වා — ගණිතයේ සීමාවන්, වසර 18ක් පැරණි අනුමානයක් සහ යන්ත්‍රයකට සිතිය හැකිද යන නොවිසඳුණු ප්‍රශ්නය. |
ඒත් මට හිතෙන්නේ ඊටත් වඩා ගැඹුරු ප්‍රශ්නයක් මෙතැන තිබෙන බවයි. ඇයි අපි හැම තිස්සේම මේ යන්ත්‍රයට සිතිය හැකි ද කියා අසන්නේ? යන්ත්‍රය ගැන අප අසන මේ ප්‍රශ්නයෙන්, ඇත්තෙන්ම අප සොයා බලන්නට උත්සාහ කරන්නේ යන්ත්‍රය ගැනම ද, නැත්නම් අප ගැනම ද? ඒක වෙනම සාකච්ඡාවකට සුදුසු මාතෘකාවක්.
කෙසේ වෙතත්, මේ ප්‍රශ්නවලට පිළිතුරු සෙවීමට පෙර, අදාළ ගණිතමය සාධනය සම්බන්ධ වන ක්වොන්ටම් පරිගණනය යනු කුමක්දැයි සරලව විමසා බලමු.
ක්වොන්ටම් පරිගණකයක් යනු කුමක් ද?
අප සාමාන්‍යයෙන් භාවිත කරන පරිගණකවල තොරතුරු නිරූපණය කරන්නේ 0 සහ 1 යන ද්විමය අගයන් දෙකෙනුයි. මේවා bits ලෙස හඳුන්වනවා.
උදාහරණයක් ලෙස විදුලි ස්විචයක් සිතන්න.
ස්විචය ක්‍රියාත්මක නම් 1 ලෙසත්, අක්‍රිය නම් 0 ලෙසත් නිරූපණය කළ හැකියි. සාමාන්‍ය පරිගණකයක bit එකක් ද මේ ආකාරයට නිශ්චිත ද්විමය අගයක් දරනවා.
නමුත් ක්වොන්ටම් පරිගණකයක මූලික තොරතුරු ඒකකය වන qubit එක එයට වඩා වෙනස්.
එය 0 සහ 1 යන තත්ත්ව දෙකේ ක්වොන්ටම් අධිස්ථාපනයක් (superposition) ලෙස පැවතිය හැකියි.
එය ගණිතමය වශයෙන් මෙසේ ලියනවා.
|ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩
මෙහි |ψ⟩ යනු qubit එකේ ක්වොන්ටම් තත්ත්වයයි (state). α සහ β යනු probability amplitudes ලෙස හඳුන්වන සංඛ්‍යායි. ඒවා සාමාන්‍යයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා විය හැකියි.
qubit එක මැනීමේදී 0 ලැබීමේ සම්භාවිතාව |α|² වන අතර, 1 ලැබීමේ සම්භාවිතාව |β|² වේ.
ඒ අනුව,
|α|² + |β|² = 1
විය යුතුයි.
උදාහරණයක් ලෙස α = β = 1/√2 නම්, මැනීමේදී 0 හෝ 1 ලැබීමට සමාන 50%ක සම්භාවිතාවක් තිබෙනවා.
එහෙත් මෙහිදී වැදගත් දෙයක් අවධාරණය කළ යුතුයි. Superposition යනු අපට නොපෙනෙන තැනක දැනටමත් තීරණය වී ඇති 0 හෝ 1 අගයක් පමණක් නොවෙයි. එය මැනීම්වල ප්‍රතිඵල විස්තර කරන, interference වැනි සංසිද්ධි ඇති කළ හැකි ක්වොන්ටම් තත්ත්වයක්.
කාසියක් කරකවන උදාහරණය
මේ අදහසට මුල් ප්‍රවේශයක් ලෙස කාසියක් සිතමු.
කාසියක් මේසයක් මත තිබෙන විට එහි උඩු පැත්ත හිස හෝ වලිගය විය හැකියි. එය කරකවමින් තිබෙන විට අපට අවසාන ප්‍රතිඵලය නිශ්චිතව කිව නොහැකියි.
එහෙත් කරකැවෙන කාසියක් ක්වොන්ටම් superposition එකක් නොවෙයි. කාසියේ චලනය සම්භාව්‍ය භෞතික විද්‍යාවෙන් විස්තර කළ හැකියි. ක්වොන්ටම් තත්ත්වයකදී එයට අමතරව amplitudes අතර ඇති සම්බන්ධතා සහ interference වැදගත් වෙනවා.
එබැවින් කාසිය මෙහි භාවිත කරන්නේ සම්භාවිතාව පිළිබඳ මුල් අදහසක් ලබාදීමට පමණයි.
ක්වොන්ටම් පරිගණනයේ සැබෑ බලය තේරුම් ගැනීමට අපට තවත් සංකල්ප දෙකක් අවශ්‍යයි. ඒවා නම් entanglement සහ interference යන දෙකයි.
Entanglement යනු qubits කිහිපයක ඒකාබද්ධ ක්වොන්ටම් තත්ත්වය, එක් එක් qubit එකේ ස්වාධීන තත්ත්වයන් ලෙස සම්පූර්ණයෙන් විස්තර කළ නොහැකි වීමයි.
Interference යනු විවිධ ගණනය කිරීමේ මාර්ගවල probability amplitudes එකිනෙක එකතු වීමෙන් හෝ අඩු වීමෙන් ඇතැම් ප්‍රතිඵල ලැබීමේ සම්භාවිතාව වැඩි කිරීමටත්, අනෙක් ප්‍රතිඵලවල සම්භාවිතාව අඩු කිරීමටත් හැකි වීමයි.
ජල තරංග දෙකක්
පොකුණකට ගල් දෙකක් දැමූ විට ජල තරංග දෙකක් ඇති වෙනවා. එම තරංග දෙක එකිනෙක හමුවන විට, ඇතැම් ස්ථානවල ජල මතුපිට උස වැඩි වෙනවා. තවත් ස්ථානවල තරංග එකිනෙක අඩු කරගන්නවා.
මෙය interference පිළිබඳ සරල භෞතික උදාහරණයක්.
ක්වොන්ටම් පරිගණනයේදීත් probability amplitudes අතර interference ඇති වෙනවා. නමුත් එය ජල තරංගවල චලනයට සමාන යාන්ත්‍රික ක්‍රියාවලියක් නොවෙයි.
හොඳින් නිර්මාණය කළ ක්වොන්ටම් algorithm එකකදී, අපට අවශ්‍ය පිළිතුර ලැබීමේ සම්භාවිතාව වැඩි වන ආකාරයට මෙම interference භාවිත කළ හැකියි. එහෙත් මේ ක්‍රියාවලිය ප්‍රායෝගිකව ක්වොන්ටම් පරිගණකයක ක්‍රියාත්මක කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ තාක්ෂණික විස්තර මගේ දැනුම් සීමාවෙන් ඔබ්බෙහි තිබෙන බවත් මෙහිදී සඳහන් කළ යුතුයි. මා මෙහි උත්සාහ කරන්නේ එහි සංකීර්ණ තාක්ෂණය පැහැදිලි කිරීමට වඩා, ඒ පිටුපස ඇති මූලික ගණිතමය හා භෞතික විද්‍යාත්මක අදහස හැකි තරම් සරලව වටහා ගැනීමටයි.
එයින් අදහස් වන්නේ ක්වොන්ටම් පරිගණකයක් සියලු පිළිතුරු එකවර සොයාගෙන අපට ලබාදෙන බව නොවෙයි. එය විශේෂිත ගැටලු සඳහා, සාමාන්‍ය පරිගණකවලට වඩා වෙනස් ගණනය කිරීමේ ක්‍රමයක් භාවිත කරන බවයි.
පරිගණකයක් වේගවත් වීම යනු කුමක් ද?
පරිගණකයක් වේගවත් යැයි කියන විට අප බොහෝ විට සිතන්නේ එහි processor එක තත්පරයකට වැඩි ගණනය කිරීම් සංඛ්‍යාවක් සිදු කරන බවයි. නමුත් පරිගණක විද්‍යාවේ තවත් වැදගත් අදහසක් තිබෙනවා.
එය algorithm එකක් විසින් ගැටලුවක් විසඳීමට අවශ්‍ය කරන පියවර ගණන, ගැටලුවේ ප්‍රමාණය වැඩි වන විට වෙනස් වන්නේ කෙසේද යන්නයි. මේ අදහස පැහැදිලි කරගැනීමට අපට එදිනෙදා ජීවිතයෙන් උදාහරණයක් ගත හැකියි.
පුස්තකාලයක පොතක් සොයාගැනීම
පොත් 1,000ක් තිබෙන පුස්තකාලයක් සිතමු.
පොත් කිසිදු පිළිවෙළකට සකස් කර නැත්නම්, අවශ්‍ය පොත සොයාගැනීමට ඇතැම් අවස්ථාවල පොත් 1,000ම පරීක්ෂා කිරීමට සිදු විය හැකියි. නමුත් පොත් නම් අනුව අනුපිළිවෙළකට සකස් කර තිබේ නම්, අපට වෙනස් ක්‍රමයක් භාවිත කළ හැකියි. පළමුව මැද තිබෙන පොත බලමු. අවශ්‍ය පොත එයට පෙර තිබෙනවා ද පසුව තිබෙනවා ද යන්න තීරණය කරමු. ඉන්පසු ඉතිරි කොටස නැවත දෙකට බෙදා පරීක්ෂා කරමු.
මේ ක්‍රමය binary search ලෙස හඳුන්වනවා.
පොත් 1,024ක් තිබේ නම්, සාර්ථකව සකස් කළ ලැයිස්තුවක අවශ්‍ය පොත සොයාගැනීමට උපරිම වශයෙන් ආසන්න වශයෙන් තීරණ පියවර 11ක් පමණ ප්‍රමාණවත් වෙනවා. මෙහිදී අප පරිගණකයේ processor එක වෙනස් කළේ නැහැ. වෙනස් කළේ ගැටලුව විසඳන ක්‍රමයයි.
ඒ නිසා පරිගණකයක වේගය ගැන කතා කිරීමේදී hardware එකට අමතරව algorithm එකේ කාර්යක්ෂමතාවත් අතිශයින් වැදගත් වෙනවා.
Polynomial සහ exponential — වෙනස සංඛ්‍යාවලින් බලමු
දැන් අපට ගණිතමය වර්ධන ආකාර දෙකක් සලකා බලන්න පුළුවන්.
ගැටලුවේ ප්‍රමාණය n ලෙස හඳුන්වමු.
පළමු algorithm එකට අවශ්‍ය පියවර ගණන n² යැයි සිතමු.
දෙවන algorithm එකට අවශ්‍ය පියවර ගණන 2ⁿ යැයි සිතමු.
පළමු වර්ධනය polynomial growth එකක්. දෙවැන්න exponential growth එකක්.
n = 10 නම්,
n² = 100
2ⁿ = 1,024
මෙහිදී දෙවන algorithm එකට පියවර දස ගුණයකට ආසන්න ප්‍රමාණයක් අවශ්‍ය වෙනවා.
නමුත් n = 30 වන විට,
n² = 900
2ⁿ = 1,073,741,824
මෙය පියවර බිලියනයකට වැඩි සංඛ්‍යාවක්!
n = 50 වන විට,
n² = 2,500
2ⁿ = 1,125,899,906,842,624
එනම් පියවර ට්‍රිලියන 1,125කට ආසන්න සංඛ්‍යාවක්.
මේ වෙනස තේරුම් ගැනීමට තවත් සරල ගණනය කිරීමක් කරමු.
අප සතුව තත්පරයකට පියවර මිලියනයක් ක්‍රියාත්මක කළ හැකි පරිගණකයක් තිබෙනවා යැයි සිතමු.
n = 50 නම් polynomial algorithm එකට අවශ්‍ය පියවර 2,500 සිදු කිරීමට මිලි තත්පර 2.5ක් පමණ ගත වෙනවා.
නමුත් exponential algorithm එකට අවශ්‍ය පියවර 2⁵⁰ සිදු කිරීමට වසර 35.7ක් පමණ ගත වෙනවා.
මේ දෙකම එකම පරිගණකයෙන් සිදු කරන ගණනය කිරීම් බව මතක තබාගන්න.
වෙනස ඇතිවන්නේ ගණනය කිරීමේ ක්‍රමයෙන්.
මෙය සරල උපමාත්මක සංසන්දනයක් බවත්, සැබෑ පරිගණකයක සෑම පියවරකටම සමාන කාලයක් ගත නොවන බවත් සඳහන් කළ යුතුයි.
අගුලක රහස් අංකය
දැන් තවත් උදාහරණයක් සලකා බලමු.
අපට 0 සහ 1 යන අගයන්ගෙන් පමණක් සකස් කළ හැකි රහස් අංකයක් තිබෙනවා යැයි සිතමු.
එහි ස්ථාන 10ක් තිබේ නම්, හැකි සංයෝජන ගණන 2¹⁰ = 1,024යි.
ස්ථාන 20ක් තිබේ නම්, සංයෝජන ගණන 2²⁰ = 1,048,576යි.
ස්ථාන 40ක් තිබේ නම්, සංයෝජන ගණන 2⁴⁰ = 1,099,511,627,776යි.
මෙහිදී ස්ථාන ගණන දෙගුණ වන විට හැකි සංයෝජන ගණන හුදෙක් දෙගුණ වන්නේ නැහැ. එය අතිවිශාල ලෙස වැඩි වෙනවා. ක්වොන්ටම් පරිගණනයේ වැදගත්කම පිළිබඳව සාකච්ඡා කරන විට මේ වෙනස මූලික තැනක් ගන්නවා. නමුත් හැකි සංයෝජන ගණන exponential ලෙස වැඩි වීමෙන් පමණක් ක්වොන්ටම් පරිගණකයකට ඒ සියල්ල ඉක්මනින් පරීක්ෂා කළ හැකි බවක් අදහස් වන්නේ නැහැ.
උදාහරණයක් ලෙස, ක්වොන්ටම් පරිගණනයේදී භාවිත කරන Grover's algorithm නමැති ගණනය කිරීමේ ක්‍රමය සලකා බලමු. 1996 වසරේ Lov Grover විසින් හඳුන්වා දුන් මෙම ක්‍රමය, නිශ්චිත පිළිවෙළකට සකස් නොකළ දත්ත සමූහයකින් අපට අවශ්‍ය එක් අගයක් සොයාගැනීම සඳහා නිර්මාණය කළ ක්වොන්ටම් algorithm එකක්.
අපට අංක 1 සිට 1,000,000 දක්වා සලකුණු කළ පෙට්ටි මිලියනයක් තිබෙනවා යැයි සිතමු. ඒ අතරින් එක් පෙට්ටියක පමණක් ත්‍යාගයක් සඟවා තිබෙනවා. ත්‍යාගය තිබෙන පෙට්ටිය කුමක්දැයි කලින් දන්නේ නැහැ. එක් එක් පෙට්ටිය පරීක්ෂා කළ හැකි නමුත්, ත්‍යාගය තිබෙන ස්ථානය ගැන කිසිදු අමතර ඉඟියක් අපට නැහැ.
සාමාන්‍ය සෙවුම් ක්‍රමයකදී, නරකම අවස්ථාවේදී පෙට්ටි මිලියනයම පරීක්ෂා කිරීමට සිදු විය හැකියි. අහඹු පිළිවෙළකට පරීක්ෂා කළත් සාමාන්‍යයෙන් පෙට්ටි ලක්ෂ පහක් පමණ පරීක්ෂා කිරීමට සිදු වෙනවා.
නමුත් Grover's algorithm මඟින්, මෙම සෙවුම් ගැටලුවේ ක්වොන්ටම් නිරූපණයක් සඳහා අවශ්‍ය පරීක්ෂණ වාර ගණන මිලියනයකට ආසන්න සංඛ්‍යාවක සිට දහසක පමණ පරිමාණයකට අඩු කළ හැකියි.
එහි මූලික ගණිතමය සම්බන්ධය මෙසේයි.
සාමාන්‍ය සෙවුම: O(N)
Grover's algorithm: O(√N)
මෙහි N යනු පරීක්ෂා කළ යුතු හැකි පිළිතුරු ගණනයි. O යන සංකේතයෙන් දැක්වෙන්නේ N වැඩි වන විට අවශ්‍ය ගණනය කිරීම් ගණන වර්ධනය වන ආකාරයයි.
N = 1,000,000 නම්,
√N = 1,000
මෙය quadratic speedup ලෙස හඳුන්වනවා. එනම් සම්භාව්‍ය සෙවුමට සාපේක්ෂව අවශ්‍ය විමසීම් ගණන N වෙනුවට √N පරිමාණයෙන් වර්ධනය වීමයි.
මෙහිදීත් ක්වොන්ටම් පරිගණකය පෙට්ටි මිලියනයම එකවර විවෘත කරන්නේ නැහැ. එය ක්වොන්ටම් superposition සහ interference යොදාගෙන නිවැරදි පිළිතුර ලැබීමේ සම්භාවිතාව වැඩි කරන ගණිතමය ක්‍රියාවලියක් භාවිත කරනවා. එහෙත් මෙය සැබෑ පෙට්ටි මිලියනයක් භෞතිකව විවෘත කිරීමේ ක්‍රමයක් නොවෙයි. පෙට්ටියක ත්‍යාගය තිබේදැයි විමසීම ක්වොන්ටම් පරිගණකයකට සුදුසු ආකාරයෙන් ක්‍රියාත්මක කළ හැකි බව උපකල්පනය කරන ගණිතමය සෙවුම් ආකෘතියක්. සැබෑ පරිගණකයකදී එවැනි පරීක්ෂණයක් ක්‍රියාත්මක කිරීමේ තාක්ෂණික පිරිවැයත් සැලකිල්ලට ගත යුතුයි.
තවත් වැදගත් කරුණක් තිබෙනවා. Grover's algorithm ලබාදෙන්නේ quadratic වේග වාසියක් මිස exponential වේග වාසියක් නොවෙයි. එනම් ක්වොන්ටම් පරිගණකයකට සාමාන්‍ය පරිගණකයකට වඩා වාසියක් තිබුණත්, එම වාසියේ ප්‍රමාණය ගැටලුවේ ස්වභාවය සහ භාවිත කරන algorithm එක අනුව වෙනස් වෙනවා.
ඒ නිසා අපට දැන් වඩාත් නිවැරදි ප්‍රශ්නයක් ඇසිය හැකියි.
ක්වොන්ටම් පරිගණකයකට සාමාන්‍ය පරිගණකයකට වඩා අතිවිශාල වේග වාසියක් ලබාගත හැක්කේ කවර ආකාරයේ ගැටලු සඳහා ද? එසේම, එවැනි වාසියක් ඇතැයි අප සිතන ඇතැම් ගැටලු සාමාන්‍ය පරිගණකයකින්ම කාර්යක්ෂමව විසඳිය හැකි බව ගණිතමය වශයෙන් පෙන්වා දිය හැකි ද?
මේ දෙවන ප්‍රශ්නය විශේෂයෙන්ම වැදගත් වෙනවා. මන්ද එය ක්වොන්ටම් පරිගණනයේ හැකියාවන් පමණක් නොව, එහි සීමාවන් ද හඳුනාගැනීමට අපව යොමු කරන නිසයි.
ඒ ඔස්සේ අපි නැවතත් Aaronson–Ambainis අනුමානය වෙත පැමිණෙනවා.
Aaronson–Ambainis අනුමානය ඇත්තෙන්ම කියන්නේ කුමක් ද?
දැන් අපි ලිපිය ආරම්භයේ සඳහන් කළ ගණිතමය ගැටලුව වෙත නැවත පැමිණෙමු.
Scott Aaronson සහ Andris Ambainis විසින් 2008දී ඉදිරිපත් කළ අනුමානය, ක්වොන්ටම් පරිගණකයකින් කළ හැකි ඇතැම් ගණනය කිරීම් සාමාන්‍ය පරිගණකයකින් කොපමණ කාර්යක්ෂමව අනුකරණය කළ හැකි ද යන ගැටලුවට සම්බන්ධයි.
මෙය තේරුම් ගැනීමට අපට තවත් උදාහරණයක් ගත හැකියි.
වරායක භාණ්ඩ ප්‍රවාහනය
විශාල වරායක බහාලුම් සිය ගණනක් ප්‍රවාහනය කිරීමට සැලසුම් කරනවා යැයි සිතමු.
අපට සලකා බැලීමට අවශ්‍ය කරුණු කිහිපයක් තිබෙනවා. බහාලුම්වල බර, ඒවා ගබඩා කළ යුතු ස්ථාන, ප්‍රවාහනය කරන මාර්ග, උපකරණවල ධාරිතාව සහ අවශ්‍ය කාලය ඒ අතර වෙනවා.
මේ අතර මට BS 6349 ප්‍රමිතියත් මතක් වෙනවා. වරාය ඉංජිනේරු කටයුතුවලදී භාවිත කරන මේ බ්‍රිතාන්‍ය ප්‍රමිතියට අදාළව, මේ ළඟදීත් මෙවැනි බර පැටවීම් සහ ඒවායේ බලපෑම් පිළිබඳ ගණනය කිරීම් කිහිපයක් කරන්න මට සිදු වුණා. ඒ නිසා මේ උදාහරණය මට හුදෙක් කල්පිතයක්ම නොවෙයි. මගේ වෘත්තීය අත්දැකීම් සමඟත් එය සම්බන්ධ වෙනවා.
මේ සියල්ල එක් කර ගණිතමය ආකෘතියක් ගොඩනැගිය හැකියි.
දැන් එම ආකෘතියේ එක් විචල්‍යයක් වෙනස් කරමු. උදාහරණයක් ලෙස, එක් බහාලුමක බර වැඩි කරමු.
එම වෙනස අවසාන ප්‍රතිඵලයට කොපමණ බලපානවා ද?
සමහර විට එය මුළු සැලැස්මටම බලපානවා. තවත් විටක එයින් සැලකිය යුතු වෙනසක් ඇති නොවෙන්නත් පුළුවන්.
මෙහිදී අපට හඳුන්වා දිය හැකි වැදගත් ගණිතමය සංකල්පයක් තිබෙනවා.
එය influence හෙවත් යම් විචල්‍යයක් අවසාන ප්‍රතිඵලයට කරන බලපෑමයි.
නමුත් Aaronson–Ambainis අනුමානයේ influence යන්න මෙවැනි සාමාන්‍ය සංවේදීතා විශ්ලේෂණයකට වඩා නිශ්චිත ගණිතමය අර්ථයක් දරනවා.
එය තේරුම් ගැනීමට අපි ඉතා සරල ගණිතමය ප්‍රකාශනයක් සලකා බලමු.
f(x, y) = x + 2y
මෙහි x සහ y යන විචල්‍යයන් දෙකම අවසාන පිළිතුරට බලපානවා.
x එක ඒකකයකින් වැඩි කළොත් f එක ඒකකයකින් වැඩි වෙනවා.
y එක ඒකකයකින් වැඩි කළොත් f එක ඒකක දෙකකින් වැඩි වෙනවා.
ඒ අනුව මේ සරල ආකෘතියේදී y විචල්‍යය x ට වඩා වැඩි බලපෑමක් කරනවා.
දැන් විචල්‍යයන් දෙකක් වෙනුවට දහසක් තිබෙනවා යැයි සිතමු. එම විචල්‍යයන් එකිනෙක සම්බන්ධ වන සංකීර්ණ ගණිතමය ප්‍රකාශනයක් අපට තිබෙනවා.
එහි අවසාන ප්‍රතිඵලය සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් වෙනවා නම්, ඒ වෙනසට සැලකිය යුතු බලපෑමක් කරන අවම වශයෙන් එක් විචල්‍යයක්වත් තිබිය යුතු ද?
මෙන්න මේ අදහසයි Aaronson–Ambainis අනුමානයේ හරයට සමීප වන්නේ.
ගණිතමය ප්‍රශ්නය තවත් නිවැරදිව
මුල් අනුමානයේදී සලකා බලන්නේ අගයන් සීමා කළ, අඩු degree එකක් ඇති බහුපද (bounded, low-degree polynomials) යන විශේෂ ගණිතමය ප්‍රකාශනයි.
බහුපදයක් යනු, උදාහරණයක් ලෙස,
f(x, y) = 3x² + 2xy + 5y + 1
වැනි ප්‍රකාශනයක්.
මෙහි degree එක 2යි. මන්ද මෙහි තිබෙන ඉහළම මුළු බලය 2 වන නිසයි.
Aaronson–Ambainis අනුමානය සරලව මෙසේ විස්තර කළ හැකියි.
යම් සීමිත අගයන් පරාසයක පවතින අඩු degree බහුපදයක ප්‍රතිඵලවල සැලකිය යුතු විචලනයක් (variance) තිබේ නම්, එහි අවම වශයෙන් එක් විචල්‍යයක influence එක ද නිශ්චිත පහළ සීමාවකට වඩා වැඩි විය යුතුයි.
මෙහි variance යනු ප්‍රතිඵල ඒවායේ සාමාන්‍ය අගය වටා කොපමණ විසිරී තිබෙනවා ද යන්න මැනීමක්.
මෙය බැලූ බැල්මට සාමාන්‍ය ගණිත ප්‍රශ්නයක් ලෙස පෙනෙන්න පුළුවන්.
එහෙත් මේ ගණිතමය අදහස ක්වොන්ටම් පරිගණනය සමඟ සම්බන්ධ වන ආකාරය ඉතා වැදගත්.
Quantum query model යනුවෙන් හැඳින්වෙන ගණිතමය ආකෘතියේදී, දත්ත වෙත T වාරයක් විමසීම් කරන ක්වොන්ටම් algorithm එකක් යම් නිශ්චිත ප්‍රතිඵලයක් ලබාදීමේ සම්භාවිතාව, degree එක උපරිම 2T වන බහුපදයකින් නිරූපණය කළ හැකියි. මෙහි degree යනු බහුපදයක පදයක ඇති විචල්‍යයන්ගේ බලයන්ගේ එකතුවේ උපරිම අගයයි.
එවැනි නිරූපණයක් ගණිතමය වශයෙන් ගොඩනැගෙන්නේ කෙසේදැයි සවිස්තරාත්මකව පැහැදිලි කිරීම මේ ලිපියේ සීමාව ඉක්මවා යන බව මට හැඟෙනවා. එහෙත් මෙහිදී අපට අවශ්‍ය මූලික අදහස එතරම් සංකීර්ණ නැහැ. එනම්, ක්වොන්ටම් පරිගණකයක ඇතැම් ගණනය කිරීම්වල ප්‍රතිඵල සම්භාවිතාවන් බහුපද ඇසුරෙන් ගණිතමය වශයෙන් අධ්‍යයනය කළ හැකි බවයි.
එබැවින්, එවැනි බහුපදයක එක් එක් විචල්‍යය ප්‍රතිඵලයට කොපමණ බලපෑමක් ඇති කරන්නේද යන්න, එනම් එහි influence පිළිබඳ ගණිතමය සීමාවක් සනාථ කිරීමෙන්, ක්වොන්ටම් algorithms වල හැකියාවන් සහ සීමාවන් පිළිබඳව ද වැදගත් නිගමනවලට එළඹිය හැකියි.
ක්වොන්ටම් පරිගණකයක් අනුකරණය කිරීම යනු කුමක් ද?
මෙහිදී අපට තවත් වැදගත් වෙනසක් හඳුනාගත යුතුයි.
ක්වොන්ටම් පරිගණකයක් අනුකරණය කිරීම යනුවෙන් අදහස් කරන්නේ සෑම විටම එහි සියලු ක්වොන්ටම් තත්ත්වයන් සාමාන්‍ය පරිගණකයකින් නැවත නිර්මාණය කිරීම නොවෙයි.
සමහර අවස්ථාවල අපට අවශ්‍ය වන්නේ එහි අවසාන ප්‍රතිඵලයක සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් ගණනය කිරීම පමණයි.
කර්මාන්තශාලාවක තත්ත්ව පරීක්ෂාව
කර්මාන්තශාලාවක නිෂ්පාදනය කරන භාණ්ඩ දහසක් ගැන සිතමු.
අපට අවශ්‍ය වන්නේ ඒ සෑම භාණ්ඩයක්ම පරීක්ෂා කිරීම නොව, නිෂ්පාදනයේ දෝෂ සහිත භාණ්ඩ ප්‍රතිශතය ආසන්න වශයෙන් දැනගැනීමයි. ඒ සඳහා භාණ්ඩ දහසම පරීක්ෂා කිරීම අවශ්‍ය නොවෙන්න පුළුවන්.
අහඹු ලෙස භාණ්ඩ සියයක් තෝරාගෙන ඒවා පරීක්ෂා කළ හැකියි. එම සියයෙන් අටක් දෝෂ සහිත නම්, මුළු නිෂ්පාදනයේ දෝෂ ප්‍රතිශතය 8%ක් පමණ විය හැකි බවට ඇස්තමේන්තුවක් ලබාගත හැකියි. මෙය නිශ්චිත ප්‍රතිඵලයක් නොවෙයි. නියැදියේ ප්‍රමාණය සහ තෝරාගැනීමේ ක්‍රමය අනුව එහි අවිනිශ්චිතතාවක් තිබෙනවා.
නමුත් අපට අවශ්‍ය වන්නේ ආසන්න ප්‍රතිශතයක් පමණක් නම්, මෙම ක්‍රමය ප්‍රයෝජනවත් විය හැකියි.
දැන් ක්වොන්ටම් algorithm එකක් සලකා බලමු.
එය යම් ආදානයක් සඳහා 0 හෝ 1 ප්‍රතිඵලයක් ලබාදෙනවා යැයි සිතමු. එකම ආදානය සඳහා එය නැවත නැවත ක්‍රියාත්මක කළොත්, 1 ලැබීමේ සම්භාවිතාව 70%ක් විය හැකියි. අපට සාමාන්‍ය පරිගණකයකින් එම සම්භාවිතාව 69%ක් හෝ 71%ක් ලෙස ආසන්න වශයෙන් ගණනය කළ හැකි නම්, එය ප්‍රයෝජනවත් අනුකරණයක් විය හැකියි. නමුත් මෙහිදී අපි ක්වොන්ටම් පරිගණකයේ සියලු අභ්‍යන්තර තත්ත්වයන් නැවත නිර්මාණය කර නැහැ.
අප කළේ එක් ප්‍රතිඵලයක සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් ලබාගැනීම පමණයි.
මෙය කර්මාන්තශාලාවේ නියැදි පරීක්ෂාවට සංකල්පමය වශයෙන් සමාන වුවත්, ක්වොන්ටම් algorithm එකක සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමේ ගණිතමය ක්‍රමය එයට වඩා වෙනස්.
අහඹු ආදාන වැදගත් වන්නේ ඇයි?
අපට ගණිතමය ප්‍රකාශනයක් තිබෙනවා යැයි සිතමු. එහි ආදාන ලෙස 0 හෝ 1 යන අගයන් පමණක් ගත හැකි විචල්‍යයන් සියයක් තිබෙනවා යැයි උපකල්පනය කරමු. මෙහිදී විචල්‍යයන් සියයක් තෝරාගන්නේ උදාහරණය පැහැදිලි කිරීමට පමණයි. එම සංඛ්‍යාවට විශේෂ ගණිතමය වැදගත්කමක් නැහැ.
එක් විචල්‍යයකට ගත හැකි අගයන් දෙකයි: 0 හෝ 1.
විචල්‍යයන් දෙකක් තිබුණොත් හැකි සංයෝජන හතරයි: 00, 01, 10, 11.
විචල්‍යයන් තුනක් තිබුණොත් සංයෝජන අටයි.
ඒ අනුව, විචල්‍යයන් ගණන n නම් හැකි සියලු ආදාන සංයෝජන ගණන 2ⁿ වෙනවා.
එබැවින් විචල්‍යයන් සියයක් සඳහා,
2¹⁰⁰ ≈ 1.27 × 10³⁰
යන අතිවිශාල සංයෝජන ගණනක් ලැබෙනවා.
මේ සියලු සංයෝජන එකින් එක පරීක්ෂා කිරීම ප්‍රායෝගිකව ඉතා දුෂ්කරයි. නමුත් අපට අවශ්‍ය වන්නේ සෑම ආදානයක් සඳහාම නිශ්චිත ප්‍රතිඵලය සොයාගැනීම නොව, අහඹු ලෙස තෝරාගත් ආදානවලදී ගණනය කිරීමේ හැසිරීම පිළිබඳ යම් නිවැරදි ආසන්න අවබෝධයක් ලබාගැනීම නම්, ගැටලුවේ ස්වභාවය වෙනස් වෙනවා.
මෙහිදී වැදගත් වන්නේ අහඹු ලෙස ආදාන තෝරාගැනීම පමණක් නොවෙයි. එසේ තෝරාගත් ආදාන සඳහා අදාළ ගණිතමය ප්‍රතිඵලය සීමිත විමසීම් ගණනකින් ආසන්න කළ හැකි බව සනාථ කිරීමයි.
Aaronson–Ambainis අනුමානයේ ක්වොන්ටම් පරිගණනයට ඇති සම්බන්ධය තේරුම් ගැනීමට මේ වෙනස විශේෂයෙන් වැදගත් වෙනවා.
එම සියලු ආදාන පරීක්ෂා කිරීම වෙනුවට, අහඹු ලෙස තෝරාගත් ආදාන සඳහා algorithm එකේ ප්‍රතිඵල සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් ලබාගත හැකි නම්, එය ඇතැම් පර්යේෂණ සඳහා ප්‍රමාණවත් විය හැකියි. නමුත් අහඹු ආදාන සඳහා හොඳ ප්‍රතිඵල ලබාදීම සහ ඕනෑම ආදානයක් සඳහා නිවැරදි ප්‍රතිඵල ලබාදීම එකම දෙයක් නොවෙයි.
උදාහරණයක් ලෙස, යම් algorithm එකක් ආදානවලින් 99%ක් සඳහා ඉතා නිවැරදිව ක්‍රියා කළත්, ඉතිරි 1% තුළ ඇති විශේෂිත ආදානයක් සඳහා එය සම්පූර්ණයෙන් අසාර්ථක විය හැකියි. ඒ නිසා average-case සහ worst-case යන ගණනය කිරීමේ තත්ත්වයන් අතර වෙනස වැදගත් වෙනවා.
Aaronson–Ambainis අනුමානය සම්බන්ධයෙන් සාකච්ඡා වන ප්‍රතිඵලවලදී, අහඹු ආදාන සඳහා ක්වොන්ටම් algorithm එකක පිළිගැනීමේ සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් ගණනය කළ හැකි ද යන්න වැදගත් ප්‍රශ්නයක්.
මෙහිදී සලකා බලන්නේ විශේෂිත query model එකක් සහ එයට අදාළ ගණිතමය සීමාවන් බවත් මතක තබාගත යුතුයි.
Polynomial overhead යන්නෙන් අදහස් වන්නේ කුමක් ද?
අපට ක්වොන්ටම් algorithm එකක් යම් ගැටලුවක් විසඳීමට T වාරයක් දත්ත විමසනවා යැයි සිතමු.
එහි ප්‍රතිඵල සම්භාවිතාව ආසන්න වශයෙන් ලබාගැනීමට සාමාන්‍ය පරිගණකයකට T² හෝ T³ ආකාරයෙන් වැඩි වන විමසීම් ගණනක් අවශ්‍ය නම්, එය polynomial overhead එකක් ලෙස හඳුන්වන්න පුළුවන්.
උදාහරණයක් ලෙස T = 100 නම්,
T² = 10,000
T³ = 1,000,000.
නමුත් 2ᵀ යනු,
2¹⁰⁰ ≈ 1.27 × 10³⁰
වෙනවා.
මේ සංඛ්‍යා අතර වෙනස අතිවිශාලයි.
මෙහි T² සහ T³ යන අගයන් මුල් අනුමානයේ නිශ්චිත සීමාවන් නොව, polynomial growth පැහැදිලි කිරීම සඳහා යොදාගත් උපමාත්මක අගයන් පමණයි.
තවත් වැදගත් කරුණක් තිබෙනවා. Polynomial overhead යන්නෙන් සෑම ප්‍රායෝගික අවස්ථාවකම ගණනය කිරීම පහසු හෝ වේගවත් වන බව අදහස් වන්නේ නැහැ. බහුපදයේ බලය, එහි නියත ගුණක සහ අවශ්‍ය නිරවද්‍යතාව අනුව ගණනය කිරීම තවමත් ඉතා වියදම්කාරී විය හැකියි.
එහෙත් ගැටලුවක ප්‍රමාණය ක්‍රමයෙන් විශාල වන විට එය විසඳීමට අවශ්‍ය ගණනය කිරීම් ගණන, කාලය සහ මතක ධාරිතාව කෙසේ වැඩි වන්නේදැයි අධ්‍යයනය කරන ගණිතමය හා පරිගණක විද්‍යාත්මක ක්ෂේත්‍රය පරිගණක සංකීර්ණතා න්‍යාය (Computational Complexity Theory) ලෙස හැඳින්වෙනවා. මෙහිදී අවධානය යොමු කරන්නේ පරිගණකයක වේගයට පමණක් නොව, ගැටලුව විශාල වන විට එය විසඳීමට අවශ්‍ය සම්පත් වර්ධනය වන ආකාරයටයි. ඒ නිසා මේ න්‍යායේදී polynomial සහ exponential වර්ධනය අතර වෙනස මූලික වැදගත්කමක් දරනවා.
මේ අනුව Aaronson–Ambainis අනුමානයේ වැදගත්කම වන්නේ ක්වොන්ටම් පරිගණකයක සියලු හැකියාවන් සාමාන්‍ය පරිගණකයකින් ප්‍රතිනිර්මාණය කළ හැකි බව පෙන්වීම නොව, නිශ්චිත ගණිතමය තත්ත්වයන් යටතේ ක්වොන්ටම් ගණනය කිරීම්වල ඇතැම් ප්‍රතිඵල සම්භාව්‍ය ක්‍රමවලින් කාර්යක්ෂමව ආසන්න කළ හැකි බවට සීමා හඳුනාගැනීමයි.
විචල්‍යයක් ප්‍රතිඵලයට කොපමණ බලපානවා ද?
Aaronson–Ambainis අනුමානය තේරුම් ගැනීමට අපට විශාල ගණිතමය ප්‍රකාශන අවශ්‍ය නැහැ. ඉතා සරල උදාහරණයකින් එහි මූලික අදහසට පිවිසිය හැකියි.
අපට විදුලි ස්විච දෙකක් තිබෙනවා යැයි සිතමු. ඒවා x₁ සහ x₂ ලෙස හඳුන්වමු.
එක් එක් ස්විචයට තිබෙන්නේ තත්ත්ව දෙකක් පමණයි. ක්‍රියාත්මක තත්ත්වය +1 ලෙසත්, අක්‍රිය තත්ත්වය −1 ලෙසත් නිරූපණය කරමු.
දැන් ස්විච දෙකේ තත්ත්වයන්ගේ සාමාන්‍ය අගය ලබාදෙන ගණිතමය ප්‍රකාශනයක් ගොඩනගමු.
f(x₁, x₂) = (x₁ + x₂)/2
මෙහි හැකි සංයෝජන හතරක් තිබෙනවා.
දැන් මේ සංයෝජන හතරම සමාන සම්භාවිතාවකින් තෝරාගන්නවා යැයි සිතමු.
අපට ප්‍රශ්න දෙකක් අසන්න පුළුවන්.
පළමු ප්‍රශ්නය: මෙම ප්‍රතිඵලවල අගයන් කොපමණ වෙනස් වෙනවා ද?
දෙවන ප්‍රශ්නය: එක් ස්විචයක තත්ත්වය වෙනස් කිරීමෙන් අවසාන ප්‍රතිඵලයට කොපමණ බලපෑමක් ඇති වෙනවා ද?
පළමු ප්‍රශ්නය variance හෙවත් විචලනය පිළිබඳවයි. දෙවැන්න influence පිළිබඳවයි.
Variance — ප්‍රතිඵල කොපමණ විසිරී තිබෙනවා ද?
අපගේ ප්‍රතිඵල හතර වන්නේ,
+1, 0, 0, −1.
ඒවායේ සාමාන්‍ය අගය,
(1 + 0 + 0 − 1)/4 = 0
දැන් එක් එක් ප්‍රතිඵලය සාමාන්‍ය අගයෙන් කොපමණ වෙනස් ද යන්න වර්ග කර සාමාන්‍යය ගනිමු.
Variance = (1² + 0² + 0² + (−1)²)/4
ඒ අනුව,
Variance = 1/2 = 0.5
මෙයින් අදහස් වන්නේ ප්‍රතිඵලවල යම් විචලනයක් පවතින බවයි. එය සෑම විටම එකම අගය ලබාදෙන ප්‍රකාශනයක් නොවෙයි.
Influence — එක් විචල්‍යයක් වෙනස් කළොත්?
දැන් x₂ එලෙසම තබා x₁ පමණක් වෙනස් කරමු.
උදාහරණයක් ලෙස,
x₁ = +1 සහ x₂ = +1 නම්,
f = 1.
නමුත් x₁ = −1 කළ විට,
f = 0.
ඒ අනුව x₁ වෙනස් කිරීමෙන් ප්‍රතිඵලය ඒකකයකින් වෙනස් වෙනවා.
මෙය අනෙක් සංයෝජන සඳහාත් සත්‍යයි.
x₂ වෙනස් කිරීමෙන් ද ප්‍රතිඵලය ඒකකයකින් වෙනස් වෙනවා.
එනම් විචල්‍යයන් දෙකම ප්‍රතිඵලයට බලපානවා.
මෙම උදාහරණයේදී සෑම විචල්‍යයකම influence එක, Boolean function සඳහා භාවිත කරන සාමාන්‍ය වර්ග-වෙනස්කම් නිර්වචනය අනුව,
Influence(x₁) = Influence(x₂) = 1/4
වෙනවා.
එය ගණනය කරන්නේ එක් විචල්‍යයක ලකුණ මාරු කළ විට f හි ඇති වන වෙනස වර්ග කර, එහි සාමාන්‍ය අගය හතරෙන් බෙදීමෙන්.
ඒ අනුව,
Influence = (1²)/4 = 0.25
මෙහිදී වැදගත් වන්නේ අපට සංඛ්‍යාත්මකව දැකගත හැකි සම්බන්ධයයි.
අපගේ ප්‍රකාශනයේ variance එක 0.5ක් වන අතර, එක් එක් විචල්‍යයේ influence එක 0.25ක් වෙනවා.
මෙම සරල ප්‍රකාශනයට අදාළව,
Variance = Influence(x₁) + Influence(x₂)
යන සම්බන්ධයත් ලැබෙනවා.
නමුත් මෙය සියලු බහුපද සඳහා එකම ආකාරයට සත්‍ය වන පොදු නියමයක් නොවෙයි.
විචල්‍යයන් දහසක් තිබුණොත්?
දැන් අපගේ ස්විච දෙක වෙනුවට ස්විච දහසක් තිබෙනවා යැයි සිතමු.
ඒවා සියල්ල එකතු කර දහසෙන් බෙදන සරල සාමාන්‍ය අගයක් ගණනය කළොත්, එක් ස්විචයක බලපෑම ඉතා කුඩා වෙනවා.
නමුත් ප්‍රකාශනයේ විචල්‍යයන් අතර ගුණ කිරීම්, විවිධ සම්බන්ධතා සහ වෙනත් ගණිතමය ක්‍රියා තිබේ නම්, එහි හැසිරීම වඩාත් සංකීර්ණ විය හැකියි.
මෙහිදී Aaronson–Ambainis අනුමානයේ ප්‍රධාන අදහසට අපි සමීප වෙනවා.
සීමා කළ අගයන් සහිත, අඩු degree එකක් ඇති බහුපදයක ප්‍රතිඵල සැලකිය යුතු ලෙස විචලනය වෙනවා නම්, එහි අවම වශයෙන් එක් විචල්‍යයක්වත් ප්‍රමාණවත් බලපෑමක් කළ යුතු බවට ගණිතමය පහළ සීමාවක් තිබේ ද?
මෙය සාමාන්‍ය බුද්ධියෙන් පිළිතුරු දිය හැකි ප්‍රශ්නයක් ලෙස පෙනුණත්, ඕනෑම විචල්‍ය සංඛ්‍යාවක් සඳහා අදාළ වන නිශ්චිත ගණිතමය සාධනයක් ලබාදීම ඉතා අපහසු කාර්යයක්.
අපගේ ස්විච දෙකේ උදාහරණය මඟින් එම සාධනය ලබාදී නැහැ. අප කළේ මුල් අනුමානයේ ඇති variance සහ influence යන සංකල්ප දෙකේ අර්ථය සරල ආකෘතියකින් දැකගැනීම පමණයි.
ගණිතයට උනන්දුවක් දක්වන පාඨකයාට
Aaronson–Ambainis අනුමානයේදී වැදගත් වන ප්‍රශ්නය වන්නේ, බහුපදයක degree එක සහ variance එක දන්නා විට, එහි අවම වශයෙන් එක් විචල්‍යයක influence එක පිළිබඳව කුමක් කිව හැකි ද යන්නයි.
2026 නොවැම්බර් මාසයේ PSI විසින් ඉදිරිපත් කළ බව වාර්තා වූ සාධනයේ පහළ සීමාව මෙසේ දැක්වෙනවා.
අවම වශයෙන් එක් විචල්‍යයක් සඳහා,
Influence ≥ [8√15/(125π⁴)] × v^(5/2)/d⁶
මෙහි,
v යනු බහුපදයේ variance එකයි.
d යනු එහි degree එකයි.
Influence යනු එම විචල්‍යය ප්‍රතිඵලයට කරන බලපෑම මැනෙන ගණිතමය අගයයි.
ඉදිරියේ ඇති නියත ගුණකය ආසන්න වශයෙන් 0.0025ක්.
ඒ අනුව මෙම සීමාව සරලව මෙසේ ලිවිය හැකියි.
Influence ≥ 0.0025 × v^(5/2)/d⁶
උදාහරණයක් ලෙස, variance එක 0.5ක් සහ degree එක 2ක් වන බහුපදයක් සලකා බලමු.
එවිට මෙම සූත්‍රයෙන් ලැබෙන පහළ සීමාව ආසන්න වශයෙන්,
Influence ≥ 0.0000069
වෙනවා.
අප කලින් සලකා බැලූ ස්විච දෙකේ උදාහරණයේ එක් එක් විචල්‍යයේ influence එක 0.25ක් බව අප ගණනය කළා.
එය මෙම පහළ සීමාවට වඩා බෙහෙවින් වැඩියි.
මෙයින් පැහැදිලි වන්නේ සාධනයෙන් ලබාදෙන පහළ සීමාව යම් නිශ්චිත උදාහරණයක සැබෑ influence අගයට සමාන විය යුතු නැති බවයි. එහි වැදගත්කම වන්නේ අදාළ කොන්දේසි සපුරාලන සියලු බහුපද සඳහා වලංගු වන ගණිතමය සහතිකයක් ලබාදීමයි. ඒ නිසා මේ සාධනයේ වටිනාකම එක් ගණිත ප්‍රශ්නයක සංඛ්‍යාත්මක පිළිතුරක් ලබාගැනීම නොවෙයි.
අසීමිත සංඛ්‍යාවක් විය හැකි ගණිතමය ප්‍රකාශන පන්තියක් සඳහා පොදු සම්බන්ධයක් සනාථ කිරීමයි.
ගණිතය සොයාගන්නා යන්ත්‍රය
දැන් අපට ලිපියේ මුල් ප්‍රශ්නය වෙත නැවත පැමිණිය හැකියි.
AI පද්ධතියක් වසර 18ක් තිස්සේ නොවිසඳුණු ගණිතමය අනුමානයක් සඳහා සාධනයක් ඉදිරිපත් කර තිබෙනවා.
මෙය සිදු වූයේ කෙසේ ද?
අපට මෙහිදී AI පද්ධතියක් විසින් ගණිතමය සොයාගැනීමක් සිදු කිරීම සහ සාමාන්‍ය ගණක යන්ත්‍රයකින් ගණනය කිරීමක් සිදු කිරීම අතර වෙනස සලකා බලන්න පුළුවන්.
ගණක යන්ත්‍රයකට 137 × 289 යන ගුණ කිරීමේ පිළිතුර සොයාගැනීමට හැකියි. එහෙත් එය නව ගණිතමය ප්‍රමේයයක් සොයාගැනීමක් නොවෙයි. නව ගණිතමය සාධනයක් නිර්මාණය කිරීමේදී, පවතින නිර්වචන, ප්‍රමේය සහ තර්කමය සම්බන්ධතා අතරින් නිවැරදි මාර්ගයක් සොයාගත යුතුයි. සමහර විට මුල් ගැටලුව වෙනත් ආකාරයකට ප්‍රකාශ කිරීම අවශ්‍ය වෙනවා. තවත් විටක අතරමැදි ප්‍රමේයයක් සනාථ කළ යුතු වෙනවා.
මෙවැනි ක්‍රියාවලියක් සඳහා විශාල සෙවුම් අවකාශයකින් ප්‍රයෝජනවත් මාර්ග හඳුනාගැනීමේ හැකියාවක් අවශ්‍යයි.
චෙස් ක්‍රීඩාවක උදාහරණය
චෙස් ක්‍රීඩාවක් සලකා බලමු.
එක් අවස්ථාවක ක්‍රීඩකයෙකුට ඉදිරියට යා හැකි පියවර රාශියක් තිබෙනවා. ඒ සෑම පියවරකටම ප්‍රතිවාදියාගේ ප්‍රතිචාර කිහිපයක් තිබෙනවා. එම ප්‍රතිචාරවලට නැවත වෙනත් පියවර ගණනාවක් තිබෙනවා. මේ සියල්ල පරීක්ෂා කිරීමට උත්සාහ කළොත් හැකි ක්‍රීඩා මාර්ග ගණන ඉතා වේගයෙන් වැඩි වෙනවා. දක්ෂ චෙස් ක්‍රීඩකයෙකු සෑම මාර්ගයක්ම එකසේ පරීක්ෂා කරන්නේ නැහැ. ඔහු වැදගත් යැයි සිතන මාර්ගවලට වැඩි අවධානයක් යොමු කරනවා.
AI පද්ධතියකට ද සෙවුම් ක්‍රියාවලියකදී මෙවැනි තෝරාගැනීම් සිදු කළ හැකියි. ගණිතමය සාධනයක් සෙවීමේදීත්, හැකි තර්කමය පියවර අතරින් ප්‍රයෝජනවත් ඒවා තෝරාගැනීම ඉතා වැදගත් වෙනවා. එහෙත් චෙස් ක්‍රීඩාවක ජයග්‍රහණය සහ ගණිතමය සාධනයක් අතර වෙනසක් තිබෙනවා. චෙස් ක්‍රීඩාවේදී හොඳම පියවර සොයාගැනීමට සම්භාවිතාමය ඇගයීම් භාවිත කළ හැකි වුවත්, ගණිතමය සාධනයක අවසාන තර්කය නිශ්චිතව නිවැරදි විය යුතුයි.
මේ නිසා AI මඟින් සාධනයක් නිර්මාණය කිරීමත්, Lean වැනි පද්ධතියක් මඟින් එය පරීක්ෂා කිරීමත් එකිනෙකට අනුපූරක ක්‍රියාකාරකම් දෙකක් ලෙස සැලකිය හැකියි.
ගණිතමය සාධනයක් සොයාගැනීම සහ එය පරීක්ෂා කිරීම
මෙහිදී අපට සැබෑ ජීවිතයේ ඉංජිනේරු සැලසුමක් පිළිබඳ උදාහරණයක් ගත හැකියි.
විශාල පාලමක් නිර්මාණය කරන ඉංජිනේරුවෙකු සිතමු.
ඔහුට පාලමේ ව්‍යුහය සඳහා විවිධ සැලසුම් ඉදිරිපත් කළ හැකියි. එක් සැලසුමක කුලුනු දෙකක් තිබිය හැකියි. තවත් සැලසුමක කුලුනු තුනක් තිබිය හැකියි. වෙනත් සැලසුමක කේබල් ආධාරක පද්ධතියක් භාවිත කළ හැකියි.
නමුත් මේ සැලසුම් සියල්ලම ආරක්ෂිත යැයි අපට කිව නොහැකියි. එක් එක් සැලසුමට අදාළ බර, ද්‍රව්‍යවල ශක්තිය, විරූපණය සහ ස්ථායීතාව ගණනය කර පරීක්ෂා කළ යුතුයි. මෙහිදී ක්‍රියාකාරකම් දෙකක් තිබෙනවා. පළමුව සැලසුමක් නිර්මාණය කිරීම. දෙවනුව එය නියමිත අවශ්‍යතා සපුරාලනවා ද යන්න පරීක්ෂා කිරීම. මේ දෙක එකම ක්‍රියාවලියක් නොවෙයි. ගණිතමය සාධනයක් සම්බන්ධයෙන් ද අපට මෙවැනි වෙනසක් හඳුනාගත හැකියි.
AI පද්ධතියක් සාධනයක් සඳහා හැකි තර්කමය පියවර සොයාගත හැකියි. එම පියවරවලින් නිශ්චිත නිගමනයක් ලබාගැනීමට උත්සාහ කළ හැකියි. Lean වැනි formal proof assistant එකක් මඟින් එම පියවර නිශ්චිත තර්කමය නීතිවලට අනුකූල ද යන්න පරීක්ෂා කළ හැකියි.
එහෙත් පාලමක සැලසුමක් නිවැරදිව ගණනය කළ පමණින් එයට යොදාගත් සියලු බර සහ භූමික තත්ත්වයන් නිවැරදි බව තහවුරු නොවනවා සේම, formal proof එකක් සත්‍යාපනය වීමෙන් එහි මුල් ගැටලුව නිවැරදිව අර්ථකථනය කර ඇති බව ස්වයංක්‍රීයව තහවුරු වන්නේ නැහැ.
උදාහරණයක් ලෙස, වරායක ජැටියක් මත බර උපකරණයක් ක්‍රියාත්මක වන විට එහි අත්තිවාරමට සහ යටින් ඇති පසට බලපාන ආතති හා විස්ථාපන ගණනය කරනවා යැයි සිතමු.
අපට ඒ සඳහා ගණිතමය ආකෘතියක් ගොඩනැගිය හැකියි. එහි භාරයන්, අත්තිවාරමේ මාන, පසෙහි ගුණාංග සහ මායිම් කොන්දේසි ඇතුළත් කළ හැකියි. එම ආකෘතිය මත පදනම් වූ ගණනය කිරීම් සියල්ල නිවැරදිව සිදු වූ බවත්, පරිගණක වැඩසටහන එම සමීකරණ නිවැරදිව විසඳූ බවත් තහවුරු කළ හැකියි.
එහෙත් සැබෑ පසෙහි හැසිරීම අප තෝරාගත් ගණිතමය ආකෘතියෙන් ප්‍රමාණවත් ලෙස නිරූපණය නොවන්නේ නම්, ගණනය කළ විස්ථාපන සැබෑ තත්ත්වයට වඩා වෙනස් විය හැකියි. මෙය ගණිතයේ දෝෂයක් නොව, ගණිතමය ආකෘතිය සහ එයින් නිරූපණය කිරීමට උත්සාහ කරන භෞතික යථාර්ථය අතර ඇති වෙනසක්.
මෙවැනි අවස්ථාවක ඉංජිනේරුවෙකුගේ කාර්යය සමීකරණ නිවැරදිව විසඳීමෙන් අවසන් වන්නේ නැහැ. තෝරාගත් ආකෘතියේ උපකල්පන, එහි සීමාවන් සහ සැබෑ තත්ත්වයට එහි ඇති අදාළත්වයත් විමසා බැලිය යුතුයි.
Formal verification සම්බන්ධයෙන් ද මෙවැනි වෙනසක් හඳුනාගැනීම වැදගත්. යම් ගණිතමය ප්‍රකාශනයක් නිශ්චිත උපකල්පන හා නියමයන් යටතේ තාර්කිකව සනාථ වී ඇති බව පරීක්ෂා කිරීම එක් කාර්යයක්. එහෙත් සනාථ කළ ප්‍රකාශනය අප මුලින් විසඳීමට අදහස් කළ ගැටලුවම නිවැරදිව නිරූපණය කරන්නේදැයි තහවුරු කිරීම තවත් කාර්යයක්.
පරිගණකය විසින් පරීක්ෂා කරන්නේ අප එයට ලබාදුන් ප්‍රකාශනය සහ උපකල්පන යටතේ තර්කය නිවැරදි ද යන්නයි.
ඒ ප්‍රකාශනය මුල් ප්‍රශ්නය නිවැරදිව නිරූපණය කරනවා ද යන්න තවත් පරීක්ෂණයකට ලක් කළ යුතුයි. ඒ නිසා AI විසින් ඉදිරිපත් කළ සාධනයක් Lean මඟින් පිළිගැනීම ඉතා වැදගත් ජයග්‍රහණයක් වුවත්, එය විද්වත් ගණිතමය විමර්ශනයේ සියලු අදියර අවසන් වූ බවට සමාන නොවෙයි. තවත් කරුණක් මෙහිදී සිහිපත් කළ යුතුයි. ගණිතමය සාධනයක් නිර්මාණය කිරීමේදී යන්ත්‍රයක් භාවිත කරන සෙවුම් ක්‍රමය සහ එම සාධනයේ තර්කමය නිවැරදිභාවය එකිනෙකට වෙනස් දේවල්.
සෙවුම් ක්‍රියාවලිය සම්භාවිතාමය විය හැකියි. නමුත් අවසානයේ පිළිගන්නා formal proof එකේ සෑම පියවරක්ම අදාළ තර්කමය නීති අනුව නිවැරදි විය යුතුයි.
Fermatගේ ප්‍රමේය සහ AI පද්ධති දහසක්
The AI Spectator හි එම කලාපයේම තවත් සිත්ගන්නා වාර්තාවක් තිබෙනවා.
එයට අනුව, AI agents දහසක් පමණ යොදාගෙන Fermat's Last Theorem නමැති සුප්‍රසිද්ධ ගණිත ප්‍රමේයයේ සාධනයක් Lean පද්ධතිය තුළ විධිමත් කිරීමට පැය 30ක් පමණ ගත වී තිබෙනවා.
Fermat's Last Theorem යනු කුමක් ද?
අප දන්නා පයිතගරස් ප්‍රමේයය අනුව,
3² + 4² = 5²
මන්ද,
9 + 16 = 25.
මෙහි 3, 4 සහ 5 යන සියල්ල ධන පූර්ණ සංඛ්‍යායි.
නමුත් 2 වෙනුවට 3, 4, 5 ආදී වැඩි බලයක් භාවිත කළොත් කුමක් සිදු වේ ද?
උදාහරණයක් ලෙස,
a³ + b³ = c³
වන ධන පූර්ණ සංඛ්‍යා a, b සහ c සොයාගත හැකි ද?
Fermatගේ ප්‍රමේයය පවසන්නේ n යනු 2ට වැඩි පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් නම්,
aⁿ + bⁿ = cⁿ
යන සමීකරණයට ධන පූර්ණ සංඛ්‍යා විසඳුම් නොමැති බවයි.
17 වැනි සියවසේ Pierre de Fermat විසින් ඉදිරිපත් කළ මේ ප්‍රකාශය සනාථ කිරීමට ගණිතඥයන්ට සියවස් ගණනාවක් ගත වුණා.
අවසානයේ Andrew Wiles විසින් 1993දී සාධනයක් ඉදිරිපත් කළ අතර, එහි හඳුනාගත් අඩුපාඩුවක් Richard Taylorගේ සහාය ඇතිව නිවැරදි කිරීමෙන් පසු, 1995දී එය විද්‍යාත්මක පර්යේෂණ පත්‍රිකාවක් ලෙස ප්‍රකාශයට පත් කෙරුණා.
ඒ මුල් පර්යේෂණ පත්‍රිකාව වන Modular Elliptic Curves and Fermat's Last Theorem (Andrew Wiles, 1995) මෙතැනින් නොමිලේ කියවිය හැකියි.
AI agents දහසක් භාවිත කළ බවට වාර්තා වූ නව කාර්යය, Fermatගේ ප්‍රමේයය මුලින්ම සොයාගැනීම හෝ එයට පළමු සාධනය ලබාදීම නොවෙයි. එය දැනට පවතින ගණිතමය දැනුම පරිගණකයකට පරීක්ෂා කළ හැකි විධිමත් භාෂාවකට පරිවර්තනය කිරීමේ කාර්යයක්.
මෙය ඉතා වැදගත් වෙනසක්.
මන්ද අපට මෙහිදී ගණිතමය ක්‍රියාකාරකම් තුනක් හඳුනාගත හැකි නිසයි.
පළමුව — සොයාගැනීම (Discovery).
පෙර නොදන්නා ගණිතමය සම්බන්ධයක් හෝ එයට සාධනයක් සොයාගැනීම.
දෙවනුව — සත්‍යාපනය (Verification).
ඉදිරිපත් කළ සාධනයේ සියලු තර්කමය පියවර නිවැරදි බව පරීක්ෂා කිරීම.
තුන්වනුව — අවබෝධය (Understanding).
එම ගණිතමය සම්බන්ධය සත්‍ය වන්නේ ඇයි, එය වෙනත් ගණිතමය අදහස් සමඟ සම්බන්ධ වන්නේ කෙසේ ද, සහ එහි වැදගත්කම කුමක් ද යන්න තේරුම් ගැනීම.
AI පද්ධති පළමු සහ දෙවන ක්‍රියාකාරකම් සඳහා වැඩි වැඩියෙන් දායක වෙමින් තිබෙන බව මේ වාර්තා පෙන්වා දෙනවා.
නමුත් තුන්වැන්න පිළිබඳව අපට තවදුරටත් විමසීමට සිදු වෙනවා.
ගණිතය නිවැරදිව කිරීම සහ එය අවබෝධ කරගැනීම
පාසල් ශිෂ්‍යයෙකුට පහත සමීකරණය ඉතා පහසුවෙන් මතක තබාගත හැකියි.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
ඔහුට එය භාවිත කර ගණිත ප්‍රශ්න සිය ගණනක් විසඳීමටත් හැකියි.
නමුත් මේ සම්බන්ධය සත්‍ය වන්නේ ඇයි යනුවෙන් ඇසූ විට ඔහුට පිළිතුරු දීමට නොහැකි විය හැකියි.
තවත් ශිෂ්‍යයෙකුට එය රූපයක් මඟින් පැහැදිලි කළ හැකියි.
පැත්තක දිග a + b වන සමචතුරස්‍රයක් සිතමු.
එහි වර්ගඵලය (a + b)²යි.
එම සමචතුරස්‍රය කොටස් හතරකට බෙදුවොත්, a² සහ b² වර්ගඵල සහිත සමචතුරස්‍ර දෙකක් සහ ab වර්ගඵල සහිත සෘජුකෝණාස්‍ර දෙකක් ලැබෙනවා.
ඒ නිසා මුළු වර්ගඵලය,
a² + ab + ab + b²
හෙවත්,
a² + 2ab + b²
වෙනවා.
දැන් දෙවන ශිෂ්‍යයා සතුව පළමු ශිෂ්‍යයාට වඩා වෙනස් ආකාරයක ගණිතමය පැහැදිලි කිරීමක් තිබෙනවා.
ඔහු සමීකරණය භාවිත කරනවා පමණක් නොවෙයි. එහි ඇති සම්බන්ධය වෙනත් නිරූපණයකින් ද පැහැදිලි කරනවා.
නමුත් මෙහිදී අපට තවත් ප්‍රශ්නයක් ඇසිය හැකියි.
AI පද්ධතියකටත් මේ රූපය නිර්මාණය කර එය පැහැදිලි කළ හැකි නම්, එයට අවබෝධයක් තිබෙන බව අප පිළිගත යුතු ද?
මෙයට සරල පිළිතුරක් නැහැ.
මන්ද අවබෝධය යනුවෙන් අප අදහස් කරන්නේ කුමක් ද යන්නම තවදුරටත් විමසා බැලිය යුතු නිසයි.
එය ගණිතමය සම්බන්ධතා නිවැරදිව භාවිත කිරීමේ හැකියාව ද?
නැතහොත් ඒවා නව අවස්ථාවලට යොදාගැනීමේ හැකියාව ද?
එසේත් නැත්නම්, යමක් අවබෝධ කරගන්නා බවට ඇති අභ්‍යන්තර අත්දැකීමක් ද?
මේ ප්‍රශ්න තුන එකිනෙකට සමාන නැහැ.
AI පද්ධතියක් නිවැරදි සාධනයක් නිර්මාණය කිරීමෙන් එයට මිනිසෙකුට සමාන අභ්‍යන්තර අත්දැකීමක් තිබෙන බව ඔප්පු වන්නේ නැහැ.
එසේම, එවැනි අත්දැකීමක් තිබෙන බව අපට තහවුරු කළ නොහැකි වීමෙන් එහි ගණිතමය හැකියාවන් නොවැදගත් බවක් අදහස් වන්නේත් නැහැ.
ගණිතමය අවබෝධය යනු පිළිතුරක් ද, නැතහොත් සම්බන්ධතාවක් ද?
මෙහිදී මට තවත් අදහසක් මතු වෙනවා.
ගණිතය ඉගෙනගන්නා ශිෂ්‍යයෙකු සමීකරණයක් මතක තබාගෙන එය නිවැරදිව භාවිත කරනවා යැයි සිතමු.
ඔහුට විභාගයේදී ඉතා ඉහළ ලකුණු ලබාගත හැකියි.
නමුත් එම සමීකරණය වෙනත් ආකාරයකින් ඉදිරිපත් කළ විට ඔහුට එය හඳුනාගැනීමට නොහැකි විය හැකියි.
උදාහරණයක් ලෙස, ශිෂ්‍යයෙකුට පයිතගරස් ප්‍රමේයය,
a² + b² = c²
ලෙස මතක තිබෙනවා.
නමුත් සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක පාද දෙකේ දිග 3 සහ 4 නම්, කර්ණයේ දිග 5 බව දැන සිටීමෙන් පමණක් එම සම්බන්ධයේ ගැඹුරු ගණිතමය අර්ථය අවබෝධ කරගෙන ඇති බව අපට නිශ්චිතව කිව නොහැකියි.
එම ශිෂ්‍යයාට වෙනත් සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයකට එය යොදාගත හැකි ද?
ත්‍රිකෝණයේ දිග වෙනස් වුවත් සම්බන්ධය නොවෙනස් වන්නේ ඇයි යන්න පැහැදිලි කළ හැකි ද?
ප්‍රමේයය සත්‍ය වන තත්ත්වයන් සහ එය අදාළ නොවන තත්ත්වයන් හඳුනාගත හැකි ද?
මෙවැනි ප්‍රශ්නවලින් අප පරීක්ෂා කරන්නේ නිශ්චිත පිළිතුරක් මතක තබාගැනීමේ හැකියාව පමණක් නොවෙයි. ගණිතමය සම්බන්ධතාවක් නව තත්ත්වයකදී භාවිත කිරීමට ඇති හැකියාවයි.
AI පද්ධතියක් සම්බන්ධයෙන් ද අපට මෙවැනි පරීක්ෂණ කළ හැකියි.
එයට කලින් නොදුටු ගණිතමය ගැටලුවක් විසඳිය හැකි ද?
එකම ප්‍රමේයය වෙනස් ආකාර දෙකකින් සාධනය කළ හැකි ද?
තමන් ඉදිරිපත් කළ සාධනයේ දෝෂයක් හඳුනාගෙන එය නිවැරදි කළ හැකි ද?
යම් උපකල්පනයක් ඉවත් කළ විට ප්‍රමේයය තවදුරටත් සත්‍ය වේ ද යන්න පරීක්ෂා කළ හැකි ද?
මෙවැනි හැකියාවන් මඟින් යන්ත්‍රයක ගණිතමය reasoning පිළිබඳව අපට ප්‍රායෝගිකව විමසා බැලිය හැකියි.
නමුත් මෙහිදී තවත් වෙනසක් තිබෙනවා.
යමක් අවබෝධ කරගත් බව පෙන්වන හැසිරීමක් තිබීම සහ එය අවබෝධ කරගන්නා බවට අභ්‍යන්තර අත්දැකීමක් තිබීම එකම ප්‍රකාශයක් නොවෙයි.
පළමු කරුණ පරීක්ෂා කිරීමට අපට ගණිතමය ප්‍රශ්න, සාධන සහ අලුත් තත්ත්වයන් යොදාගත හැකියි.
දෙවන කරුණ විඥානය සහ ආත්මීය අත්දැකීම පිළිබඳ දාර්ශනික හා විද්‍යාත්මක ගැටලුවකට සම්බන්ධ වෙනවා.
එබැවින් AI පද්ධතියක් නව ගණිතමය සාධනයක් ඉදිරිපත් කළ විට, එයට ගණිතමය reasoning හැකියාවක් තිබෙන බවට අපට සාක්ෂි ලැබිය හැකියි.
නමුත් එයින් එයට මිනිසෙකු මෙන් ගණිතමය අවබෝධය අත්විඳින විඥානයක් තිබෙන බව ඔප්පු වන්නේ නැහැ.
එසේම, එවැනි අත්දැකීමක් තිබෙන බව අපට තහවුරු කළ නොහැකි නිසාම එහි reasoning හැකියාවන් ප්‍රතික්ෂේප කිරීමත් සාධාරණ නැහැ.
මෙහිදී මට වැදගත් වන්නේ මිනිසා සහ යන්ත්‍රය අතර කවරෙකු උසස් ද යන තරගයක් නොවෙයි.
අප ගණිතමය චින්තනය ලෙස හඳුන්වන ක්‍රියාවලියේ අත්‍යවශ්‍ය අංග මොනවා ද යන්න නැවත විමසා බැලීමයි.
මන්ද යන්ත්‍රයක් මිනිසාට අපහසු වූ ගණිතමය සාධනයක් සොයාගත් විට, එම සිද්ධිය යන්ත්‍රයේ හැකියාව පිළිබඳව පමණක් නොව, මිනිසාගේ ගණිතමය චින්තනය පිළිබඳව ද අලුත් ප්‍රශ්න මතු කරන නිසයි.
Gödel සහ යන්ත්‍රයේ සීමාව
මෙවැනි සාකච්ඡාවකදී Kurt Gödelගේ incompleteness theorems හෙවත් අසම්පූර්ණතා ප්‍රමේයයන් පිළිබඳව සිහිපත් වීම ස්වාභාවිකයි.
ඇත්තෙන්ම, ඊයේ මා ලියූ වෙනත් ලිපියකට ප්‍රතිචාර දක්වමින්, ගණිතය පිළිබඳව ලියන සහ ඒ පිළිබඳ දැනුම ප්‍රවර්ධනය කිරීමට උනන්දුවක් දක්වන තරුණයෙක් මේ සම්බන්ධයෙන් මගෙන් ප්‍රශ්නයක් අසා තිබුණා. ඔහුගේ ප්‍රශ්නය Gödelගේ ප්‍රමේයයන් සහ යන්ත්‍රයකට ගණිතමය චින්තනයේ යෙදිය හැකිද යන ගැටලුව අතර සම්බන්ධය පිළිබඳවයි.
සමහර විට ඔහු හදාරා ඇති තරම් ගණිතය මා විධිමත්ව හදාරා නැතිවත් ඇති. මගේ ප්‍රධාන අධ්‍යයන හා වෘත්තීය ක්ෂේත්‍රය ඉංජිනේරු විද්‍යාව නිසා, ගණිතයේ ඇතැම් ගැඹුරු න්‍යායික අංශ පිළිබඳව මගේ දැනුමට සීමාවන් තිබෙන බව මම දන්නවා.
එහෙත් ගණිතය කෙරෙහි මගේ ඇති ඇල්ම ළමා කාලයේ සිටම ක්‍රමයෙන් වර්ධනය වූවක්. එය විභාගයකට හෝ වෘත්තීය අවශ්‍යතාවකට පමණක් සීමා වූ රුචිකත්වයක් නොවෙයි. ගණිතමය අදහසක් පිටුපස සැඟවී ඇති සම්බන්ධතා සොයා බැලීමත්, මට නොවැටහෙන දෙයක් වටහා ගැනීමට උත්සාහ කිරීමත් මට විශාල සතුටක් ගෙන දෙනවා. ඒ නිසා මෙවැනි ප්‍රශ්නයක් මතු වූ විට, එය මඟහැර යනවාට වඩා ඒ ඔස්සේ තවත් දුරක් සිතා බැලීමට මම කැමතියි.
ඒ තරුණයාගේ ප්‍රශ්නයත් මට වැදගත් වුණේ ඒ අර්ථයෙන්. සමහර විට අපේම සිතීම තවත් පියවරක් ඉදිරියට ගෙන යන්නේ, අපට පිළිතුරු ලබාදෙන අය නොව, අපෙන් අලුත් ප්‍රශ්න අසන අයයි.
දැන් අපි Gödel වෙත හැරෙමු.
Gödelගේ පළමු අසම්පූර්ණතා ප්‍රමේයයෙන් පෙන්වා දෙන්නේ, ස්වාභාවික සංඛ්‍යා පිළිබඳ මූලික අංකගණිතය ප්‍රකාශ කිරීමට තරම් ප්‍රබල, සංගත සහ ඵලදායී ලෙස නියම කළ හැකි විධිමත් ගණිතමය පද්ධතියක් තුළ, එම පද්ධතියේ නියමයන් භාවිත කර සනාථ කළ නොහැකි ප්‍රකාශන තිබෙන බවයි.
සරලව කිවහොත්, යම් විධිමත් ගණිතමය පද්ධතියකින් සනාථ කළ හැකි දේවලට සීමාවක් තිබෙනවා. එම පද්ධතියේ නියමයන් අනුගමනය කිරීමෙන් පමණක් එහි ප්‍රකාශ කළ හැකි සියලු ගණිතමය සත්‍යයන් සනාථ කළ නොහැකියි.
නමුත් මෙතැනදී අප ප්‍රවේශම් විය යුතුයි.
Gödelගේ ප්‍රමේයයන් මඟින් පරිගණකයකට හෝ AI පද්ධතියකට ගණිතමය චින්තනයේ යෙදිය නොහැකි බව සනාථ කරන්නේ නැහැ.
ඒ වගේම මිනිස් මනසට ඕනෑම විධිමත් පද්ධතියක සීමාවන් ඉක්මවා සියලු ගණිතමය සත්‍යයන් අවබෝධ කරගත හැකි බවක් ද එයින් සනාථ වන්නේ නැහැ.
එහෙත් මෙහිදී තවත් ප්‍රශ්නයක් ඉතිරි වෙනවා. යන්ත්‍රයක් යම් විධිමත් පද්ධතියක් තුළ ගණිතමය සාධනයක් නිර්මාණය කරන විට, එය එම පද්ධතියේ නියමයන් අනුගමනය කිරීමක් පමණක් ද? නැත්නම් එම නියමයන්ගේ සීමාවන් හඳුනාගෙන, ඒවා පිළිබඳවම අලුතින් විමසීමටත් එයට හැකි ද?
උදාහරණයක් ලෙස, යුක්ලීඩියානු ජ්‍යාමිතිය සලකා බලමු. එහි මූලික ස්වයංසිද්ධි අතරින් පස්වැනි ස්වයංසිද්ධිය, එනම් සමාන්තර රේඛා පිළිබඳ උපකල්පනය, අනෙක් ස්වයංසිද්ධි ඇසුරෙන් සනාථ කළ හැකිදැයි ගණිතඥයන් සියවස් ගණනාවක් තිස්සේ විමසා බැලුවා. අවසානයේ එය අනෙක් ස්වයංසිද්ධිවලින් ස්වාධීන බව හඳුනාගැනීමත් සමඟ, එම උපකල්පනය වෙනස් කළ විට වෙනත් සංගත ජ්‍යාමිතික පද්ධති ගොඩනැගිය හැකි බව පැහැදිලි වුණා. එසේ යුක්ලීඩියානු නොවන ජ්‍යාමිතීන් බිහි වුණා.
මෙහිදී සිදු වූයේ පැවති ජ්‍යාමිතික පද්ධතිය තුළ තවත් ප්‍රමේයයක් සනාථ කිරීම පමණක් නොවෙයි. එම පද්ධතියේ පදනම ලෙස පිළිගෙන තිබූ උපකල්පනයක්ම ප්‍රශ්න කිරීමත්, එය වෙනස් කිරීමෙන් ගණිතමය චින්තනයට අලුත් මාර්ග විවෘත කරගැනීමත් සිදු වුණා.
මට ඇති කුතුහලයත් මෙතැනයි. යන්ත්‍රයකට මෙවැනි මූලික උපකල්පනයක් ප්‍රශ්න කර, එයින් වෙනස් ගණිතමය පද්ධතියක් ගොඩනැගීමේ හැකියාව තිබිය හැකි ද? එසේ කළත්, එම ක්‍රියාවලියෙන් අදහස් වන්නේ එය තමන් භාවිත කරන ගණිතමය පද්ධතියේ සීමාවන් අවබෝධ කරගත් බව ද?
සමහර විට මේ ප්‍රශ්නය අසන විට අප සැබවින්ම විමසන්නේ මිනිස් දැනුමේ සහ යාන්ත්‍රිකව ගොඩනැගෙන දැනුමේ සීමාවන් එක සමාන ද යන්න විය හැකියි. එසේත් නැත්නම්, අප මිනිස් චින්තනයට විශේෂයෙන් අයත් යැයි සලකන යම් හැකියාවක් යන්ත්‍රයක් තුළ දක්නට ලැබෙන විට, එය පිළිගැනීමට අප තුළ ඇති සූදානම ගැනත් විය හැකියි.
මේ ප්‍රශ්න Gödelගේ ප්‍රමේයයන්ගෙන් පමණක් විසඳිය නොහැකියි. නමුත් මිනිස් චින්තනය, ගණිතමය අවබෝධය සහ කෘත්‍රිම බුද්ධිය අතර සම්බන්ධය ගැන තවදුරටත් සිතා බැලීමට ඒවා අපට හොඳ අවස්ථාවක් සලසා දෙනවා.
නමුත් එයින් මිනිස් මනසට යන්ත්‍රයකට කිසිදා කළ නොහැකි සියලු ගණිතමය සත්‍යයන් අවබෝධ කරගත හැකි බව ඔප්පු වන්නේ නැහැ. එසේම, AI පද්ධතියක් නව ගණිතමය සාධනයක් ඉදිරිපත් කිරීමෙන් Gödelගේ ප්‍රමේයයන් අසත්‍ය වන බවක් ද අදහස් වන්නේ නැහැ.
මෙහිදී ගණිතමය සාධනයක තර්කමය සීමා සහ මිනිස් හෝ යන්ත්‍ර අවබෝධය පිළිබඳ දාර්ශනික ප්‍රශ්න එකිනෙක වෙන් කරගැනීම අවශ්‍යයි.
අප මෙතැනින් ඉදිරියට යන්නේ කොතැනට ද?
අප ලිපිය ආරම්භ කළේ වසර 18ක් පැරණි ගණිතමය අනුමානයක් සඳහා AI පද්ධතියක් විසින් දින තුනකින් සාධනයක් ඉදිරිපත් කළ බවට වූ පුවතකින්.
ඒ ඔස්සේ ක්වොන්ටම් පරිගණනයේ මූලික අදහස් කිහිපයක් විමසා බැලුවා.
සාමාන්‍ය පරිගණක සහ ක්වොන්ටම් පරිගණක අතර වෙනස හුදෙක් ඒවායේ වේගය පිළිබඳ ප්‍රශ්නයක් නොවන බව අපට පෙනුණා.
ඒවා තොරතුරු නිරූපණය කරන ආකාරයත්, ගණනය කිරීම් සිදු කරන ආකාරයත් වෙනස්.
එමෙන්ම ගැටලුවක ප්‍රමාණය වැඩි වන විට අවශ්‍ය ගණනය කිරීම් ප්‍රමාණය polynomial හෝ exponential ආකාරයට වැඩි වීම අතර ඇති වෙනස, පරිගණනයේ ප්‍රායෝගික හැකියාවන් තීරණය කිරීමට කොතරම් වැදගත් ද යන්නත් අප දුටුවා.
Aaronson–Ambainis අනුමානය වැදගත් වන්නේ මෙවැනි ගණනය කිරීම්වල සීමා පිළිබඳ වඩාත් නිශ්චිත ගණිතමය අවබෝධයක් ලබාගැනීමට එය උපකාරී විය හැකි නිසයි.
නමුත් මට මේ සිද්ධියේ වඩාත් සිත්ගන්නාසුලු කාරණය තවත් එකක්.
මිනිසා සියවස් ගණනාවක් තිස්සේ ගණිතය ගොඩනැගුවේ සංකේත, නිර්වචන, උපකල්පන සහ තර්කමය සම්බන්ධතා භාවිත කරමින්. අද එම සංකේත සහ තර්කමය සම්බන්ධතා භාවිත කරමින්, මිනිසාට මෙතෙක් සොයාගැනීමට අපහසු වූ සාධන සෙවීමට යන්ත්‍රවලටත් හැකියාව ලැබෙමින් තිබෙනවා. එහෙත් ගණිතමය සාධනයක් සොයාගැනීම, එය නිවැරදි බව පරීක්ෂා කිරීම සහ එහි අර්ථය අවබෝධ කරගැනීම යන ක්‍රියාකාරකම් තුන එකම දෙයක් ලෙස අප සැලකිය යුතු නැහැ.
මෙහිදී මම අවසාන නිගමනයක් ඉදිරිපත් කිරීමට උත්සාහ කරන්නේ නැහැ.
ඒ වෙනුවට තවත් ප්‍රශ්නයක් ඉතිරි කරන්න කැමතියි.
අප ගණිතය යනුවෙන් හඳුන්වන්නේ සංකේත නිවැරදිව හැසිරවීමේ ක්‍රියාවලියක් පමණක් ද? නැතහොත් එම සංකේත අතර ඇති සම්බන්ධතා යම් ආකාරයකින් අවබෝධ කරගැනීමත් ගණිතමය චින්තනයේ අත්‍යවශ්‍ය අංගයක් ද?
අනාගතයේදී යන්ත්‍ර මිනිසාට වඩා සංකීර්ණ ගණිතමය සාධන නිර්මාණය කිරීමට සමත් වුවත්, මේ ප්‍රශ්නය එයින් ස්වයංක්‍රීයව විසඳෙන්නේ නැහැ.
සමහර විට AI විසින් අපට ලබාදෙන වැදගත්ම අවස්ථාව වන්නේ යන්ත්‍රයක් ගණිතය සිතන්නේ කෙසේද යන්න දැනගැනීම පමණක් නොවෙයි.
මිනිසා ගණිතය සිතනවා යනුවෙන් අප මෙතෙක් අදහස් කළේ කුමක් ද යන්න නැවත විමසා බැලීමට ලැබෙන අවස්ථාවත් එය විය හැකියි.
මූලාශ්‍ර සහ වැඩිදුර කියවීමට
David Borish — The AI Spectator, Weekly Edition No. 44, November 14, 2026. https://dmb333.github.io/-ai-spectator-weekly/
Neetika Walter — Major quantum computing conjecture solved in three days after 18 years of uncertainty, Interesting Engineering, November 6, 2026. https://interestingengineering.com/culture/psi-research-system-aaronson-ambainis-quantum-conjecture
Scott Aaronson and Andris Ambainis — The Need for Structure in Quantum Speedups, 2008.
Pierre de Fermat — Fermat's Last Theorem; proof by Andrew Wiles, completed in the 1990s.
Kurt Gödel — On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems, 1931.
