නමගිරි දේවිය රාමනුජන්ට ගණිතය කියා දුන්නාද?
නමගිරි දේවිය රාමනුජන්ට ගණිතය කියා දුන්නාද?
රාමනුජන්ගේ ගණිතමය ප්‍රතිභාව, ලැකාන්ගේ සංකේත දාමය සහ කෘත්‍රිම බුද්ධියේ ගණිතමය අවිඥානය පිළිබඳ විමසුමක්
1. ගණිතය අපට සිතෙන්නේ කොහෙන්ද?
අපි ගණිත ගැටලුවක් විසඳන විට, සාමාන්‍යයෙන් සිතන්නේ එය තර්කයෙන් පියවරෙන් පියවර ගොඩනැඟෙන ක්‍රියාවලියක් ලෙසයි. මුලින් උපකල්පනයක්, ඉන්පසු සමීකරණ කිහිපයක්, අවසානයේ පිළිතුරක්.
නමුත් ගණිතයේ ඉතිහාසය කියවද්දී අපට හමුවන්නේ එතරම් සරල කතාවක් නොවේ.
සමහර ගණිතඥයන්ට විසඳුම මුලින්ම පෙනී ගොස් තිබේ. එහි සාධනය ඔවුන් සොයාගෙන ඇත්තේ පසුවය. තවත් සමහරුන්ට නින්දෙන් අවදි වූ මොහොතක, ඇවිදිමින් සිටියදී හෝ කිසිදු සවිඥානික උත්සාහයක් නොකරන අවස්ථාවක ගණිතමය සම්බන්ධතාවක් හදිසියේ හඳුනාගැනීමට හැකි වී තිබේ.
එවැනි අවස්ථාවක අප අසන්නේ කුමක්ද?
ගණිතය සිතන්නේ ගණිතඥයාද? නැත්නම් ගණිතඥයා තුළ ඔහුටත් සම්පූර්ණයෙන් නොපෙනෙන කිසියම් ක්‍රියාවලියක් ක්‍රියාත්මක වෙනවාද?
මේ ප්‍රශ්නය මට වැදගත් වන්නේ ගණිතයේ ඉතිහාසය නිසා පමණක් නොවේ. වර්තමානයේ කෘත්‍රිම බුද්ධිය මගින් ගණිතමය සොයාගැනීම් සිදුකිරීමට උත්සාහ කරන ආකාරයත්, මිනිස් අවිඥානය පිළිබඳ ලැකාන්ගේ අදහසුත්, මේ ප්‍රශ්නය වටා එකිනෙක හමුවන නිසාය.
එහෙත් ඒවා එකම දෙයක් බව කියන්නට මම උත්සාහ නොකරමි. මගේ උත්සාහය ඒ අතර ඇති විය හැකි සම්බන්ධතා සහ වෙනස්කම් විමසා බැලීමයි.
2. රාමනුජන් සහ නමගිරි දේවිය
ඉන්දියානු ගණිතඥ ශ්‍රීනිවාස රාමනුජන් (Srinivasa Ramanujan, 1887–1920) ගණිත ඉතිහාසයේ අසාමාන්‍ය චරිතයකි.
ඔහුගේ ගණිතමය දැනුම විධිමත් විශ්වවිද්‍යාල පුහුණුවකින් පමණක් ගොඩනැඟුණේ නැත. ඔහු සංඛ්‍යා, ශ්‍රේණි, අඛණ්ඩ භාග සහ අනන්ත ප්‍රකාශන අතර සම්බන්ධතා පිළිබඳ පුදුමාකාර ප්‍රතිඵල රාශියක් සොයාගත්තේය.
ඔහු තම ගණිතමය ආභාසය නමගිරි දේවිය සමඟ සම්බන්ධ කළ බවට ජීවිත කතා සහ සමකාලීන වාර්තා තිබේ. සමහර ප්‍රකාශනවලින් පෙනෙන්නේ ඔහු ගණිතමය සත්‍යයන් දේව ආභාසයක් ලෙස අත්විඳි බවයි.
මෙහිදී ප්‍රශ්න දෙකක් වෙන්කර ගත යුතුය.
පළමුවැන්න: රාමනුජන් තම අත්දැකීම විස්තර කළේ කෙසේද?
දෙවැන්න: ඔහුගේ මනස තුළ ගණිතමය සොයාගැනීම ඇත්තෙන්ම සිදුවූයේ කෙසේද?
පළමු ප්‍රශ්නයට ඔහුගේ ආගමික හා සංස්කෘතික පසුබිම තුළ පිළිතුරක් සොයාගත හැකිය. දෙවැනි ප්‍රශ්නයට එවැනි සරල පිළිතුරක් නොමැත.
ඔහු නමගිරි දේවිය ගැන කතා කළ නිසා දේවිය විසින් සමීකරණ ලබාදුන් බව විද්‍යාත්මකව තහවුරු වන්නේ නැත. එසේම ඔහුගේ අත්දැකීම අර්ථ විරහිත මිථ්‍යාවක් ලෙස බැහැර කිරීමත් එහි මානසික හා සංස්කෘතික වැදගත්කම අහිමි කරයි.
අපට විමසිය හැක්කේ මෙයයි.
රාමනුජන්ට තමන්ගේම ගණිතමය නිර්මාණශීලීත්වය බාහිර මූලාශ්‍රයකින් පැමිණෙන දෙයක් ලෙස අත්විඳීමට හේතුව කුමක්ද?
3. අනන්තය සහ ගණිතමය ආභාසයේ අමුතු ස්වභාවය
රාමනුජන් පිළිබඳ ජනප්‍රිය සාකච්ඡාවල නිතර හමුවන ප්‍රකාශනයක් තිබේ.
S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯
මෙම ශ්‍රේණිය සාමාන්‍ය අර්ථයෙන් එකතු කළහොත් එහි එකතුව සීමිත සංඛ්‍යාවකට ළඟා නොවේ.
එහි පළමු n පදවල එකතුව:
Sₙ = n(n + 1)/2
එබැවින්,
n → ∞ වන විට Sₙ → ∞.
එසේ තිබියදී, ගණිතයේ ඇතැම් සන්දර්භවල මෙම ශ්‍රේණිය සමඟ −1/12 යන අගය සම්බන්ධ කරනු ලැබේ.
ඒ සඳහා ප්‍රසිද්ධ සම්බන්ධතාවක් වන්නේ Riemann zeta function එකයි.
ζ(s) = Σₙ₌₁^∞ 1/nˢ, Re(s) > 1
මෙම ශ්‍රිතය එහි මුල් අර්ථ දැක්වීමෙන් පිටතට analytic continuation ක්‍රමයෙන් දිගු කළ විට,
ζ(−1) = −1/12
යන ප්‍රතිඵලය ලැබේ.
මෙහි ඉතා වැදගත් වෙනසක් තිබේ.
1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ යන සාමාන්‍ය ශ්‍රේණියේ එකතුව −1/12 නොවේ.
−1/12 යනු එම ශ්‍රේණියට සම්බන්ධ zeta-regularized අගයකි. මෙය සාමාන්‍ය එකතු කිරීමේ නීති වෙනස් කිරීමක් නොව, වෙනත් ගණිතමය ක්‍රමවේදයක් යටතේ ලැබෙන අගයකි.
මෙම වෙනස නොසලකා හැරියොත් ගණිතමය ආශ්චර්යයක් පෙන්වීමට ගොස් අප වැරදි ගණිතයක් ඉදිරිපත් කරනවා විය හැකිය.
එහෙත් මට මෙහි රසවත් වන්නේ −1/12 යන අගය පමණක් නොවේ.
අප සාමාන්‍යයෙන් දකින සංකේත මාලාවකට, එය පිහිටුවන නීති පද්ධතිය වෙනස් කළ විට, වෙනත් ආකාරයක අර්ථයක් ලැබිය හැකි වීමයි.
මෙය ලැකාන් වෙත යාමට අවස්ථාවක් සපයයි. නමුත් ගණිතමය regularization සහ මනෝවිශ්ලේෂණයේ signification එකම ක්‍රියාවලියක් නොවන බව මුලින්ම පැහැදිලි කළ යුතුය.
4. ලැකාන්ගේ ප්‍රශ්නය: සංකේත අපට පෙර ක්‍රියාත්මක වෙනවාද?
ජැක් ලැකාන්ගේ Écrits කෘතියේ The Seminar on “The Purloined Letter” නම් ලිපිය සහ එයට සම්බන්ධ හැඳින්වීමේ කොටස්, සංකේතමය අනුපිළිවෙළ පිළිබඳ අසාමාන්‍ය ගණිතමය ආදර්ශයක් ඉදිරිපත් කරයි.
ලැකාන් එහිදී සරල අහඹු සිදුවීම් මාලාවකින් පටන්ගෙන, ඒවා සංකේතවලට පරිවර්තනය කළ විට මතුවන සීමා සහ අනුපිළිවෙළ විමසා බලයි.
අපි කාසියක් විසි කරනවා යැයි සිතමු.
එහි ප්‍රතිඵල දෙකකි:
+ සහ −
අනුයාතව කාසිය විසි කිරීමෙන් අපට පහත ආකාරයේ අනුපිළිවෙළක් ලැබිය හැකිය.
+ + − + − − + + − ⋯
එක් එක් විසි කිරීම ස්වාධීන හා සාධාරණ කාසි විසි කිරීමක් නම්, ඊළඟ ප්‍රතිඵලය පෙර ප්‍රතිඵලයෙන් තීරණය වන්නේ නැත.
එහෙත් මේ අනුපිළිවෙළට අලුත් සංකේතමය නීතියක් යොදන විට කුමක් සිදුවේද?
එවිට සංකේතමය පද්ධතියේම නීති නිසා ඇතැම් අනුපිළිවෙළවල් හැකි වන අතර අනෙක් ඒවා අසම්භව විය හැකිය.
මෙහි අර්ථය අහඹු කාසි විසි කිරීම භෞතික වශයෙන් අහඹු නොවන බව නොවේ.
අපි නිර්මාණය කළ සංකේතමය වර්ගීකරණය තුළ සීමා ඇතිවන බවයි.
5. 1–3 Network: සරල සංකේත තුනකින් ගොඩනැඟෙන ජාලය
ලැකාන්ගේ ආදර්ශයේ පළමු වැදගත් පියවරක් වන්නේ + සහ − යන ලකුණු දෙකෙන් සමන්විත අනුපිළිවෙළක, අඛණ්ඩ ලකුණු තුන බැගින් සලකා ඒවා රටා තුනකට වර්ගීකරණය කිරීමයි.
මෙහිදී ලකුණු තුනකින් සෑදිය හැකි සියලු සංයෝජන ගණන 2³ = 8 කි. ලැකාන් මෙම සංයෝජන අට, 1, 2 සහ 3 යන සංකේත තුන යටතේ වර්ගීකරණය කරයි.
1 — Symmetry (සමමිතික රටාව)
ලකුණු තුනම එකම ආකාරයෙන් පැමිණීම.
(+, +, +) හෝ (−, −, −)
2 — Dissymmetry (අසමමිතික රටාව)
ලකුණු තුනෙන් අඛණ්ඩව පිහිටන ලකුණු දෙකක් සමාන වන අතර අනෙක් ලකුණ වෙනස් වන රටා.
(+, +, −), (+, −, −), (−, +, +), (−, −, +)
3 — Alternation (මාරුවෙන් මාරුවට පැමිණෙන රටාව)
ලකුණු තුන අනුපිළිවෙළින් මාරුවෙන් මාරුවට පැමිණීම.
(+, −, +) හෝ (−, +, −)
මේ අනුව මුල් + සහ − ලකුණු මාලාව, 1, 2 සහ 3 යන නව සංකේත මාලාවකට පරිවර්තනය කළ හැකිය.
මෙය සාමාන්‍ය නාමකරණයක් පමණක් නොවේ.
එක් එක් පියවරේදී අඛණ්ඩ ලකුණු තුනක් ගෙන, ඊළඟ පියවරට යන විට පළමු ලකුණ ඉවත් කර අලුත් ලකුණක් අවසානයට එකතු කරනු ලැබේ. ඒ නිසා අනුක්‍රමික ත්‍රිත්ව දෙකකට පොදු ලකුණු දෙකක් තිබේ.
මෙම අතිච්ඡාදනය හේතුවෙන් එක් සංකේතයකින් ඊළඟ සංකේතයට ගමන් කළ හැකි ආකාර සීමා වේ.
උදාහරණයක් ලෙස, මුලින් පහත ත්‍රිත්වය සලකමු.
(+, +, +) → සංකේතය 1
ඊළඟට − ලකුණක් පැමිණියහොත්, මුල් + ලකුණ ඉවත් කර නව ත්‍රිත්වය සෑදේ.
(+, +, +) → (+, +, −)
මෙහි නව ත්‍රිත්වය අයත් වන්නේ 2 — Dissymmetry කාණ්ඩයටය.
එබැවින් සංකේතමය පරිවර්තනය:
1 → 2
එහෙත් ඊළඟටත් + ලකුණක් පැමිණියහොත්,
(+, +, +) → (+, +, +)
ලැබෙන නිසා සංකේතමය පරිවර්තනය:
1 → 1
වේ.
මෙයින් පැහැදිලි වන්නේ 1 සිට ඊළඟ පියවරේදී සෘජුව 3 වෙත ගමන් කළ නොහැකි බවයි. 1 සිට ඊළඟට පැමිණිය හැක්කේ 1 හෝ 2 පමණි.
එසේම 3 — Alternation කාණ්ඩයේ ත්‍රිත්වයකින් ඊළඟ පියවරේදී සෘජුව 1 — Symmetry වෙත ගමන් කළ නොහැකිය.
උදාහරණයක් ලෙස,
(+, −, +) → (−, +, −)
යන පරිවර්තනයේදී:
3 → 3
වන අතර,
(+, −, +) → (−, +, +)
යන පරිවර්තනයේදී:
3 → 2
වේ.
ඒ අනුව එක් පියවරකදී සිදුවිය හැකි සංකේතමය පරිවර්තන මෙසේ දැක්විය හැකිය.
1 → 1 හෝ 2
2 → 1, 2 හෝ 3
3 → 2 හෝ 3
මෙහිදී 2 සිට 1, 2 හෝ 3 වෙත ගමන් කළ හැකි බව සඳහන් කරන්නේ, 2 කාණ්ඩයට අයත් විවිධ ත්‍රිත්ව සලකා බැලීමෙනි. එක් නිශ්චිත ත්‍රිත්වයකින් ඊළඟට ඇති හැකියාවන් එයට වඩා සීමිත විය හැකිය.
මේ ආකාරයෙන් සරල සංකේත තුනක් අතර සම්බන්ධතා ජාලයක් ගොඩනැඟේ. ලැකාන් එය 1–3 Network ලෙස නිරූපණය කරයි.
මෙහි වැදගත් කරුණ වන්නේ මුල් + සහ − ලකුණු මාලාව අහඹු ක්‍රියාවලියකින් ජනනය කළ හැකි වුවත්, ඒවා ත්‍රිත්ව වශයෙන් වර්ගීකරණය කිරීමෙන් නිර්මාණය වන නව සංකේතමය දාමය තුළ නිශ්චිත ව්‍යුහාත්මක සීමා ඇතිවීමයි.
එම සීමා කාසි විසි කිරීමේ භෞතික ක්‍රියාවලියට අලුත් නීති පනවන්නේ නැත. ඒවා මතුවන්නේ අප විසින් තෝරාගත් සංකේතමය වර්ගීකරණයේ සහ අනුපිළිවෙළේ නීති තුළිනි.
ලැකාන්ගේ පුළුල් තර්කය සමඟ මෙය සම්බන්ධ වන්නේ, සංකේතයක් හුදෙකලාව නොව අනෙක් සංකේත සමඟ ඇති සම්බන්ධතා සහ අනුපිළිවෙළ තුළ ක්‍රියාත්මක වන ආකාරය පෙන්වීමෙනි.
රූපය: ලැකාන්ගේ 1–3 Network — සංකේතමය අනුපිළිවෙළේ ව්‍යුහාත්මක සීමා
අඛණ්ඩ ද්විමය ලකුණු තුනක් 1 — Symmetry, 2 — Dissymmetry සහ 3 — Alternation ලෙස වර්ගීකරණය කිරීමෙන් ගොඩනැඟෙන සංකේතමය ජාලය මෙයින් දැක්වේ. ඊතල මගින් එක් ත්‍රිත්වයකින් ඊළඟ අතිච්ඡාදිත ත්‍රිත්වයට යාමේදී හැකි සංකේතමය පරිවර්තන නිරූපණය කෙරේ. 1 සහ 3 අතර සෘජු පරිවර්තනයක් නොමැති අතර, ඒවා අතර ගමන් කිරීමේදී 2 කාණ්ඩය හරහා යා යුතුය. මෙයින් සංකේතමය වර්ගීකරණය විසින් නිර්මාණය කරන අනුපිළිවෙළේ සීමා පැහැදිලි වේ.
මූලාශ්‍රය: Jacques Lacan, Écrits, “Introduction to the Seminar on ‘The Purloined Letter’,” 1–3 Network. English translation by Bruce Fink, W. W. Norton & Company, 2006.
6. Δ Distribution: සංකේත දාමයක නීති
ලැකාන් ඊළඟට මෙම සංකේතමය අනුපිළිවෙළ තවත් සංකීර්ණ ආකාරයකින් වර්ගීකරණය කරයි.
මෙහිදී ඔහු ග්‍රීක අකුරු භාවිත කරමින් සංකේත කණ්ඩායම් හඳුන්වයි.
α, β, γ, δ
එම වර්ගීකරණයන්ගේ අනුපිළිවෙළ සහ හැකි සංයෝජන පරීක්ෂා කිරීමෙන්, සංකේතමය දාමයේ ඇතැම් මාර්ගවලට අවසර ලැබෙන අතර අනෙක් මාර්ග සීමා වන ආකාරය පෙන්වයි.
α, β, γ, δ — සංකේතමය සම්බන්ධතා හතරක්
ලැකාන්ගේ 1–3 Network එකෙන් අපට 1, 2 සහ 3 යන සංකේත තුනක් ලැබුණි. මෙහි 1 සහ 3 සංකේත සමමිතික රටා (Symmetry) නිරූපණය කරන අතර, 2 සංකේතය අසමමිතික රටාවක් (Dissymmetry) නිරූපණය කරයි.
ලැකාන් ඊළඟට මෙම සංකේත අතර සම්බන්ධතා නැවත වර්ගීකරණය කරමින් ග්‍රීක අකුරු හතරක් හඳුන්වා දෙයි.
α — Symmetry සමඟ Symmetry
1—1, 3—3, 1—3, 3—1
β — Symmetry සමඟ Dissymmetry
1—2, 3—2
γ — Dissymmetry සමඟ Dissymmetry
2—2
δ — Dissymmetry සමඟ Symmetry
2—1, 2—3
මෙහි වැදගත් වන්නේ α, β, γ සහ δ යනු ස්වාධීන සිදුවීම් හතරක් නොව, කලින් නිර්මාණය කළ සංකේතමය පද්ධතිය තුළ ඇති සම්බන්ධතා සඳහා යොදන නව නම් බවයි.
උදාහරණයක් ලෙස, 1—2 යන සංයෝජනය β ලෙසත්, 2—1 යන සංයෝජනය δ ලෙසත් වර්ගීකරණය වේ.
එනම් එකම සංකේත දෙක වුවත් ඒවා පැමිණෙන අනුපිළිවෙළ වෙනස් වූ විට නව වර්ගීකරණය ද වෙනස් වේ.
1—2 = β
2—1 = δ
මෙය ලැකාන්ගේ තර්කයේ වැදගත් ලක්ෂණයකි. සංකේතමය පද්ධතියක සම්බන්ධතාවක් තීරණය වන්නේ එහි අඩංගු සංකේත මොනවාද යන්නෙන් පමණක් නොව, ඒවා පිහිටන අනුපිළිවෙළ අනුව ද වේ.
ඉන්පසු ලැකාන් මෙම නව සංකේත හතර කාල පියවර කිහිපයක් හරහා විමසා බලයි.
එහිදී ඔහු පෙන්වන්නේ, යම් සංකේතයක් පළමු කාල පියවරේදී හඳුනාගත් විට, තුන්වැනි කාල පියවරේදී පැමිණිය හැකි සංකේත සීමා වන බවයි.
විශේෂයෙන්:
Time 1 හි α හෝ δ තිබේ නම්, Time 3 හි පැමිණිය හැක්කේ α හෝ β පමණි.
Time 1 හි γ හෝ β තිබේ නම්, Time 3 හි පැමිණිය හැක්කේ γ හෝ δ පමණි.
මෙය ලැකාන්ගේ A Δ Distribution රූපසටහනෙන් දැක්වේ.
මෙහිදී මතුවන වැදගත් අදහස වන්නේ, සංකේතමය දාමයක අනාගත සම්බන්ධතා එහි පෙර පැවති සංකේතමය ව්‍යුහය මගින් සීමා විය හැකි බවයි.
එහෙත් එයින් මුල් කාසි විසි කිරීමේ අහඹු ස්වභාවය අහෝසි වන්නේ නැත. මෙම සීමාවන් මතුවන්නේ අප එම අහඹු ප්‍රතිඵල සංකේතමය පද්ධතියකට පරිවර්තනය කළ විටය.
මූලාශ්‍රය: Jacques Lacan, Écrits, “Introduction to the Seminar on ‘The Purloined Letter’,” p. 36 (English translation by Bruce Fink, W. W. Norton, 2006).
මෙහි Δ යන සංකේතය භාවිත වන සන්දර්භයත්, එම සම්බන්ධතා වගුත් වැදගත්ය.
එහෙත් මෙය සරලව,
Δ = වෙනස
යනුවෙන් පමණක් කියවා අවසන් කළ නොහැකිය.
රූපය: ලැකාන්ගේ A Δ Distribution — කාලය අනුව සංකේතමය හැකියාවන් සීමා වීම
ලැකාන්ගේ මෙම රූපසටහනෙහි α, β, γ සහ δ යන සංකේත කාල පියවර තුනකදී (Time 1, Time 2, Time 3) බෙදාහැරෙන ආකාරය දැක්වේ. පළමු පියවරේදී ඉහළ හා පහළ කාණ්ඩ දෙකකින් දැක්වෙන සංකේත, දෙවැනි පියවරේදී කාණ්ඩ හතරම ආවරණය වන අතර, තුන්වැනි පියවරේදී නැවත නිශ්චිත කාණ්ඩ දෙකකට සීමා වේ. මෙයින් නිරූපණය වන්නේ සංකේතමය දාමයක යම් අවස්ථාවක ඇති හැකියාවන්, එහි පෙර සහ පසු ස්ථාන අතර සම්බන්ධතා අනුව සීමා වන ආකාරයයි. මෙය අහඹු සිදුවීම්වලට භෞතික හේතුකාරක නීතියක් පැනවීමක් නොව, සංකේතමය වර්ගීකරණයෙන් මතුවන ව්‍යුහාත්මක සීමාවක් පිළිබඳ ආදර්ශයකි.
මූලාශ්‍රය: Jacques Lacan, Écrits, “Introduction to the Seminar on ‘The Purloined Letter’,” A Δ Distribution රූපසටහන. English translation by Bruce Fink, W. W. Norton & Company, 2006.
ලැකාන්ගේ නිශ්චිත වගු සහ සංකේත නීති අනුවම එම වර්ගීකරණයන් කියවිය යුතුය. Δ යන්න මෙහි සාමාන්‍ය calculus හි වෙනස්වීමේ ප්‍රමාණයක් ලෙස ගත යුතු නැත.
අපට මෙහිදී තේරුම් ගත හැකි මූලික අදහස වන්නේ:
සංකේතමය දාමයක සම්බන්ධතා, එහි එක් එක් සංකේතයට පිටතින් ලබාදෙන අර්ථයකින් පමණක් තීරණය නොවන බවයි.
එහි අනුපිළිවෙළ සහ වර්ගීකරණ නීති විසින්ම සීමාවන් නිර්මාණය කරනු ලබයි.
7. Ω සහ O වගු: අහඹුවෙන් ව්‍යුහයට
ලැකාන්ගේ මෙම ගණිතමය ආදර්ශයේ Ω සහ O ලෙස හඳුන්වන වගු සහ ඒවායේ සංකේතමය සම්බන්ධතා තවත් පියවරක් නිරූපණය කරයි.
මෙහිදී අපට සැලකිල්ලට ගත යුතු කරුණු දෙකක් තිබේ.
පළමුවැන්න, වගුවක සංකේතයක් යනු අනිවාර්යයෙන්ම ස්වාධීන වස්තුවක් නොවන බවයි.
දෙවැන්න, සංකේතයක් වෙනත් සංකේතයකට පසුව පැමිණීමේ හැකියාව, පෙර සංකේතමය ඉතිහාසය මගින් සීමා විය හැකි බවයි.
උදාහරණයක් ලෙස, යම් සංකේතමය පද්ධතියක,
A → B
සහ
B → C
අවසර ලැබෙන පරිවර්තන වුවත්,
A → C
සෘජුව අවසර ලැබිය යුතුම නැත.
මෙය පැහැදිලි කිරීම සඳහා දක්වන සාමාන්‍ය උදාහරණයකි; ලැකාන්ගේ මුල් වගුවේ සංකේත සම්බන්ධතා මෙයින් ප්‍රතිනිෂ්පාදනය කරන්නේ නැත.
මේ ආකාරයේ සම්බන්ධතා පද්ධති අද පරිගණක විද්‍යාවේ finite-state machines, symbolic dynamics සහ formal languages වැනි ක්ෂේත්‍රවලත් අධ්‍යයනය කරනු ලබයි.
එහෙත් ලැකාන්ගේ අරමුණ එවැනි පරිගණක ආදර්ශයක් නිර්මාණය කිරීම පමණක් නොවීය.
ඔහු විමසා බැලුවේ සංකේතමය අනුපිළිවෙළ විසින් මිනිස් විෂයයෙහි ස්ථානය සහ අර්ථ නිර්මාණය හැඩගස්වන්නේ කෙසේද යන්නයි.
8. සංකේතමය දාමයෙන් Subject වෙත — ලැකාන් මේ ගණිතමය විමර්ශනය කළේ ඇයි?
මෙතෙක් අප සාකච්ඡා කළ 1–3 Network, α, β, γ, δ වර්ගීකරණය සහ A Δ Distribution රූපසටහන් දෙස බැලූ විට, ලැකාන් මෙතරම් ගණිතමය සංකේත භාවිත කරන්නේ ඇයිදැයි පාඨකයාට ප්‍රශ්නයක් මතුවිය හැකිය.
මනෝවිශ්ලේෂණයේ මිනිස් subject ගැන කතා කිරීමට කාසි විසි කිරීමේ ප්‍රතිඵල, සංකේතමය අනුපිළිවෙළවල් සහ සම්භාවිතා සීමා අවශ්‍ය වන්නේ ඇයි?
මේ ප්‍රශ්නයට පිළිතුරක් සොයාගැනීමට Écrits හි 37 වැනි පිටුව වැදගත්ය.
8.1. අහඹු සිදුවීමකින් සංකේතමය නීතියක් මතුවීම
අපි මුලින්ම + සහ − යන ලකුණු දෙකෙන් ආරම්භ කළෙමු.
ඒවා 1, 2, 3 ලෙස වර්ගීකරණය කළෙමු.
ඉන්පසු α, β, γ, δ යන සංකේත හතරක් නිර්මාණය කළෙමු.
මෙම සංකේත හතර කාල පියවර කිහිපයක් හරහා සලකා බැලූ විට, Time 2 හි සංකේත හතරම හැකි වුවත්, Time 1 හි පැවති සංකේතය අනුව Time 3 හි පැමිණිය හැකි සංකේත සීමා වන බව පෙනුණි.
මෙහිදී අපට අමුතු දෙයක් හමුවේ.
Time 1 හි පැවති සංකේතමය තත්ත්වය, Time 3 හි ඇති හැකියාවන් සීමා කරයි.
එනම් සංකේතමය දාමය තුළ පෙර සිදුවීමක සලකුණක් පසුවත් ක්‍රියාත්මක වන බවයි.
ලැකාන් මෙහිදී විමසා බලන්නේ හුදෙක් සම්භාවිතා ගණිතය නොවේ.
ඔහුට වැදගත් වන්නේ සංකේතමය අනුපිළිවෙළක් තුළ මතකය සහ නීතිය අතර සම්බන්ධතාව මතුවන ආකාරයයි. මෙහි මතකය යනු මිනිසෙකු තම අතීතය සවිඥානිකව සිහිපත් කිරීම නොවේ. එය සංකේතමය දාමයේ පෙර පිහිටීමක් පසුව පැමිණිය හැකි පිහිටීම් සීමා කිරීමකි.
8.2. Subject යනු මුල සිටම සම්පූර්ණ වූ 'මම' කෙනෙක්ද?
සාමාන්‍යයෙන් අප සිතන්නේ මුලින්ම සම්පූර්ණ මිනිස් 'මම' කෙනෙකු සිටින බවත්, ඉන්පසු ඔහු භාෂාව භාවිත කරන බවත්ය.
ලැකාන්ගේ විමර්ශනය එම සරල අනුපිළිවෙළ ප්‍රශ්න කරයි.
මිනිසා උපදින්නේ ඔහුට පෙර සිටම ක්‍රියාත්මක වන භාෂාවක්, නාමකරණයක්, ඥාති සම්බන්ධතා පද්ධතියක් සහ සමාජ නීති පද්ධතියක් තුළටය. ඔහු තමන් ගැන කතා කිරීමට පෙරත්, අනෙක් අය ඔහු ගැන කතා කරති. ඔහුට නමක් ලැබේ. ඔහු සම්බන්ධයෙන් අපේක්ෂා ගොඩනැඟේ. ඔහුට පවුලක් සහ සමාජ ස්ථානයක් හිමි වේ. මෙයින් මිනිස් ජීවිතය සම්පූර්ණයෙන්ම භාෂාවෙන් තීරණය වන බව අදහස් නොවේ. නමුත් subject ස්ථානය තේරුම් ගැනීමට, ඔහුට පෙර සිට පවතින සංකේතමය සම්බන්ධතා නොසලකා හැරිය නොහැකි බව ලැකාන් පෙන්වා දෙයි.
ඒ නිසා subject යනු සංකේතමය පද්ධතියට පිටතින් සිට එය සම්පූර්ණයෙන් පාලනය කරන ස්වාධීන 'මම' කෙනෙකු ලෙස පමණක් තේරුම් ගැනීම ප්‍රමාණවත් නොවේ.
8.3. හුවමාරුව සහ ප්‍රාථමික subjectivity
ලැකාන් මෙම ගණිතමය සම්බන්ධතාව හුවමාරුවේ (exchange) අවම විධිමත් ආකෘතියක් ලෙස හඳුන්වයි. ඔහු එයට මානව විද්‍යාත්මක වැදගත්කමක් ද ලබා දෙයි. මිනිස් සමාජය තුළ හුවමාරුව යනු භාණ්ඩ හුවමාරුව පමණක් නොවේ. නාම, වචන, සබඳතා, පොරොන්දු සහ තහනම් කිරීම් ද සංකේතමය අනුපිළිවෙළක් තුළ ක්‍රියාත්මක වෙයි.
එහිදී යම් සම්බන්ධතාවක් තනි මොහොතකින් සම්පූර්ණයෙන් තීරණය නොවිය හැකිය. එය පෙර සිදුවීම් හා පසු සිදුවීම් අතර පිහිටන ස්ථානය අනුව වෙනස් විය හැකිය. ලැකාන් මෙය primordial subjectivity — ප්‍රාථමික විෂයීයත්වය — පිළිබඳ අවම ව්‍යුහයක් ලෙස සලකා බලයි.
මෙයින් ඔහු කාසි විසි කිරීමේ පද්ධතියට මිනිස් සවිඥානිකත්වයක් ඇති බව කියන්නේ නැත. ඔහුගේ උත්සාහය වන්නේ, විෂයීයත්වය පිළිබඳ ප්‍රශ්නය සරල අභ්‍යන්තර මානසික අත්දැකීමකට සීමා නොකර, සංකේතමය සම්බන්ධතා තුළින් විමසා බැලීමට අවශ්‍ය ව්‍යුහාත්මක පදනමක් හඳුනාගැනීමයි.
8.4. අතීතය අනාගතය තීරණය කරනවා පමණක් නොව, අනාගතය අතීතයටත් බලපායි
ලැකාන් කියන්නේ සංකේතමය සම්බන්ධතාව හුදෙක් පෙර සිට පසු වෙත ගමන් කරන එකක් නොවන බවයි.
එයට පසුකාලීනව ආපසු බලපාන — retroactive — ස්වභාවයක් ද තිබේ.
මෙය තේරුම් ගැනීමට Tables Ω සහ O දෙස බැලිය හැකිය.
එහිදී Time 1 සහ Time 4 හි සංකේත දෙක නිශ්චිතව තෝරාගත් විට, Time 2 සහ Time 3 හි තිබිය හැකි සංකේත අතර සීමා මතුවන බව ලැකාන් පෙන්වයි.
එනම් අවසාන ස්ථානය සලකා බැලූ විට, අතරමැදි අනුපිළිවෙළ පිළිබඳ අපට කලින් නොතිබූ තීරණයක් ගත හැකි බවයි. මෙය කාලය ආපස්සට ගමන් කරන බවක් හෝ අනාගත සිදුවීමක් භෞතික වශයෙන් අතීතය වෙනස් කරන බවක් නොවේ. එය සංකේතමය අනුපිළිවෙළක පසුව ලැබෙන තොරතුරක් මගින් කලින් පැවති හැකියාවන් නැවත සීමා කර හඳුනාගැනීමකි.
මනෝවිශ්ලේෂණයේදී මෙයට වඩා පුළුල් අර්ථයක් ලැබේ.
මිනිසෙකුගේ ජීවිතයේ යම් සිදුවීමක් සිදුවන මොහොතේ ඔහුට එහි සම්පූර්ණ අර්ථය නොපෙනිය හැකිය. වසර කිහිපයකට පසු සිදුවන තවත් අත්දැකීමක්, එම පැරණි සිදුවීමට ඔහු ලබාදෙන අර්ථය වෙනස් කළ හැකිය. මෙය ෆ්‍රොයිඩ්ගේ Nachträglichkeit — පසුකාලීනව අර්ථය හෝ බලපෑම පිහිටුවීම — යන සංකල්පය සමඟ සංවාදයකට ගෙන ආ හැකිය. එහෙත් ගණිතමය වගුවේ සීමා සහ මිනිස් අත්දැකීමක පසුකාලීන අර්ථ නිර්මාණය එකම ක්‍රියාවලියක් ලෙස සැලකිය නොහැකිය.
8.5. එසේ නම් ලැකාන් සොයන්නේ කුමක්ද?
මෙම ගණිතමය විමර්ශනයේ අරමුණ මිනිස් මනස කාසි විසි කිරීමේ යන්ත්‍රයකට සමාන කිරීම නොවේ.
ලැකාන්ට අවශ්‍ය වන්නේ subject සංකේතමය අනුපිළිවෙළට සම්බන්ධ වන ආකාරය පිළිබඳ මූලික ප්‍රශ්නයක් විමසා බැලීමයි. සංකේතමය දාමය තුළ පෙර පිහිටීමක් පසුව ඇති හැකියාවන් සීමා කරයි. පසුව ලැබෙන සංකේතයක් මගින් කලින් පැවති සම්බන්ධතාවක් අලුතින් හඳුනාගත හැකිය. ඒ අනුව subject පිළිබඳ ප්‍රශ්නය, එක් මොහොතක සම්පූර්ණයෙන්ම තමන්ව දන්නා 'මම' කෙනෙකු පිළිබඳ ප්‍රශ්නයක් ලෙස පමණක් නොව, කාලය සහ සංකේතමය සම්බන්ධතා තුළ පිහිටන ස්ථානයක් පිළිබඳ ප්‍රශ්නයක් ලෙස ද මතුවේ.
ලැකාන්ගේ මෙම ගණිතමය ආදර්ශය subject එක ගැන සම්පූර්ණ න්‍යායක් නොවේ. නමුත් ඔහු පසුව විමසා බලන subject ගේ බෙදීම, සංකේතකයේ ප්‍රමුඛත්වය සහ අවිඥානයේ ව්‍යුහය පිළිබඳ සාකච්ඡාවට එය වැදගත් පූර්ව පියවරකි.
8.6. මෙය රාමනුජන් සහ AI පිළිබඳ අපගේ ප්‍රශ්නයට සම්බන්ධ වන්නේ කෙසේද?
දැන් අපට මුල් ප්‍රශ්නයට නැවත පැමිණිය හැකිය.
රාමනුජන්ට ඇතැම් ගණිතමය සම්බන්ධතා හදිසියේ පෙනී ගියේ කෙසේද?
AI පද්ධතියකට එහි නිර්මාණකරුවන් කලින් නිශ්චිතව සැලසුම් නොකළ සංකීර්ණ සම්බන්ධතා හඳුනාගත හැක්කේ කෙසේද?
ලැකාන්ගේ ආදර්ශය මේ ප්‍රශ්නවලට සෘජු පිළිතුරක් ලබා නොදේ.
නමුත් එය අපට වැදගත් අවවාදයක් කරයි.
අප දකින අවසාන ප්‍රතිඵලය පමණක් සලකා බැලීමෙන්, එය නිර්මාණය වූ සංකේතමය හෝ ගණනය කිරීමේ ක්‍රියාවලිය සම්පූර්ණයෙන් තේරුම් ගත නොහැකිය.
එසේම මිනිස් විෂයයා සහ AI පද්ධතිය අතර ඇති මූලික වෙනස ද මෙහිදී අමතක නොකළ යුතුය.
මිනිස් subject භාෂාව, අනෙකා, ආශාව, ශරීරය සහ අවිඥානය සමඟ සම්බන්ධ වන ආකාරය, ගණිතමය token අනුපිළිවෙළක් පමණක් නොවේ.
ඒ නිසා මට මෙහි වැදගත් වන්නේ මිනිස් අවිඥානය සහ AI එකම දෙයක් බව ප්‍රකාශ කිරීම නොවේ.
සංකේතමය ව්‍යුහයන් විසින් මිනිසාගේ සිතීම හැඩගස්වන ආකාරයත්, ගණනය කිරීමේ ව්‍යුහයන් තුළින් AI පද්ධති නව සම්බන්ධතා නිර්මාණය කරන ආකාරයත්, ඒවායේ සමානකම් සහ වෙනස්කම් ආරක්ෂා කරමින් විමසා බැලීමයි.
මූලාශ්‍රය: Jacques Lacan, Écrits, “Introduction to the Seminar on ‘The Purloined Letter’,” pp. 36–37, විශේෂයෙන් A Δ Distribution, Tables Ω සහ O, සහ primordial subjectivity පිළිබඳ ඡේද. English translation by Bruce Fink, W. W. Norton & Company, 2006.
9. Parenthesis of Parentheses: සංකේතයක් තුළ තවත් සංකේතයක්
ගණිතයේ වරහන් අපට හුරුපුරුදුය.
උදාහරණයක් ලෙස,
2 × (3 + 4) = 14
නමුත්,
(2 × 3) + 4 = 10
වරහන් යොදන ආකාරය වෙනස් වූ විට ප්‍රකාශනයේ ප්‍රතිඵලය වෙනස් වෙයි.
සංකේතමය අනුපිළිවෙළකදීත් කණ්ඩායම් කිරීම සහ කණ්ඩායමක් තවත් කණ්ඩායමක් තුළ පිහිටීම වැදගත් විය හැකිය.
උදාහරණයක් ලෙස,
((A B) C)
සහ
(A (B C))
යන ව්‍යුහ දෙකෙහි සංකේත එකම වුවත් ඒවායේ සමූහගත කිරීම වෙනස්ය.
මෙහිදී අපට ලැකාන්ගේ අදහස් සමඟ සංවාදයක් ගොඩනැඟිය හැකිය.
මිනිසෙකු කතා කරන විට ඔහු භාවිත කරන වචනවල අර්ථය, ඒවා තනිවම ගත් විට පෙනෙන අර්ථයට සමාන නොවිය හැකිය. පෙර කී දෙයක් පසුව කී දෙයකින් අලුත් අර්ථයක් ලබන්නට පුළුවන.
එහෙත් මෙය සරල ගණිතමය වරහන් යෙදීමකට සමාන කිරීම ප්‍රමාණවත් නොවේ.
භාෂාවේ අර්ථය, කථකයාගේ ස්ථානය, ආශාව සහ අනෙකා සමඟ ඇති සම්බන්ධතාව ද මෙහිදී වැදගත්ය.
10. L Schema: මම, අනෙකා සහ සංකේතමය සම්බන්ධතාව
ලැකාන්ගේ L Schema එක මිනිස් විෂයය පිළිබඳ සාකච්ඡාවේ තවත් වැදගත් ආදර්ශයකි.
එහි ප්‍රධාන ස්ථාන හතරකි.
S — Subject (විෂයය)
a — Ego (මම ලෙස හඳුනාගන්නා ස්වරූපය)
a′ — Other as counterpart (අනෙක් සමාන-රූපය)
A — Big Other (මහා අනෙකා)
මෙහිදී S යනු සරලව සවිඥානික මම නොවේ. එසේම A යනු අනිවාර්යයෙන්ම දෙවියෙකු, පුද්ගලයෙකු හෝ යන්ත්‍රයක් නොවේ.
A මගින් සංකේතමය අනුපිළිවෙළ, භාෂාව සහ subject ට පෙර සිට පවතින සම්බන්ධතා පිළිබඳ ස්ථානයක් සලකුණු කරයි.
L Schema එකේ imaginary සම්බන්ධතාව a ↔ a′ අතර නිරූපණය වෙයි. Subject සහ Big Other අතර symbolic සම්බන්ධතාව එම imaginary සම්බන්ධතාවෙන් බාධාවන ආකාරය එම ආදර්ශය මගින් පෙන්වයි.
මෙහිදී රාමනුජන්ගේ නමගිරි දේවිය පිළිබඳ අත්දැකීම අපට නැවත සිහිපත් වෙයි.
ඔහුට ගණිතමය සත්‍යය තමන්ගෙන් පිටත මූලාශ්‍රයකින් ලැබෙනවා සේ අත්විඳුණේ නම්, එම අත්දැකීම ලැකාන්ගේ Big Other සංකල්පය සමඟ සංවාදයකට ගෙන ආ හැකිද?
එය සිත්ගන්නා ප්‍රශ්නයකි.
නමුත් එයින්,
නමගිරි දේවිය = Big Other
යන සරල සමීකරණය සාධනය වන්නේ නැත.
එවැනි සමානකමක් රාමනුජන්ගේ ආගමික අත්දැකීමත්, ලැකාන්ගේ මනෝවිශ්ලේෂණ සංකල්පයත් දෙකම අතිසරල කරයි.
11. කෘත්‍රිම බුද්ධියටත් ගණිතමය අවිඥානයක් තිබේද?
අපි දැන් නව ප්‍රශ්නයකට පැමිණෙමු.
විශාල භාෂා ආකෘතියක් (Large Language Model — LLM) ගණිතමය ප්‍රශ්නයකට පිළිතුරක් නිර්මාණය කරන විට, එය භාවිත කරන්නේ පුහුණුව තුළ ලබාගත් සංඛ්‍යාත්මක පරාමිතීන් සහ ගණනය කිරීමේ ක්‍රියාවලීන්ය.
ඉතා සරල ආකාරයෙන් එහි ඊළඟ token එකේ සම්භාවිතාව මෙසේ ලිවිය හැකිය.
P(tₙ₊₁ ∣ t₁, t₂, …, tₙ)
මෙහි අර්ථය වන්නේ පෙර token අනුපිළිවෙළ අනුව ඊළඟ token එක පිළිබඳ සම්භාවිතා ව්‍යාප්තියක් ගණනය කිරීමයි.
නමුත් නූතන AI පද්ධති ගණිත ගැටලු විසඳීමේදී token prediction පමණක් නොව, search, verification, external tools සහ වෙනත් ගණනය කිරීමේ ක්‍රමත් භාවිත කරයි.
ඒ නිසා AI ගණිතය පිළිබඳ සාකච්ඡාව සරලව “ඊළඟ වචනය අනුමාන කිරීම” ලෙස අවසන් කළ නොහැකිය.
මට මෙහිදී මතුවන ප්‍රශ්නය වන්නේ මෙයයි.
AI පද්ධතියක් එහි නිර්මාණකරුවන්ට පවා කලින් අපේක්ෂා කළ නොහැකි ගණිතමය රටාවක් සොයාගන්නා විට, එය අපට මිනිස් අවිඥානය පිළිබඳ යමක් කියා දෙනවාද?
නැත්නම් අප මිනිස් අවිඥානය පිළිබඳ භාවිත කරන භාෂාව, පරිගණක පද්ධතියකට අනිසි ලෙස ආදේශ කරනවාද?
මේ දෙකම විමසා බැලිය යුතුය.
AI පද්ධතියක අපට සම්පූර්ණයෙන් පැහැදිලි නොවන අභ්‍යන්තර ගණනය කිරීම් තිබීම, එයට ෆ්‍රොයිඩියානු හෝ ලැකානියානු අවිඥානයක් තිබෙන බවට සාක්ෂියක් නොවේ.
එසේම මිනිසාගේ ගණිතමය ආභාසය පිළිබඳ සෑම දෙයක්ම සවිඥානික තර්කයට සීමා කළ හැකි බවත් අපට පහසුවෙන් ප්‍රකාශ කළ නොහැකිය.
12. සොයාගැනීම සහ සාධනය එකම දෙයක් නොවේ
රාමනුජන්ගේ කතාවත්, නූතන AI ගණිත පර්යේෂණත් හමුවන තවත් වැදගත් ස්ථානයක් තිබේ.
එය discovery සහ justification අතර වෙනසයි.
ගණිතමය සම්බන්ධතාවක් මුලින්ම හඳුනාගැනීම එක් ක්‍රියාවලියකි.
එම සම්බන්ධතාව නිවැරදි බව සාධනය කිරීම තවත් ක්‍රියාවලියකි.
උදාහරණයක් ලෙස, සංඛ්‍යා කිහිපයක් පරීක්ෂා කිරීමෙන් අපට පහත ප්‍රකාශනය හඳුනාගත හැකිය.
1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n(n + 1)/2
නමුත් එය n හි සියලු ධන පූර්ණ සංඛ්‍යා අගයන් සඳහා නිවැරදි බව තහවුරු කිරීමට සාධනයක් අවශ්‍යය.
ගණිතමය induction ක්‍රමය මගින් එය කළ හැකිය.
මුලින් n = 1 සඳහා,
1 = 1(1 + 1)/2
ඉන්පසු n = k සඳහා ප්‍රකාශනය නිවැරදි යැයි උපකල්පනය කරමු.
1 + 2 + ⋯ + k = k(k + 1)/2
එවිට n = k + 1 සඳහා,
1 + 2 + ⋯ + k + (k + 1)
= k(k + 1)/2 + (k + 1)
= (k + 1)(k + 2)/2
ඒ අනුව induction මගින් ප්‍රකාශනය සාධනය වේ.
මෙහිදී ප්‍රතිඵලය මුලින්ම සිතට පැමිණියේ කෙසේද යන්න, සාධනයේ නිවැරදිතාව තීරණය කරන්නේ නැත.
රාමනුජන්ට එය සිහිනෙන් පෙනුණත්, වෙනත් ගණිතඥයෙකුට පර්යේෂණයෙන් හමුවුණත්, AI පද්ධතියකට search ක්‍රියාවලියකින් ලැබුණත්, ගණිතමය ප්‍රකාශනය පිළිගැනීමට අවශ්‍ය සාධනය වෙනම ඉදිරිපත් කළ යුතුය.
Formal verification පවා එය පරීක්ෂා කරන නිශ්චිත formal statement එකට අදාළ වේ. එම statement එක මුල් ස්වාභාවික භාෂාවේ ප්‍රශ්නයට නිවැරදිව ගැළපෙනවාද යන්න වෙනම විමසා බැලිය යුතුය.
13. ගණිතමය අවිඥානය: මගේ යෝජනාව
මෙතැනදී මම mathematical unconscious යන ප්‍රකාශනය භාවිත කිරීමට කැමැත්තෙමි.
එහෙත් එය ලැකාන්ගේ අවිඥානයට නිල වශයෙන් සමාන නව සංකල්පයක් ලෙස නොවේ.
මම එය භාවිත කරන්නේ පර්යේෂණාත්මක ප්‍රශ්නයක් ලෙසයි.
මිනිසාට තවමත් සවිඥානිකව පැහැදිලි කළ නොහැකි සම්බන්ධතා, රටා සහ හැකියාවන්, ගණිතමය සිතීමේ ක්‍රියාවලිය තුළ ක්‍රියාත්මක විය හැකිද?
එසේ නම් ඒවා භාෂාව, සංකේත, පුහුණුව, මතකය සහ සංස්කෘතිය සමඟ සම්බන්ධ වන්නේ කෙසේද?
ලැකාන්ගේ සංකේත දාමය අපට එක් වැදගත් අනතුරු ඇඟවීමක් කරයි.
සංකේතයක් තනිවම ගත් විට එහි සියලු සම්බන්ධතා අපට පෙනෙන්නේ නැත. එය දාමයක් තුළ පිහිටන විට එහි සම්බන්ධතා සහ සීමා මතුවේ.
රාමනුජන්ගේ අත්දැකීම අපට තවත් ප්‍රශ්නයක් මතු කරයි.
ගණිතමය සොයාගැනීමේ ක්‍රියාවලිය තමන්ගේම සවිඥානික පාලනයෙන් පිටත සිදුවනවා සේ මිනිසෙකුට දැනෙන්නේ ඇයි?
AI පද්ධති තුන්වැනි ප්‍රශ්නයක් ඉදිරිපත් කරයි.
මිනිස් සවිඥානික අත්දැකීමක් ඇතැයි අපට තහවුරු කළ නොහැකි පද්ධතියකටත්, මිනිසාට ප්‍රයෝජනවත් නව ගණිතමය සම්බන්ධතා හඳුනාගැනීමට හැකි වන්නේ කෙසේද?
මෙම ප්‍රශ්න තුනට එකම පිළිතුරක් දීමට මම ඉක්මන් නොවෙමි.
එහෙත් ඒවා අතර සංවාදයක් ගොඩනැඟීමෙන්, ගණිතය පිළිබඳ අපගේ සාමාන්‍ය අවබෝධයට වඩා පුළුල් ප්‍රශ්න ඇසිය හැකි බව මම සිතමි.
14. අවසානය: නමගිරි සිට සංකේත දාමය දක්වා
රාමනුජන්ගේ නමගිරි දේවිය, ලැකාන්ගේ Big Other සහ AI පද්ධතියක ගණනය කිරීම් එකම දෙයක් නොවේ.
ඒවා විවිධ ඉතිහාස, දැනුම් පද්ධති සහ සංකල්පමය පසුබිම්වලට අයත් වේ.
නමුත් ඒ තුන අපට එක් පොදු ප්‍රශ්නයක් ඇසීමට අවස්ථාව සපයයි.
අප සිතන දේ සම්පූර්ණයෙන්ම අප විසින් සවිඥානිකව නිෂ්පාදනය කරනවාද?
රාමනුජන් තම ගණිතමය ආභාසයට නමගිරි යන නම ලබාදුන්නේය.
ලැකාන් සංකේතමය අනුපිළිවෙළ මිනිස් විෂයයාට පෙර සිටම ඔහුගේ ස්ථානය හැඩගස්වන ආකාරය විමසා බැලීය.
අද අපි ගණිතමය ගැටලු සොයා බලන AI පද්ධති නිර්මාණය කරමින් සිටිමු. සමහර විට ඒවා අප අපේක්ෂා නොකළ විසඳුම් හෝ සම්බන්ධතා යෝජනා කරයි.
එහෙත් නව සම්බන්ධතාවක් සොයාගැනීම, එහි සත්‍යතාව තහවුරු කිරීම සහ එහි අර්ථය වටහාගැනීම එකම දෙයක් නොවේ.
මට වැදගත් වන්නේ මේ වෙනස්කම් මකා දැමීම නොව, ඒවා ආරක්ෂා කරමින් ඒ අතර සංවාදයක් ගොඩනැඟීමයි.
මෙහිදී රාමනුජන් පිළිබඳ මගේ පෞද්ගලික නිරීක්ෂණයක් ද එකතු කිරීමට කැමැත්තෙමි.
මට රාමනුජන්ගේ අත්අකුරින් ලියූ ගණිත සටහන් පොත්වල ස්කෑන් පිටපත් දැකගැනීමට අවස්ථාව ලැබී තිබේ. ඒවායේ තිබෙන සමීකරණ හෝ ගණිතමය ප්‍රමේයවල සත්‍යතාව ගැන නොව, ඔහුගේ ලිවීමේ විලාසය ගැන මම මෙහිදී කතා කරමි.
ඒ සටහන්වල ඇති අකුරුවල ඒකාකාරීත්වය, ගණිතමය සංකේත පිළිවෙළකට සකස් කරන ආකාරය, ලිවීමේ නිරවද්‍යතාව සහ සමස්ත පිටුවක දක්නට ලැබෙන සංවිධානාත්මක ස්වභාවය මට විශේෂයෙන් කැපී පෙනුණි.
එවැනි ලිවීමේ පරිචයක් එක් දිනකින් හෝ හදිසි ආභාසයකින් පමණක් ඇතිවන්නක් නොවන බව මට හැඟේ. එහි දීර්ඝකාලීන අභ්‍යාසයක සලකුණු තිබිය හැකිය. ඇතැම් විට ඔහුගේ ගණිතමය ප්‍රතිභාව පිළිබඳ අප කතා කරන විට ප්‍රමාණවත් අවධානයක් නොදෙන කාරණයත් මෙය විය හැකිය.
කෙසේ වෙතත්, එම අත්අකුරු නිරීක්ෂණයෙන් ඔහු කුඩා කල සිට කොපමණ කාලයක් පුහුණු වූවාදැයි නිශ්චිතව තීරණය කළ නොහැකිය. මා ඉදිරිපත් කරන්නේ ඓතිහාසික සාධනයක් නොව, දෘශ්‍ය සාක්ෂියක් ඇසුරෙන් මතුවූ පෞද්ගලික අනුමානයකි.
මෙතැනදී මට නැවත ලැකාන්ගේ සංකේතමය දාමය සිහිපත් වේ.
ඔහු 1–3 Network එකෙන් ආරම්භ කර α, β, γ, δ යන සංකේතමය සම්බන්ධතා හරහා පෙන්වන්නේ, සංකේතවල අනුපිළිවෙළ විසින්ම යම් සීමා සහ නීති ගොඩනඟන ආකාරයයි. එහිදී පෙර පිහිටීමක් පසුව ඇති හැකියාවන් සීමා කරන අතර, පසුව ලැබෙන සංකේතයක් මගින් කලින් පැවති සම්බන්ධතාවක් නැවත හඳුනාගත හැකිය.
රාමනුජන්ගේ දීර්ඝ ගණිතමය පුහුණුවත් මෙවැනි සංකේතමය අනුපිළිවෙළක් තුළ සිතීමේ හැකියාවක් වර්ධනය කිරීමට දායක වූවා විය නොහැකිද?
සංඛ්‍යා, ශ්‍රේණි, භාග සහ අනන්ත ප්‍රකාශන සමඟ නැවත නැවත වැඩ කිරීමෙන්, ඒවා අතර ඇති සම්බන්ධතා හඳුනාගැනීමේ හැකියාව ඔහු තුළ අතිශයින් දියුණු වූවා විය හැකිය. පසුව කිසියම් සම්බන්ධතාවක් හදිසියේ මතුවන විට, එය ඔහුට සවිඥානිකව අනුගමනය කළ පියවර මාලාවක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස නොව, වෙනත් තැනකින් පැමිණි ආභාසයක් ලෙස අත්විඳෙන්නට ද ඉඩ තිබේ.
මෙය ලැකාන්ගේ සංකේතමය මතකය සහ අවිඥානය පිළිබඳ අදහස් සමඟ විමසා බැලිය හැකි උපකල්පනයකි. එහෙත් රාමනුජන්ගේ මනස තුළ ලැකාන් විස්තර කළ නිශ්චිත සංකේතමය යාන්ත්‍රණයක් ක්‍රියාත්මක වූ බවට සාධනයක් නොවේ.
එසේ වුවත්, මෙයින් මට වැදගත් වෙනත් හැකියාවක් පෙනේ.
සමහර විට අප 'හදිසි ප්‍රතිභාව' ලෙස හඳුන්වන්නේ, වසර ගණනාවක සංකේතමය පුහුණුවක් අවසානයේ සවිඥානයට එක්වරම පෙනී යන ප්‍රතිඵලයක් විය හැකිය.
එවැනි අවස්ථාවක නමගිරි දේවිය පිළිබඳ රාමනුජන්ගේ විස්තරය ඔහුගේ අත්දැකීමේ සංස්කෘතික හා ආගමික ප්‍රකාශනයක් ලෙසත්, එම ගණිතමය ආභාසයට පසුබිම් වූ දිගු අභ්‍යාසය වෙනම විමර්ශනය කළ යුතු කරුණක් ලෙසත් අපට සලකා බැලිය හැකිය.
ගණිතයේ සුන්දරත්වය තිබෙන්නේ එහි සංකේතවල පමණක් නොවේ.
අපට කලින් නොපෙනුණු සම්බන්ධතාවක් එක්වරම පෙනී යන මොහොතේත්, එය නිවැරදිදැයි දැඩි ලෙස ප්‍රශ්න කරන මොහොතේත්, එම සුන්දරත්වය තිබේ.
සමහරවිට ගණිතය පිළිබඳ වඩාත් වැදගත් ප්‍රශ්නය “පිළිතුර කුමක්ද?” යන්න පමණක් නොවෙයි.
“මේ පිළිතුර අපට සිතීමට හැකි වූයේ කෙසේද?” යන්නයි.
මූලාශ්‍ර සහ වැඩිදුර කියවීම්
Jacques Lacan — Écrits, “The Seminar on ‘The Purloined Letter’” සහ එයට සම්බන්ධ “Introduction” හා “Parenthesis of Parentheses” කොටස්. විශේෂයෙන් 1–3 network, සංකේතමය වර්ගීකරණ සහ සංකේත දාමයේ සීමා පිළිබඳ සාකච්ඡා.
Jacques Lacan — The Seminar, Book II: The Ego in Freud's Theory and in the Technique of Psychoanalysis — L Schema සහ imaginary/symbolic සම්බන්ධතා සඳහා.
G. H. Hardy — Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work.
Robert Kanigel — The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan.
G. H. Hardy — A Mathematician's Apology — ගණිතමය නිර්මාණශීලීත්වය පිළිබඳ පුළුල් පසුබිම සඳහා.
සටහන: මෙහි “mathematical unconscious” යන්න පර්යේෂණාත්මක උපමාත්මක ප්‍රකාශනයකි. ලැකාන්ගේ මනෝවිශ්ලේෂණ අවිඥානය සහ AI හි ගණනය කිරීමේ ක්‍රියාවලීන් එකිනෙකට සමාන බව මෙයින් ප්‍රකාශ නොවේ. ලැකාන්ගේ මුල් සංකේත වගු පිළිබඳ විස්තර, ඒවායේ මුල් ප්‍රකාශන සමඟ පරීක්ෂා කර කියවිය යුතුය.
Comments