ගලා යන ජලයෙන් සමීකරණයකට: Navier–Stokes [Boltzmann: අපි අමතක කළ Molecules නැවත හමුවීම]

Boltzmann: අපි අමතක කළ Molecules නැවත හමුවීම

අපි මේ කතාව ආරම්භයේදී fluid එකේ molecules තාවකාලිකව අමතක කර continuum එකක් ලෙස සැලකුවා. එවිට density, velocity, pressure වැනි quantities space එකේ සෑම point එකකටම assign කළ fields බවට පත් වුණා.

නමුත් මෙතැන සිත්ගන්නා ප්‍රශ්නයක් තියෙනවා.

මේ continuum quantities, molecules වල microscopic motion එකෙන්ම නැවත ලබාගන්න පුළුවන්ද? ඒ කියන්නේ අපි සරලව අතහැර ගිය දුෂ්කර මාර්ගයෙන් මේ ප්‍රතිඵලය ව්‍යුත්පන්න කළ හැකිද?

19 වන සියවසේ Ludwig Boltzmannගේ kinetic theory එක මේ දෙලොව අතර අතිශය වැදගත් පාලමක් හදනවා.

Individual molecule එකින් එක follow කරනවා වෙනුවට, Boltzmann විශාල molecular population එකක් statistical distribution එකකින් නිරූපණය කරනවා:

f(x,v,t)

මෙහි x position එකත්, v molecular velocity එකත්, t time එකත් නිරූපණය කරනවා. එනම් අපි දැන් “මේ molecule එක කොහේද?” කියන ප්‍රශ්නයෙන්, “මේ ප්‍රදේශයේ මේ velocity range එකෙන් ගමන් කරන molecules කොපමණ තිබේද?” කියන statistical ප්‍රශ්නයකට මාරු වෙනවා.

එම distribution එක කාලයත් සමඟ වෙනස් වන ආකාරය Boltzmann equation එකෙන් schematically මෙසේ නිරූපණය කළ හැක:

distribution එකේ වෙනස = molecular transport + external forces + molecular collisions

මෙහි වැදගත්ම දේ equation එකේ සම්පූර්ණ mathematical form එක නොවෙයි. Molecules ගමන් කරනවා, එකිනෙක ගැටෙනවා, momentum සහ energy හුවමාරු කරනවා; ඒ සියල්ලෙන් මුළු velocity distribution එක evolve වෙනවා.

දැන් අපූරු දෙයක් සිදුවෙනවා.

මේ microscopic distribution එකේ molecules සියල්ල statistically එකතු කර බලන විට අපි කලින් continuum mechanics තුළ භාවිත කළ quantities නැවත මතුවෙනවා:

molecular distribution → density, bulk velocity, pressure, temperature

ඒ කියන්නේ continuum එකට අපි මුලින් assign කළ ρ, u, p, T වැනි quantities microscopic molecular world එකට කිසිම සම්බන්ධයක් නැති abstract inventions නොවේ. සුදුසු statistical averaging එකක් යටතේ ඒවා molecular behaviour එකේ macroscopic expressions ලෙස මතුවෙනවා.

ඊටත් වඩා වැදගත් දෙයක් stress සහ viscosity ගැන සිදුවෙනවා.

Molecules random directions වලින් ගමන් කරමින් imaginary surface එකක් හරහා momentum රැගෙන යනවා. Local equilibrium එකේ මේ molecular agitation එක directions සියල්ලටම statistically සමාන නම්, එයින් isotropic pressure එකක් මතුවෙනවා.

නමුත් flow එකේ velocity සහ temperature වැනි quantities space එක හරහා වෙනස් වන විට distribution එක perfect local equilibrium එකෙන් ටිකක් ඉවතට යනවා. එවිට molecular momentum transport එකෙන් viscous stress මතුවෙනවා.

ඒ නිසා අපි කලින් continuum mechanics තුළ constitutive law එකක් ලෙස හඳුන්වාදුන් viscosity එකට දැන් microscopic interpretation එකක් ලැබෙනවා:

molecular collisions + molecular momentum transport → viscous stress

මෙතැන තවත් වැදගත් distinction එකක් තිබෙනවා. Boltzmann equation එකෙන් conservation laws ලබාගත් පමණින් Navier–Stokes එක කෙළින්ම ලැබෙන්නේ නැහැ. Microscopic description එකෙන් macroscopic equations වෙත යාමට closure එකක් අවශ්‍යයි.

මෙතැන Chapman–Enskog expansion කියන mathematical procedure එක වැදගත් වෙනවා.

එහි central idea එක ඉතා සරලව මෙසේ කියන්න පුළුවන්:

Molecular mean free path එක, flow එකේ macroscopic length scale එකට වඩා ඉතා කුඩා නම්, molecular distribution එක local equilibrium එකට ඉතා ආසන්නයි. එයින් ඇතිවන කුඩා deviation එක systematic approximation එකකින් ගණනය කළ හැක.

මේ scale separation එක Knudsen number එකෙන් මනිනවා:

Kn = λ/L

Kn ≪ 1 නම් continuum approximation එකට අපි සුදුසු regime එකකට පැමිණෙනවා.

මෙහි ලස්සනම result එක මෙයයි:

Boltzmann → perfect local equilibrium → Euler equations

නමුත්,

Boltzmann → first small departure from local equilibrium → Navier–Stokes–Fourier equations

ඒ first correction එකෙන්ම viscosity සහ heat conduction වැනි macroscopic transport effects මතුවෙනවා.

අපි කලින් ලබාගත් familiar viscous term එක,

μ∇²u

එම macroscopic limit එකේ නැවත හමුවෙනවා.

ඒ නිසා Navier–Stokes වෙත පැමිණීමට දැන් අපට මාර්ග දෙකක් පෙනෙනවා.

Continuum route:

Newton → Cauchy stress → constitutive law → viscosity → Navier–Stokes

Kinetic route:

Molecules → Boltzmann statistics → conservation laws → near-equilibrium approximation → viscosity → Navier–Stokes

මේ මාර්ග දෙක අවසානයේ එකම macroscopic physics එකකදී හමුවෙනවා.

අපි මුලින් molecules අමතක කර continuum එකක් නිර්මාණය කළා. Boltzmannගේ මාර්ගයෙන් නැවත molecules වෙත ගිය විට, statistical averaging සහ scale separation හරහා ඒ molecules ම density, pressure, stress සහ viscosity ලෙස continuum mathematics එක තුළ නැවත මතුවෙනවා.

ගඟේ සෑම water molecule එකක්ම ගණන් කරන්නේ නැතිව අපි මුලින් fluid එක smooth continuum එකක් ලෙස සලකනවා. Boltzmann අපට පෙන්වන ගැඹුරු සම්බන්ධය වන්නේ ඒ smooth world එක සම්පූර්ණයෙන් අහසින් වැටුණු mathematical fiction එකක් නොව, අතිවිශාල microscopic molecular world එක statistical scale එකකින් බැලූ විට මතුවන macroscopic description එකක් විය හැකි බවයි. 

දීර්ඝ ගණිතමය පැහැදිලි කිරීම් ඉවත් කර ඇත. ඇවැසි අයෙකුට එය ලබා දීමට හැකිය. නොඑසේනම් ChatGPT prompt එක ලබා දිය හැකිය.