ගලා යන ජලයෙන් සමීකරණයකට: Navier–Stokes, පැරණි ගණිතය, කෘත්‍රිම බුද්ධිය සහ Lacanගෙන් අප නොදන්නා දෙය දක්වා

October 04, 2026

ගලා යන ජලයෙන් සමීකරණයකට: Navier–Stokes, පැරණි ගණිතය, කෘත්‍රිම බුද්ධිය සහ Lacanගෙන් අප නොදන්නා දෙය දක්වා

අපි ගඟක් දෙස බලමු.

ජලය ගලා යයි. සමහර තැන්වල වේගවත් වෙයි. ගලක් හමු වූ විට දෙපසට බෙදෙයි. පිටුපස කුඩා සුළි ඇතිවෙයි. පළල් තැනකට පැමිණි විට වේගය අඩුවෙයි. ගැඹුර (depth), පීඩනය (pressure), ඝර්ෂණය (friction), දුස්‍රාවිතාවය (viscosity), ගුරුත්වය (gravity)—මේ සියල්ල එකවර ක්‍රියාත්මක වෙයි.

අපේ ඇසට පෙනෙන්නේ එකම දෙයකි: ගලා යන ජලය.

නමුත් ගණිතයට එය එසේම භාරගත නොහැක.

ගණිතය මුලින්ම අසන්නේ:

මේ ගලා යන දෙය මට නිරූපණය කළ හැක්කේ කෙසේද?

Navier–Stokes සමීකරණයේ සැබෑ විශ්මය සමහරවිට අවසාන සමීකරණය තුළ පමණක් නොවේයැයි මම සිතමි. Newtonගේ F = ma සිට Cauchyගේ stress tensor එක හරහා, gradient, divergence, Laplacian, continuum mechanics සහ අවසානයේ computational mesh එක දක්වා පැමිණෙන දිගු බුද්ධිමය ඉතිහාසයක් එය තුළ සංකෝචනය වී තිබේ. හරියට ශාක බීජයක් මහ ගසක් දක්වා ද ඉන් ඉක්බිති ප්‍රණීත ඵල සහ බීජ සහ නැවතත් ඒ ගමනටම එකතුවන පූර්ණ චක්‍රීය පැවැත්මක් එහි රහසිගත කේතයන් තුළ සඟවා ගෙන ඇති සේ.

මේ ලිපිය ඒ සමීකරණය “solve” කිරීම ගැන නොවේ.

එය මිනිසා ගලා යන ද්‍රව්‍යයක් ගණිතයට අල්ලා ගත්තේ කෙසේද යන්න ගැනයි.

1. Newtonගේ සරල අදහස

ආරම්භය ඉතා සරලය:

F = ma

බලයක් යෙදෙන විට ස්කන්ධයකට ත්වරණයක් ලැබේ.

අද අපට මෙය පාසල් ගණිතයක් සේ පෙනුණත්, මෙහි තිබෙන විප්ලවීය අදහස වන්නේ චලනය වෙනස් වීම සඳහා හේතුවක්—force එකක්—සෙවිය හැකි බවයි.

Solid body එකකට මෙය සිතාගැනීම පහසුය. ඝණ වස්තුවක් අරබයාම මේ සිද්ධාන්ත මුලින්ම සොයාගත් බව ද පැහැදිලිය.

කිලෝග්‍රෑම් 1 ක ගලක් තිබේ. එයට force එකක් යොදමු. එහි acceleration එක ගණනය කරමු.

නමුත් ජලය? එහෙම සරලව නිවුටන් නියමය යෙදිය හැකි ආකාරයේ දෙයක් ද?

ගඟක ඇති “object එක” කුමක්ද?

ජලය එකම rigid body එකක් නොවේ. එහි එක් කොටසක් තවත් කොටසකට සාපේක්ෂව ගමන් කරයි. එය stretch වෙයි, shear වෙයි, rotate වෙයි. එහි හැඩය නිරන්තරයෙන් වෙනස් වෙයි.

ඒ නිසා ප්‍රශ්නය වෙනස් වෙයි:

Newtonගේ නියමය, එකම rigid object එකකට නොව, සෑම තැනකම වෙනස් වෙමින් ගලා යන continuum එකකට යොදන්නේ කෙසේද?

Navier–Stokes වෙත යන පාර ඇරඹෙන්නේ මෙතැනින්ය.

Newton අපට කියන්නේ සරල දෙයක්—චලනය වෙනස් වුණා නම්, ඒ වෙනස ඇති කළ බලයන් ගණන් කරන්න පුළුවන් .

2. Molecules අමතක කිරීම: Continuum Hypothesis

ජලය සැබැවින්ම continuous substance එකක් නොවේ. එය molecules වලින් සෑදී ඇත.

නමුත් ගඟක් විශ්ලේෂණය කිරීමට සෑම molecule එකකම trajectory එක ගණනය කිරීම ප්‍රායෝගික නොවේ.

Continuum mechanics කරන්නේ විශාල conceptual abstraction එකකි.

අපි molecules තාවකාලිකව අමතක කරමු.

ඒ වෙනුවට space එකේ සෑම point එකකටම physical quantities assign කරමු. මෙහි x යන්නෙන් අදහස් කරන්නේ \(x\)-direction එක පමණක් නොව, three-dimensional spatial position vector එකයි:

x = (x, y, z)

එබැවින්,

ρ(x,t) = ρ(x,y,z,t) = density
u(x,t) = u(x,y,z,t) = velocity vector
p(x,t) = p(x,y,z,t) = pressure
T(x,t) = T(x,y,z,t) = temperature

මෙයින් කියන්නේ මේ quantities x, y, z යන spatial directions තුන හරහාත්, time (t) සමඟත් වෙනස් විය හැකි බවයි.

උදාහරණයක් ලෙස velocity field එක,

u(x,y,z,t) = [u(x,y,z,t), v(x,y,z,t), w(x,y,z,t)]

ලෙස ලියන්න පුළුවන්.

අපි ජලයට එක density එකක් හෝ එක velocity එකක් දෙනවා නොවේ. “මේ තැනේ, මේ මොහොතේ density එක කීයද? velocity එක කොයි පැත්තට කොච්චරද?” කියලා අවකාශයේ සෑම තැනකම අහනවා.

3. Scalar එකකින් Vector එකකට

Pressure එක ගනිමු:

p = p(x,y,z,t)

Pressure යනු scalar quantity එකකි. එයට magnitude එකක් ඇත; direction එකක් නැත.

නමුත් velocity:

u = (u,v,w)

vector එකකි.

එයට magnitude සහ direction දෙකම ඇත.

දැන් ගණිතයට අලුත් ප්‍රශ්නයක් එයි:

මේ quantities space එක හරහා වෙනස් වෙන්නේ කොහොමද?

මෙතැනින් ∇, එනම් nabla, අපේ කතාවට ඇතුළු වෙයි.

4. ∇ — Nabla කියන්නේ මොකක්ද?

Cartesian coordinates වලදී,

∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

නමුත් මෙය තනිවම physical quantity එකක් නොවේ.

එය differential operator එකකි.

එය කුමන field එකකට කුමන ආකාරයෙන් ක්‍රියා කරනවාද යන්න අනුව gradient, divergence, curl වැනි විවිධ mathematical objects ලැබේ.

ඒ නිසා “∇ කියන්නේ directional variation measurement එකක්” යන්න intuition එකක් ලෙස හොඳ වුවත්, තව ටිකක් precise කරමු:

∇ යනු අවකාශය තුළ field එකක් වෙනස් වන ආකාරය විමසීමට භාවිත කරන spatial differential operator එකකි.

∇ කියන්නේ “මෙතැනින් ටිකක් එහාට ගියොත් මේ quantity එක කොහොම වෙනස් වෙයිද?” කියලා අහන ගණිතමය උපකරණයක්.

5. Gradient — ∇p

Pressure field එකක් තිබේ:

p(x,y,z)

එයට ∇ යොදමු:

∇p = (∂p/∂x, ∂p/∂y, ∂p/∂z)

දැන් scalar pressure එකෙන් vector එකක් ලැබී ඇත.

එය pressure එක ඉතා වේගයෙන් වැඩිවන direction එක සහ එහි spatial rate of increase එක දක්වයි.

Fluid mechanics තුළ pressure force එක සාමාන්‍යයෙන් එන්නේ:

−∇p

ලෙසයි.

Minus sign එක කියන්නේ fluid acceleration එක pressure වැඩි පැත්තට නොව, සාමාන්‍යයෙන් pressure අඩු පැත්තට drive වන බවයි.

සරලව කිව්වොත් Gradient එක කියන්නේ “මේ කන්දේ ඉහළට යන තදම බෑවුම කොයි පැත්තේද?” කියලා pressure landscape එකෙන් අහන එකයි.

6. Divergence — ∇·u

Velocity field එක:

u = (u,v,w)

නම්,

∇·u = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z

මෙය scalar එකකි.

Fluid එකේ කුඩා imaginary volume එකක් සිතන්න.

ඒ volume එකෙන් පිටතට යන flow එක සහ ඇතුළට එන flow එක අතර net imbalance එක divergence එකෙන් මනින්න පුළුවන්.

Incompressible flow එකකට:

∇·u = 0

එහි අදහස fluid එක චලනය නොවේ යන්න නොවේ. Fluid එක ඉතා වේගයෙන් ගලා යන්න පුළුවන්. ∇·u = 0 යන්නෙන් කියවෙන්නේ එහි local net volumetric expansion එක zero බවයි. වෙනත් ආකාරයකින් කිවහොත්, fluid එක සමඟ ගමන් කරන කුඩා fluid parcel එකක පරිමාව වෙනස් නොවේ. එහි ස්කන්ධය නියත බැවින්, ρ = m/V අනුව එහි ඝනත්වයද කාලයත් සමඟ වෙනස් නොවේ. එනම් incompressible flow එකක material parcel එකකට Dρ/Dt = 0 ය.

Divergence කියන්නේ “මේ කුඩා පෙට්ටියෙන් ඇතුළට එන ප්‍රමාණයට වඩා වැඩි දෙයක් පිටතට පැනලා යනවාද?” කියලා බලන local accounting system එකක්. සරලව කිව්වොත්, වතුර කොච්චර වේගයෙන් ගලා ගියත් එය සමඟ ගමන් කරන කුඩා “වතුර පැකට්ටුවක්” පිම්බෙන්නේවත් හැකිළෙන්නේවත් නැහැ—එහි ස්කන්ධය සහ පරිමාව අතර අනුපාතය, එනම් ඝනත්වය, නොවෙනස්ව පවතිනවා.

7. Curl — ∇ × u

Velocity field එකට තවත් ප්‍රශ්නයක් අසමු:

Fluid එක locally rotate වෙනවාද?

එවිට,

ω = ∇ × u

ලැබේ.

මෙහි ω vorticity එකයි.

එය සරලව “විශාල whirlpool එකක් පෙනෙනවාද?” යන ප්‍රශ්නයට සමාන නොවේ. එය velocity field එකේ local rotational structure එක මනින quantity එකකි.

Curl එක කියන්නේ fluid එකේ අතිකුඩා paddle wheel එකක් දැම්මොත් ඒක locally කැරකෙයිද, කොයි අක්ෂය වටා කැරකෙයිද කියලා මනින ගණිතය.

8. Laplacian — ∇²

දැන් අපි තවත් පියවරක් ගනිමු.

Scalar field එකකට,

∇²φ = ∂²φ/∂x² + ∂²φ/∂y² + ∂²φ/∂z²

Velocity vector field එකකට Cartesian coordinates තුළ component-wise,

∇²u = (∇²u, ∇²v, ∇²w)

ලෙස සැලකිය හැක.

Laplacian එකේ physical intuition එක ඉතා වැදගත්ය.

එය point එකක value එක අවට values වලට සාපේක්ෂව ඇති curvature/non-uniformity ගැන තොරතුරු ලබා දෙයි. සරලව කිවහොත්, යම් point එකක field value එක එය වටා ඇති values වලට සාපේක්ෂව කෙසේ “නැමී” හෝ වෙනස් වී තිබේද යන්න මැනීමට Laplacian එක උපකාරී වේ.

මෙය Fluid Mechanics සඳහාම නිර්මාණය වූ ගණිතයක් නොවේ. එකම Laplacian operator එක physics හි විවිධ ක්ෂේත්‍රවල නැවත නැවත හමුවේ. උදාහරණයක් ලෙස heat conduction එකේ,

∂T/∂t = α∇²T

ලෙස temperature differences diffuse වන ආකාරය විස්තර කරයි. Classical gravity සහ electrostatics වල Poisson equation,

∇²Φ = 4πGρ

සහ

∇²V = −ρₑ/ε₀

වැනි ආකාරවලින් field එකක spatial curvature එක එහි source distribution එකට සම්බන්ධ කරයි.

Quantum mechanics හි Schrödinger equation එකේ kinetic-energy operator එක තුළත් එයම හමුවේ:

−(ℏ²/2m)∇²ψ

මෙහි Laplacian එක wavefunction ψ අවකාශය තුළ වෙනස් වන ආකාරයට සම්බන්ධ kinetic-energy contribution එක නිරූපණය කරයි.

Relativity වෙත ගිය විට අදහස තවත් generalize වේ. Special relativity තුළ space සහ time එකට සම්බන්ධ කරන d'Alembertian හෙවත් wave operator එක,

□ = −(1/c²)∂²/∂t² + ∇²

(metric-sign convention එක අනුව signs වෙනස් විය හැක) ලෙස ලියන්න පුළුවන්. Curved spacetime තුළ General Relativity සහ relativistic field theory වලදී මෙය geometry එකට අනුකූල covariant d'Alembertian / Laplace–Beltrami operator එකක් දක්වා generalize වේ:

□φ = g^{μν}∇μ∇νφ

එනිසා Navier–Stokes තුළ අපට හමුවන ∇² යනු fluid mechanics සඳහා පමණක් ඇති notation එකක් නොවේ. Heat diffusion, gravitational and electromagnetic potentials, quantum wavefunctions සහ relativistic fields දක්වා විහිදෙන එකම පුළුල් differential-geometric language එකේ සාමාජිකයෙකි.

Laplacian එකේ මූලික ප්‍රශ්නය ඉතා සරලයි — “මේ තැනේ field value එක, එය වටා ඇති values වලට සාපේක්ෂව කොච්චර වෙනස්ද?” Physics එක අනුව field එක temperature එකක්, fluid velocity එකක්, gravitational potential එකක් හෝ quantum wavefunction එකක් විය හැක. වෙනස් වන්නේ physical meaning එකයි; ඒ වෙනස්වීම අල්ලාගන්න භාවිත කරන mathematical grammar එකේ ගැඹුරු සමානකමක් පවතී.

Diffusion problems වලදී එය gradients smooth කිරීමට සම්බන්ධ වෙයි.

Navier–Stokes තුළ, constant-viscosity incompressible Newtonian fluid එකකට viscous term එක

μ∇²u

ලෙස ලැබේ. මෙහි μ යනු dynamic viscosity යි. භෞතිකව viscosity කියන්නේ fluid එකේ එකිනෙකට යාබද layers වෙනස් velocities වලින් ගමන් කිරීමට ඇති internal resistance එකයි. උදාහරණයක් ලෙස පැණි සහ ජලය සසඳන විට, පැණිවල μ වැඩි නිසා neighbouring layers එකිනෙකට සාපේක්ෂව slide වීම වඩාත් ප්‍රතිරෝධයට ලක්වේ.

Newtonian fluid එකක සරල shear flow එකකට මේ අදහස

τ = μ du/dy

ලෙස පෙනේ. එනම් velocity gradient එක වැඩි වන තරමට shear stress එක වැඩිවේ; එය කොපමණ වැඩිවේද යන්න තීරණය කරන material coefficient එක μ ය.

නමුත් Navier–Stokes momentum balance එකට අවශ්‍ය වන්නේ shear stress එකම නොව, කුඩා fluid parcel එකක විවිධ පැතිවල viscous stresses වලින් ලැබෙන net force per unit volume එකයි. Newtonian constitutive law එක stress tensor එකට යොදා එහි divergence එක ගත් විට, constant μ සහ incompressibility යන assumptions යටතේ,

∇·τ = μ∇²u

ලැබේ.

මෙතැන ∇²u velocity field එකේ spatial curvature/non-uniformity අල්ලාගනී; μ එම non-uniformity නිසා momentum neighbouring fluid regions අතර කොපමණ ප්‍රබලව redistribute වෙයිද යන්න scale කරයි. ඒ නිසා μ∇²u යන්න viscous momentum diffusion ලෙස හඳුන්වයි.

ඉතා වේගයෙන් ගමන් කරන fluid layer එකක් අසල මන්දගාමී layer එකක් තිබේ නම් viscosity ඒ velocity difference එක පවත්වාගෙන යාමට විරුද්ධව ක්‍රියා කරයි. වේගවත් region එකෙන් මන්දගාමී region එකට momentum transfer වීමෙන් sharp velocity gradients smooth වීමට tendency එකක් ඇතිවේ.

Viscosity කියන්නේ සරලව fluid එක “ඝනද දියරද” කියන එක පමණක් නොවේ. යාබද fluid layers එකිනෙකට වෙනස් වේගවලින් ගමන් කරන්න උත්සාහ කරන විට ඒ වෙනසට fluid එක දක්වන අභ්‍යන්තර ප්‍රතිරෝධයයි. Navier–Stokes හි μ∇²u කියන්නේ ඒ ප්‍රතිරෝධය නිසා momentum අවට ප්‍රදේශවලට පැතිරී velocity differences smooth වීම ගණිතයෙන් නිරූපණය කරන term එකයි.

Laplacian එක කියන්නේ “මේ තැනේ value එක අවට තියෙන values වලට වඩා කොච්චර අසමතුලිතද, ඒ වෙනස smooth වෙන්න tendency එකක් තියෙනවාද?” කියලා මනින local curvature detector එකක් වගේ දෙයක්.

9. දැන් Structural Engineer කෙනෙකුට හුරු ලෝකයකට: Stress

අපි සාමාන්‍යයෙන් stress හඳුන්වන්නේ:

σ = F/A (බලය බෙදීම වර්ග්ඵලය)

ලෙසයි.

Uniaxial member එකකට එය ප්‍රයෝජනවත්ය.

නමුත් three-dimensional continuum එකක point එකක් වටා ඇති internal forces විස්තර කිරීමට එක number එකක් ප්‍රමාණවත් නොවේ.

කුඩා cube එකක් සිතමු.

එහි එක් face එකකට normal stress එකක් පමණක් නොව shear stresses ද තිබිය හැක. ලම්බක සහ ස්පර්ශීය කියලත් වෙන් කරන්න පුළුවන්‍.

ඒ නිසා stress එක tensor එකක් බවට පත්වෙයි:

σ = [σᵢⱼ]

Cartesian representation එකෙන්,

σ =

x-face components
σₓₓ	τₓᵧ	τₓ𝓏
τᵧₓ	σᵧᵧ	τᵧ𝓏
τ𝓏ₓ	τ𝓏ᵧ	σ𝓏𝓏

මෙය 3×3 second-order tensor එකක matrix representation එකකි.

Cauchyගේ traction relation එක:

t(n) = σ·n

මෙහි n යනු plane එකේ unit normal vector එකයි.

අර්ථය ගැඹුරුය: එකම point එකේ තිබෙන stress state එක දැනගත් විට, එම point එක හරහා ගන්නා ඕනෑම orientation එකක plane එක මත ක්‍රියා කරන traction vector එක ගණනය කළ හැක.

Stress tensor එක කියන්නේ “මේ material point එක හරහා ඔබ කැමති දිශාවකට imaginary cut එකක් දැම්මොත්, ඒ cut එකේ push/pull සහ sideways shear කොච්චරද?” කියලා කියන්න පුළුවන් සම්පූර්ණ stress map එකයි.

10. මෙතැන Solid සහ Fluid තවම වෙන්වී නැහැ

මෙය වැදගත්ය.

Stress tensor එක fluid mechanics වලට පමණක් අයත් object එකක් නොවේ.

Solid සහ fluid දෙකම continuum mechanics යටතේ stress tensor භාවිත කරයි.

Cauchy පැමිණෙන්නේ කොහොමද? — Force එකෙන් Stress Tensor එකට

Newton අපට F = ma දුන්නා. නමුත් continuum එකකට Newtonගේ නියමය යොදන්න ගිය විට අලුත් ප්‍රශ්නයක් මතුවෙනවා.

Rigid particle එකකට force එකක් පිටතින් යොදනවා කියලා සිතන්න පහසුයි. නමුත් solid එකක් හෝ fluid එකක් වැනි continuous body එකක කුඩා කොටසක් වෙන්කරගෙන බැලුවොත්, එයට gravity වැනි body forces පමණක් නොව, එය වටා ඇති material එකෙන් එහි surface එක හරහා contact forces ද ලැබෙනවා.

මෙතැන තමයි 19 වන සියවසේ ප්‍රංශ ගණිතඥ Augustin-Louis Cauchyගේ වැදගත් conceptual contribution එක පැමිණෙන්නේ.

Continuum එක තුළ ඉතා කුඩා imaginary cut එකක් දාමු. එම cut එකේ orientation එක unit normal vector n එකෙන් දක්වමු. Cut එක හරහා අනෙක් පැත්තේ material එක මේ පැත්තට force එකක් ලබා දෙනවා. Unit area එකකට ලැබෙන එම surface-force vector එක traction vector ලෙස ලියමු:

t(n)

මෙහි වැදගත් ප්‍රශ්නය වන්නේ: cut එකේ direction එක වෙනස් කළොත් t(n) වෙනස් වෙන්නේ කොහොමද?

Cauchyගේ විශාල insight එක වූයේ සෑම possible plane orientation එකකටම වෙන වෙනම force law එකක් තබාගැනීමට අවශ්‍ය නැති බවයි. Point එකක ඇති සම්පූර්ණ internal stress state එක second-order tensor එකකින් නිරූපණය කළ හැක:

එවිට ඕනෑම orientation එකක plane එකක් සඳහා,

t(n) = σ·n

ලැබෙනවා.

මේ සම්බන්ධතාවය Cauchy's stress theorem ලෙස continuum mechanics හි මූලික තැනක් ගන්නවා.

එහි conceptual power එක ඉතා විශාලයි. අපි දැන් “force” එකක් පමණක් කතා කරන්නේ නැහැ. Material එකේ සෑම point එකකම internal force transmission එක field එකක් ලෙස නිරූපණය කරන්න පුළුවන්.

Cauchy කළ වැදගත් move එක මෙහෙම කියන්න පුළුවන්: solid එකක් හෝ fluid එකක් ඇතුළෙන් ඔබ කැමති දිශාවකට imaginary cut එකක් දැම්මොත්, ඒ cut එක හරහා material එකේ එක පැත්තක් අනෙක් පැත්තට කොහොම push කරනවාද, pull කරනවාද, shear කරනවාද කියන සියල්ල එක mathematical object එකක—stress tensor එකක—ගබඩා කළ හැක.

නමුත් Newtonගේ F = ma තවම කොහෙද?

දැන් continuum එකෙන් ඉතා කුඩා material volume එකක් V වෙන්කරගෙන සිතමු.

එයට force වර්ග දෙකක් ක්‍රියා කරනවා.

එකක් gravity වැනි volume එක පුරා ක්‍රියා කරන body forces:

∫ᵥ ρb dV

අනෙක surrounding material එක surface එක හරහා දෙන surface forces:

∮ₛ t(n) dA

Cauchyගේ relation එක දැමූ විට,

t(n) = σ·n

නිසා surface force එක,

∮ₛ σ·n dA

බවට පත්වෙනවා.

මෙතැනට Carl Friedrich Gaussගේ නමත් සම්බන්ධ වෙනවා.

Gauss සමඟ සම්බන්ධ divergence theorem එකේ මූලික අදහස ඉතා ප්‍රබල නමුත් සරල එකක්: closed volume එකක් ඇතුළේ field එකක ඇති net source/outflow එක, එම volume එක වටා ඇති surface එක හරහා පිටතට යන net flux එකට සමානයි.

සාමාන්‍ය vector field එකක් F සඳහා එය,

∮ₛ F·n dA = ∫ᵥ ∇·F dV

ලෙස ලියන්න පුළුවන්. වම් පැත්තෙන් අපි boundary surface එක පුරා පිටතට යන දේ ගණන් කරනවා; දකුණු පැත්තෙන් ඒ same effect එක volume එක ඇතුළේ local divergence එක එකතු කර ගණන් කරනවා.

සරලව කිව්වොත් කාමරයකට කොපමණ වාතය ඇතුළෙන් “උපදිනවාද හෝ එකතු වෙනවාද” කියන එක සෑම තැනකම මැනීම වෙනුවට, බිත්ති හරහා net ලෙස කොපමණ පිටවෙනවාද කියලා ගණන් කළ හැකි බව වගේ අදහසක්. Inside එකේ local accounting එකත් boundary එකේ flux accounting එකත් එකම balance එකේ දෙපැත්තයි.

දැන් මේ theorem එක Cauchyගේ stress field එකට යොදමු. මෙහි surface එක හරහා ක්‍රියා කරන traction එක σ·n නිසා,

∮ₛ σ·n dA = ∫ᵥ ∇·σ dV

ලැබෙනවා.

මේ step එකේ වැදගත්කම වන්නේ surface එක මත බෙදී ඇති stresses වලින් ලැබෙන total force එක, volume එක ඇතුළේ local force density ලෙස පරිවර්තනය කිරීමයි. එතැනින් Newtonගේ momentum balance එක infinitesimal point-level differential equation එකක් දක්වා ගෙන යන්න පුළුවන්.

දැන් Gauss divergence theorem එක භාවිත කළොත්,

∮ₛ σ·n dA = ∫ᵥ ∇·σ dV

ලැබෙනවා.

මෙතැන ඉතා ලස්සන mathematical transformation එකක් සිදුවෙලා තියෙනවා:

surface එක හරහා එන stresses → volume එක ඇතුළේ net force density

එනම්,

σ → ∇·σ

දැන් Newton නැවත පැමිණෙනවා

Newton කියන්නේ:

mass × acceleration = total force

Continuum එකේ infinitesimal material parcel එකකට acceleration එක:

Du/Dt

ඒ නිසා unit volume එකකට inertia term එක:

ρ Du/Dt

Surface stresses වලින් එන net force density එක:

∇·σ

Body-force density එක:

ρb

ඒ සියල්ල Newtonගේ balance එකට දැමූ විට,

ρ Du/Dt = ∇·σ + ρb

ලැබෙනවා.

මෙය Cauchy momentum equation එකයි.

මෙහි,

ρ = density
u = velocity field
σ = Cauchy stress tensor
b = body force per unit mass
D/Dt = material derivative

දැන් Cauchyගේ equation එක අහසින් වැටුණු අලුත් law එකක් නොවේ.

එය Newtonගේ F = ma, continuum එකක් තුළ internal stresses ද ඇතුළත් කර ලියූ local mathematical form එකයි.

Newton අපට කිව්වේ “acceleration එකක් තියෙනවා නම් forces එකතු කර බලන්න” කියලා. Cauchy කළේ ඒ අදහස solid හෝ fluid වැනි continuous material එකක සෑම අතිකුඩා කොටසකටම යෙදිය හැකි mathematical language එකක් ලබාදීමයි.

Cauchy momentum equation එක:

ρ Du/Dt = ∇·σ + ρb

මෙහි,

ρ = density
u = velocity
σ = Cauchy stress tensor
b = body force per unit mass

මෙය Newtonගේ F = ma continuum එකකට පරිවර්තනය වූ ආකාරයක් ලෙස දැකිය හැක.

මේ equation එක තවමත් කියන්නේ Newton කියපු දෙයමයි—කුඩා material region එක accelerate වෙනවා නම්, එයට acting කරන internal සහ external forces එකතු කරලා බලන්න.

11. එහෙනම් Solid එක Fluid එකෙන් වෙන්වෙන්නේ කොහේදීද?

අපි මෙතෙක් පැමිණි Cauchy momentum equation එක,

ρ Du/Dt = ∇·σ + ρb

solid එකකටත් fluid එකකටත් පොදුයි. ඒ කියන්නේ මේ equation එකෙන් පමණක් material එක steel ද, rubber ද, water ද, air ද කියලා තීරණය කරන්න බැහැ.

එය තීරණය කිරීමට තවත් physical information එකක් අවශ්‍යයි.

ඒ තමයි constitutive law එක.

Constitutive law එකෙන් අපි mathematics එකට කියන්නේ,

“මේ material එක deform කළොත්, ඒ deformation එකට ප්‍රතිචාර වශයෙන් stress එක කොහොම ඇතිවෙයිද?”

කියන එකයි.

මෙතැනින් geometry/kinematics සහ material physics දෙක සම්බන්ධ වෙනවා.

Solid එකක් ගනිමු

Solid එකක points වල original positions වලින් සිදුවන movement එක displacement vector එකකින්,

d = d(x,y,z)

නිරූපණය කළ හැකියි.

නමුත් solid එක මුළුමනින්ම එකම ප්‍රමාණයකින් translate වුණා කියලා material එක deform වුණා කියන්න බැහැ. අපට අවශ්‍ය වන්නේ neighbouring points එකිනෙකට සාපේක්ෂව කොපමණ වෙනස් වී තිබේද කියන එකයි.

ඒ සඳහා displacement field එකේ spatial variation එක බලනවා:

∇d

මෙය displacement gradient එකයි.

නමුත් ∇d තුළ deformation එකට අමතරව rigid-body rotation එකත් ඇතුළත් විය හැකියි. Small-deformation theory එකේ actual strain එක අල්ලාගැනීමට එහි symmetric part එක ගන්නවා:

ε = ½(∇d + ∇dᵀ)

මෙය small-strain tensor එකයි.

ඒ නිසා ε කියන්නේ simply “කොච්චර දිග වැඩි වුණාද?” කියන scalar එකක් පමණක් නොවේ. Three-dimensional body එකක extension, contraction සහ shear deformation සියල්ල එක mathematical object එකකින් නිරූපණය කරනවා.

solid එකක point එකක් කොච්චර move වුණාද කියන එක displacement. නමුත් neighbouring points එකිනෙකට සාපේක්ෂව කොච්චර move වෙලා body එකේ shape හෝ size එක වෙනස් වුණාද කියන එක strain.

දැන් material එක mathematics එකට ඇතුළු කරමු

Strain එක දැනගත්තත් stress එක තවම දන්නේ නැහැ.

එකම strain එකකට rubber, concrete සහ steel එකම stress response එකක් දෙන්නේ නැහැ. ඒ නිසා material behaviour එක විස්තර කරන rule එකක් අවශ්‍යයි.

Linear elastic material එකකට schematically,

σ = C : ε

ලෙස ලියන්න පුළුවන්.

මෙහි:

σ = stress tensor
ε = strain tensor
C = material stiffness tensor

C : ε හි colon එකෙන් අදහස් කරන්නේ ordinary scalar multiplication එකක් නොව, fourth-order stiffness tensor C එක strain tensor එක සමඟ contract කිරීමයි.

මේක බැලූ බැල්මට සංකීර්ණ වුණත් physical idea එක සරලයි:

strain → material law → stress

Isotropic linear-elastic material එකකට මෙය තවත් හුරුපුරුදු ආකාරයකට,

σ = λ tr(ε)I + 2Gε

ලෙස ලියන්න පුළුවන්. මෙහි λ සහ G Lamé constants. සාමාන්‍ය engineering භාවිතයේ ඒ material stiffness එක Young's modulus (E) සහ Poisson's ratio (ν) මගින්ද නිරූපණය කළ හැකියි.

එක dimension එකකට ගියොත් මේ විශාල tensor relation එක අපට හුරුපුරුදු Hooke's law එකට සරල වෙනවා:

σ = Eε

Strain කියන්නේ material එක කොච්චර deform වුණාද කියන එක. Stiffness කියන්නේ material එක ඒ deformation එකට කොච්චර තදින් විරුද්ධ වෙනවාද කියන එක. Stress කියන්නේ ඒ resistance එක නිසා material එක තුළ ඇතිවන internal force state එක.

මෙතැනින් Fluid එකට යන විට වැදගත් වෙනසක් සිදුවෙනවා

Solid එකක් deform කරලා එම deformation එක තබාගත්තොත්, elastic solid එකට ඒ strain එක මත පදනම් වූ stress එකක් පවත්වාගන්න පුළුවන්.

නමුත් fluid එකක fundamental behaviour එක වෙනස්.

Fluid එකකට sustained shear stress එකක් දුන්නොත් එය finite shear deformation එකකට ගොස් එතැන නතර වෙන්නේ නැහැ. එය දිගටම deform—flow—වෙනවා.

ඒ නිසා simple Newtonian fluid එකකට stress එක “කොච්චර deform වෙලාද?” කියන strain එකට සම්බන්ධ කරනවා වෙනුවට, “කොච්චර වේගයෙන් deform වෙනවාද?” කියන rate of deformation එකට සම්බන්ධ කරනවා.

Solid:

displacement d → strain ε → stress σ

Newtonian fluid:

velocity u → rate-of-deformation D → viscous stress τ

Fluid එකේ,

D = ½(∇u + ∇uᵀ)

සහ Newtonian viscous constitutive law එක,

τ = 2μD + λ(∇·u)I

ලෙස ලියන්න පුළුවන්.

Incompressible case එකේ ∇·u = 0 නිසා,

τ = 2μD

ලැබෙනවා.

මෙතැන μ තමයි අපි කලින් කතා කළ dynamic viscosity.

ඒ නිසා solid එකේ stiffness (C) material response එක පාලනය කරන ආකාරයට, Newtonian fluid එකේ viscosity (μ) rate of deformation එකට material එක දක්වන viscous response එක පාලනය කරනවා. ඒ දෙක භෞතිකව එකම දෙයක් නොවුණත්, constitutive modelling එකේ ඒවා කරන කාර්යභාරය අතර මේ structural analogy එක දැකිය හැකියි.

අර්ථය:

stress ↔ deformation

නමුත් Newtonian fluid එකකට viscous stress එක සම්බන්ධ වන්නේ strain එකට නොව rate of deformation එකටයි.

Define කරමු:

D = ½(∇u + ∇uᵀ)

එවිට,

τ = 2μD + λ(∇·u)I

සහ total stress:

σ = −pI + τ

Incompressible Newtonian fluid එකක,

∇·u = 0

නිසා සරල අවස්ථාවක,

τ = 2μD

ලැබේ.

Elastic solid එකක් ගැන සරල intuition එක “කොච්චර deform වෙලාද?” යන්නයි. Newtonian viscous fluid එකක් ගැන ප්‍රධාන ප්‍රශ්නය “කොච්චර වේගයෙන් deform වෙමින් තිබෙනවාද?” යන්නයි.

12. Lagrangian සහ Eulerian — ද්‍රව්‍යය පසුපස යනවාද, තැනක සිට බලා සිටිනවාද?

Solid mechanics වලදී material particle එකක් follow කිරීම ස්වාභාවිකය.

Reference position:

Current position:

x = χ(X,t)

මෙය Lagrangian description එකකි.

Fluid mechanics වලදී වෙනත් description එකක් බොහෝවිට පහසුය.

අපි spatial point එකක සිට බලමු:

u = u(x,t)

ජලය එම point එක හරහා ගලා යයි.

මෙය Eulerian description එකයි.

Lagrangian කියන්නේ ගඟේ කොළයක් දාලා ඒ කොළය පසුපස යන එක. Eulerian කියන්නේ පාලම උඩ සිටගෙන ඔබ යටින් ගලා යන ජලය නිරීක්ෂණය කරන එක.

13. Material Derivative — දෙක එකතු වන අලංකාර තැන

Fluid particle එකක acceleration එක සොයන්න අපට අවශ්‍යය.

නමුත් velocity field එක:

u(x,t)

space සහ time දෙකෙන්ම වෙනස් වෙයි.

Material derivative එක:

Du/Dt = ∂u/∂t + (u·∇)u

මෙහි,

∂u/∂t

කියන්නේ fixed spatial point එකක time සමඟ velocity වෙනස් වීමයි.

නමුත්

(u·∇)u

කියන්නේ particle එක spatially වෙනස් velocity field එක හරහා ගමන් කරන නිසා අත්විඳින වෙනසයි.

මේ දෙවැනි term එක convective acceleration ය.

ඒ නිසා steady flow එකක,

∂u/∂t = 0

වුවත්,

Du/Dt ≠ 0

විය හැක.

Nozzle එකක් තුළ flow එක accelerate වීම සරල උදාහරණයකි.

Material derivative එක කියන්නේ “ඔබ ඉන්න තැනේ flow එක කාලයත් සමඟ වෙනස් වීම” සහ “ඔබ flow එකත් එක්ක වෙන තැනකට ගිය නිසා අත්විඳින වෙනස” දෙකම එකට ගණන් කිරීමයි.

14. ∇·σ — Tensor එකෙන් Force එකක් මතුවන තැන

කුඩා fluid volume එකක් සිතමු.

එහි opposite faces දෙකකට stress එක සමාන නොවිය හැක. Stress field එක space එක හරහා වෙනස් වෙයි.

Surface tractions සියල්ල එකතු කර infinitesimal limit එකට ගිය විට net surface-force density එක:

∇·σ

ලෙස ලැබේ.

එබැවින්,

ρ Du/Dt = ∇·σ + ρb

දැන් stress tensor එක split කරමු:

σ = −pI + τ

එවිට,

∇·σ = −∇p + ∇·τ

Constant-viscosity incompressible Newtonian fluid එකකට,

∇·τ = μ∇²u

ඒ නිසා,

ρ[∂u/∂t + (u·∇)u] = −∇p + μ∇²u + ρb

මෙන්න Navier–Stokes momentum equation එකේ ඉතා හුරුපුරුදු ආකාරය.

∇·σ කියන්නේ කුඩා fluid parcel එකේ සියලු පැතිවලින් එන push සහ shear එක සම්පූර්ණයෙන් එකතු කළාම, unit volume එකකට ඉතිරිවන net force එකයි.

15. දැන් Navier–Stokes equation එක නැවත බලමු

ρ[∂u/∂t + (u·∇)u] = −∇p + μ∇²u + ρb

එය දැන් අමුතු symbols ගොඩක් නොවේ.

වම් පැත්ත:

ρ[∂u/∂t + (u·∇)u]

= fluid momentum වෙනස් වන ආකාරය.

දකුණු පැත්ත:

−∇p

= pressure differences නිසා ඇති force,

μ∇²u

= viscosity නිසා momentum spatially redistribute වීම,

ρb

= gravity වැනි body forces.

ඒ සමඟ mass conservation:

∇·u = 0

incompressible flow එකකට.

අවසානයේ මේ මහා equation එක කියන්නේ ඉතා පැරණි අදහසක්:

Fluid එක accelerate වෙනවා නම් ඒ acceleration එක explain කිරීමට forces තිබිය යුතුය.

Newton තවමත් එහි සිටී.

16. නමුත් අපි තවම Mesh එකක් හදලා නැහැ

මෙතැන ඉතා වැදගත් distinction එකක් තිබේ.

Navier–Stokes differential equation එක continuous field එකකට අදාළ වේ.

∇p, ∇·u, ∇²u

වැනි operators භාවිත කිරීමට mesh එකක් අවශ්‍ය නොවේ.

Mesh එක අවශ්‍ය වන්නේ numerical computer solution එකකට යන විටය.

Computer එකකට continuous space එකේ infinitely many points store කළ නොහැක.

ඒ නිසා:

continuous domain → discrete representation

කරන්න සිදුවෙයි.

මෙය discretization ය.

Mesh එක fluid එකේ සැබෑ ස්වභාවය නොවේ. Computer එකට අනන්ත points ගණන් කරන්න බැරි නිසා අපි continuum එක manageable කුඩා කොටස්වලින් නිරූපණය කරන map එකයි.

17. Continuous derivative එක numbers අතර relation එකක් වීම

One-dimensional grid එකක් ගනිමු:

xᵢ = iΔx

Continuous derivative එක,

∂u/∂x

numerically approximate කළ හැක:

(∂u/∂x)ᵢ ≈ (uᵢ₊₁ − uᵢ₋₁)/(2Δx)

Second derivative:

(∂²u/∂x²)ᵢ ≈ (uᵢ₊₁ − 2uᵢ + uᵢ₋₁)/(Δx)²

මෙහි සිදුවූ දේ philosophical වශයෙන් පවා සිත්ගන්නාසුලුය.

Continuous differential operator එකක් දැන් neighbouring numbers අතර algebraic relationship එකක් බවට පත්ව ඇත.

Computer එක derivative එක “දකින්නේ” අපි calculus පොතක දකින ආකාරයට නොවේ. අසල්වැසි points වල numbers කොච්චර වෙනස්ද කියලා බලලා derivative එක estimate කරනවා.

18. Finite Volume: Divergence එක Flux එකක් වීම

මෙහි Gaussගේ divergence theorem එක අතිශයින් වැදගත් වේ:

∫ᵥ ∇·F dV = ∮ₛ F·n dA

Volume එක ඇතුළත divergence එක integrate කිරීම සහ boundary එක හරහා net outward flux එක අතර සම්බන්ධය මෙයයි.

CFD finite-volume methods වල මෙය ඉතා ප්‍රබල අදහසකි.

Cell එක ඇතුළේ conservation law එක, cell faces හරහා ගමන් කරන fluxes මගින් ගණනය කළ හැක.

Gauss අපට කියන්නේ “පෙට්ටිය ඇතුළේ කොච්චර දෙයක් නිපදවෙනවා හෝ නැතිවෙනවාද කියලා දැනගන්න, අවශ්‍ය නම් පෙට්ටියේ බිත්ති හරහා කොච්චර ඇතුළට හා පිටතට යනවාද කියලා ගණන් කරන්න” කියන එකයි.

මෙතැන calculus, geometry, physics සහ computation එකම තැනක හමුවෙයි.

19. Mesh එක යථාර්ථය නොවේ

CFD image එකක් දකින විට අපට colored cells, arrows, streamlines සහ contours පෙනේ.

නමුත් fluid එක ඇත්තටම triangles, quadrilaterals හෝ tetrahedra වලින් සෑදී නැත.

අපි යථාර්ථයට representation එකක් දී ඇත.

ඊට පසු එම representation එක මත conservation laws enforce කරමු.

Mesh එක finer කළ හැක:

Δx → 0

නමුත් computational cost වැඩිවේ.

Discretization error, truncation error, numerical diffusion, stability සහ convergence වැනි නව ප්‍රශ්න මතුවෙයි.

අපි physics එක mathematical form එකකට ගෙන ආ පසු, එය computer එකට ගෙන යාමේදී තවත් approximation layer එකක් හඳුන්වා දී ඇත.

Simulation එක කියන්නේ reality එක computer එක ඇතුළට දාපු එක නොවේ. Reality ගැන අපි ගොඩනගපු mathematical model එකේ discretized approximation එකක් computer එකෙන් ගණනය කිරීමයි.

20. එහෙනම් Navier–Stokes අමාරු ඇයි?

Final equation එක කෙටි ය:

∂u/∂t + (u·∇)u = −(1/ρ)∇p + ν∇²u + b

සහ

∇·u = 0

නමුත් එහි මධ්‍යයේ nonlinear term එකක් ඇත:

(u·∇)u

Velocity field එක තමන්ගේම spatial variation එක සමඟ interact වෙයි.

Flow එක තමන් විසින්ම තමන්ගේ evolution එකට දායක වෙයි.

Vorticity එක:

ω = ∇ × u

ලෙස define කළ විට 3-D incompressible vorticity dynamics එක schematically:

∂ω/∂t + (u·∇)ω = (ω·∇)u + ν∇²ω

මෙහි

(ω·∇)u

vortex stretching term එකයි.

Three-dimensional dynamics වල මෙය අතිශයින් වැදගත්ය.

අමාරුම කොටසක් වන්නේත්යි මෙයයි—flow එක ගමන් කරනවා පමණක් නොවෙයි; එහිම motion එක එහි ඊළඟ motion එක වෙනස් කරන feedback system එකක් වගේ හැසිරෙනවා.

21. පැරණි ගණිතය එකම සමීකරණයක හමුවීම

දැන් මොහොතකට පසුපසට යමු.

Newtonගෙන් අපට motion සහ force ලැබුණි.

Eulerian description එකෙන් fields ලැබුණි.

Cauchyගෙන් stress tensor ලැබුණි.

Differential calculus එකෙන් local variation විස්තර කිරීමට භාෂාව ලැබුණි.

Gradient pressure landscape එක කියවයි.

Divergence local balance කියවයි.

Curl rotation කියවයි.

Laplacian spatial curvature/diffusion structure කියවයි.

Gauss local divergence එක boundary flux එකකට සම්බන්ධ කරයි.

Constitutive law එක material එක කුමක්ද යන්න physics එකට කියයි.

Computer එක පැමිණි විට discretization මේ continuous mathematics එක finite algebraic problem එකකට පරිවර්තනය කරයි.

එය trajectory එකක් ලෙස ලියමු:

physical matter

→ continuum

→ fields

→ differential operators

→ conservation laws

→ constitutive relations

→ nonlinear PDE

→ discretization

→ algebraic system

→ numerical iteration

→ computed flow field

මෙය මට Navier–Stokes ගැන ඇති විශාලම ආකර්ෂණයන්ගෙන් එකකි.

අද CFD software එකක Run button එකක් ඔබන විට, අපි දකින්නේ software interface එකක් පමණි.

නමුත් ඒ button එක යටින් ශතවර්ෂ ගණනක mathematical thought එක ක්‍රියාත්මක වෙයි.

22. මෙතැනින් AI පැමිණෙන්නේ කොතැනටද?

Computer එක mathematical operation වේගවත් කළේය.

Numerical methods අපට මිනිස් අතින් විසඳිය නොහැකි systems ගණනය කිරීමට ඉඩ දුන්නේය.

දැන් AI-assisted mathematical systems තවත් වෙනස් possibility එකක් ගෙන එයි.

එය numbers වේගයෙන් calculate කිරීම පමණක් නොව,

representation තෝරාගැනීම, conjecture සෙවීම, symbolic manipulation, proof-search, counterexample search, formal verification සහ විශාල search spaces තුළ promising paths හඳුනාගැනීම වැනි කාර්යයන්ටද ඇතුළු වෙමින් සිටී.

මෙතැන අපි ඉතා ප්‍රවේශමෙන් distinction එකක් තබාගත යුතුය.

numerical computation ≠ mathematical proof

එසේම,

formal proof ≠ physical truth about every real fluid

සහ

AI search ≠ mathematical understanding

අනිවාර්යයෙන්ම නොවේ.

නමුත් මේ සීමා අතරම අලුත් ප්‍රශ්නයක් උපදියි:

මිනිස් intuition එකෙන් එකවර දැකගත නොහැකි mathematical space එකක් machine-assisted search එකකට පද්ධතිමය ලෙස explore කළ හැකි නම්, “mathematical discovery” කියන්නේ මොකක්ද?

23. Automaton: මෙතැන Lacan ඇතුළු කළ හැකිද?

මෙතැන මට Lacan ගැන සිතීම වැළැක්විය නොහැක.

නමුත් ඉතා වැදගත් සීමාවක් මුලින්ම තබමු:

Lacanගේ automaton යනු numerical algorithm එකකට technical synonym එකක් නොවේ.

එසේම,

The Real = unsolved mathematics කියන්නත් බැහැ.

එවැනි direct equivalence එකක් theory එක විකෘති කරයි.

නමුත් analogy එකක් ලෙස ප්‍රශ්නයක් ඇසිය හැක.

Lacan, Aristotleගෙන් ලබාගන්නා automaton සහ tuché distinction එක තුළ repetition සහ encounter අතර වෙනසක් සොයයි.

Mathematical machine එකකට අපි rules, symbolic structures සහ search procedures දෙමු.

එය නැවත නැවත operate වෙයි.

operation → result → test → rejection → new operation

මෙය Lacanian automaton එකම නොවේ.

නමුත් formal repetition ගැන සිතීමට එය අපට අලුත් contemporary scene එකක් ලබා දෙයි.

මෙතැන “automaton” කියන්නේ AI algorithm එකට Lacan දාපු නමක් නොවෙයි; නැවත නැවත rule-governed operation සිදුවීම ගැන Lacanගේ අදහස සමඟ modern computation එක සසඳා බලන philosophical analogy එකක් පමණයි.

24. Mathematical Unconscious?

“Mathematical unconscious” කියන phrase එකත් එසේම ප්‍රවේශමෙන් භාවිත කළ යුතුය.

මම එයින් කියන්නේ computer එකට Freudගේ හෝ Lacanගේ unconscious එකක් තිබෙනවා කියා නොවේ.

ඒ වෙනුවට මම අසන්නේ:

අපි ලියා ඇති formal system එක තුළ, අපි තවම explicit ලෙස දන්නේ නැති consequences තිබිය හැකිද?

Axioms, definitions සහ previously proven results දී ඇති විට, ඒවායේ logical consequences සියල්ල එකවර human consciousness එකට present නොවේ.

Machine-assisted search එකෙන් ඒ hidden consequence-space එකේ pathways හමුවිය හැක.

එය psychoanalytic unconscious එක නොවේ. මේවා මේ ආකාරයෙන් වෙන්කර දක්වන්නේ කිසියම් හේතුවක් නිසාය. චෙස් ඉත්තන්ගේ නම් දැනගත්තාට චෙස් ක්‍රීඩා කළ නොහැක. ලැකාන්ගේ පාරිභාෂිත වාග්මාලාව දැනගත් පමණින් මනෝවිශ්ලේෂණ සිද්ධාන්ත පරිහරනය කරන්නට නොහැක. සමහරුන් සිතා සිටින්නේ වචන දැනගැනීම ප්‍රමාණවත් යැයි කියාය. ඔවුන් අනුන්ග‌ේ මූලික දැනුම පරීක්ෂා කරන්නට පෙළඹෙන්නේ තමන් නොදන්නා දේ සහ අනවෙබෝධ දේ කටපාඩම් කරමිනි.

නමුත් මිනිසා විසින් නිර්මාණය කළ symbolic system එකක් තම නිර්මාණකරුවාට එකවර දැනගත නොහැකි consequences දරා සිටීම අපූරු philosophical fact එකකි.

“Mathematical unconscious” කියන්නේ mathematics එකට මනසක් තියෙනවා කියන එක නොවේ. අපිම හදපු rules වලින් logically එන හැම දෙයක්ම අපිම කලින් දන්නේ නැති බවට දෙන metaphorical නමක්.

25. එහෙනම් The Real කොහේද?

මෙතැනත් ඉතා ප්‍රවේශමෙන් යා යුතුය.

Unsolved equation එකක් = Real නොවේ.

Singularity එකක් = Real නොවේ.

Computer එකට calculate කරන්න බැරි දෙයක් = Real නොවේ.

Lacanගේ Real එක “අපි තවම නොදන්නා දෙය” යන සාමාන්‍ය අර්ථයට සීමා කළ නොහැක.

නමුත් formalization එක සම්පූර්ණයි කියන fantasy එක බිඳෙන තැන ගැන Lacan අපට ප්‍රශ්නයක් ලබා දෙයි.

අපි physical fluid එක field එකක් බවට පත් කළෙමු.

Field එක equations බවට පත් කළෙමු.

Equations discretize කළෙමු.

Numbers computer එකකට දුන්නෙමු.

AI එකෙන් search space එක පුළුල් කළෙමු.

එහෙත් සෑම representation එකක්ම අසන්නේ:

අපි අල්ලාගත්තේ කුමක්ද? අතහැරුණේ කුමක්ද?

මේ ප්‍රශ්නයට “ඉතිරි වූ දෙය = Real” කියා පිළිතුරු දීම ඉතා ඉක්මන්ය.

නමුත් සම්පූර්ණ symbolic mastery එකක් අපට ලැබුණා යැයි සිතීමේ fantasy එක විමර්ශනය කිරීමට Lacan තවමත් ප්‍රයෝජනවත්ය.

26. Mesh එකෙන් නැවත ගඟ වෙත

අපි ආරම්භ කළේ ගඟකින්.

ඊට පසු අපි එහි molecules අමතක කළෙමු.

Continuum එකක් නිර්මාණය කළෙමු.

ඒ continuum එක fields බවට පත් කළෙමු.

Fields වල spatial variation මැනීමට ∇ ගෙන ආවෙමු.

Forces tensor එකකට ගෙන ආවෙමු.

Newtonගේ නියමය continuum එකකට යෙදුවෙමු.

Navier–Stokes ලැබුණි.

ඊට පසු continuum එක නැවත cells වලට කඩා computer එකකට දුන්නෙමු.

ඉන්පසු numerical solution එකක් ලබාගෙන නැවත කියමු:

“මෙන්න ගඟ.”

නමුත් ඒ ගඟ මුල් ගඟමද?

Physical river එක, continuum model එක, PDE එක, mesh එක සහ computed flow field එක—මේවා එකම object එක නොවේ.

ඒවා අතර rigorous correspondences ඇත.

Approximation ඇත.

Validation ඇත.

Error ඇත.

Convergence ඇත.

සහ representation ඇත.

මෙය science එකේ දුර්වලතාවයක් නොවේ.

මෙය science එකේ බලයයි.

යථාර්ථය සම්පූර්ණයෙන් copy කිරීම වෙනුවට, අපට වැදගත් relations isolate කර, ඒවා test කළ හැකි mathematical structure එකකට පරිවර්තනය කිරීම science එකේ විශාල ජයග්‍රහණයකි.

අවසානය: ∇ සිට නොදන්නා දෙය දක්වා

ඉතින් ∇ කියන්නේ අමුතු ත්‍රිකෝණයක් නොවේ.

එය field එකක් අවකාශය තුළ වෙනස් වන ආකාරය විමසන operator එකකි.

Gradient කියන්නේ:

කොයි පැත්තට කොච්චර වේගයෙන් වෙනස් වෙනවාද?

Divergence කියන්නේ:

කුඩා ප්‍රදේශයකින් net ලෙස පිටවෙනවාද, ඇතුළට එකතු වෙනවාද?

Curl කියන්නේ:

local rotation එකක් තිබෙනවාද?

Laplacian කියන්නේ:

අවට values සමඟ ඇති local curvature/non-uniformity කොහොමද?

Stress tensor කියන්නේ:

point එකක් හරහා ඕනෑම plane එකක internal force state එක කුමක්ද?

Material derivative කියන්නේ:

flow එකත් සමඟ ගමන් කරන particle එක සැබැවින්ම අත්විඳින rate of change එක කුමක්ද?

Navier–Stokes කියන්නේ:

මේ සියල්ල Newtonගේ momentum balance එක තුළ එකට බැඳීමයි.

Discretization කියන්නේ:

continuous mathematics එක computer එකකට ගණනය කළ හැකි finite representation එකකට පරිවර්තනය කිරීමයි.

AI පැමිණි විට ප්‍රශ්නය තවත් පියවරක් ඉදිරියට යයි.

මිනිසා ගොඩනැගූ symbolic structure එක තුළ, මිනිසා තවම දැක නැති mathematical pathways machine එකකට සොයාගත හැකිද?

එසේ නම් එය machine එක “අවබෝධ කරගත්තා” යන්නද?

නැතහොත් symbolic automaton එක අපගේම formal structures තුළ අපට නොපෙනුණු මාර්ග දිගේ තවත් දුර ගියා පමණද?

එතැනින් Navier–Stokes ගැන කතාව fluid mechanics එකක් පමණක් නොවෙයි.

එය Newtonගේ force එකෙන් ආරම්භ වී, Cauchyගේ tensor හරහා, ∇ හි differential language එකටත්, mesh එකේ discretized world එකටත්, computational search එකටත්, අවසානයේ මිනිසාට තමන් විසින්ම නිර්මාණය කළ mathematics ගැන කොපමණ දුරට දැනගත හැකිද? යන ප්‍රශ්නයටත් පැමිණෙන කතාවකි.

සමහරවිට ඒ නිසාම Navier–Stokes අපට තවමත් ගඟක් ගැන පමණක් කතා කරන්නේ නැත.

එය අප දැනගන්නා ආකාරය ගැනත් කතා කරයි.