නොපෙනෙන ලෝකයේ ගණිතය: Yang–Mills කතාව
නොපෙනෙන ලෝකයේ ගණිතය: Yang–Mills කතාව
පරමාණුවේ ඇතුළත රහසක්, ගණිතයේ සුන්දරත්වයක්, සහ තවමත් විසඳා නැති ඩොලර් මිලියනයක ප්‍රශ්නයක්
රාත්‍රී අහසක් යට ප්‍රශ්නයක්
ඔබ කවදා හෝ රාත්‍රියක අහස දෙස බලා සිටියාද?
තරු ඈතින් දිලිසෙනවා. ඒත් ඒ තරු දැවෙන්නේ කෙසේද? ඒ ශක්තිය එන්නේ කොහෙන්ද? අපේ සිරුර, පොළොව, ගල්, ජලය, මේ සියල්ල සෑදී ඇත්තේ කුමකින්ද?
පිළිතුර ඔබ දන්නවා: පරමාණුවලින්.
ඒත් කතාව ඉතා ගැඹුරට යන්නේ දැන් තමයි. පරමාණුවක මැද ඇති න්‍යෂ්ටිය තුළ ප්‍රෝටෝන සහ නියුට්‍රෝන තිබෙනවා. ප්‍රෝටෝන සියල්ලටම ඇත්තේ එකම ආකාරයේ (ධන) විද්‍යුත් ආරෝපණයක්. එකම ආරෝපණ එකිනෙක තල්ලු කරනවා. මේ තල්ලුව ඉතා ප්‍රබලයි.
එසේ නම් ප්‍රෝටෝන දෙකක් ඉතා කුඩා ඉඩක, එකිනෙකට ඉතා ළං වී තිබෙන්නේ කොහොමද? ඇයි න්‍යෂ්ටිය පිපිරී විසිරී නොයන්නේ?
මෙතැනදී අපට පෙනෙනවා, විද්‍යුත් චුම්බක බලයට වඩා ප්‍රබල ඉතා විශාල බලයක් පරමාණුව ඇතුළේ ක්‍රියා කරන බව. අපි එය ප්‍රබල න්‍යෂ්ටික බලය (Strong Force) කියා හඳුන්වනවා.
මේ ලිපිය එම බලය තේරුම් ගන්න මිනිසුන් කළ ගමනක කතාවයි. ඒ ගමනේ ප්‍රධාන සහායකයා ගණිතයයි. ඇසට නොපෙනෙන ලෝකයක්, ගණිතය නම් පහන් එළියෙන් පමණක් දැකගත් ආකාරය මෙහි කියැවේ.
සමමිතිය නම් අලංකාරය
සමමිතිය යනු කුමක්ද?
ඔබ සම්පූර්ණ රවුම් බෝලයක් අතින් තබා කැරකැවුවොත්, කැරකැවීමට පෙර සහ පසු එය එකම ආකාරයට පෙනෙනවා. මේ නිසා රවුම් බෝලයට සමමිතිය තිබෙනවා කියා අපි කියනවා.
භෞතික විද්‍යාවේ සමමිතිය යනු:
යම් වෙනසක් කළත්, නීති වෙනස් නොවීම.
උදාහරණයක් ලෙස, ඔබ අද කොළඹ දී බෝලයක් ඉහළ දමා ඇල්ලුවත්, හෙට මහරගම දී එසේ කළත්, භෞතික නීති වෙනස් වෙන්නේ නැහැ. ඒ ස්ථානය මාරු කිරීමේ සමමිතිය.
සමමිතිය සහ සංස්ථිති නීති
1918 දී Emmy Noether නම් ගණිතඥ කාන්තාව ඉතා පුදුම සොයාගැනීමක් කළා:
සෑම සමමිතියකටම අනුරූප වන, නොවෙනස්ව පවතින රාශියක් (conservation law) තිබෙනවා.
- කාලය මාරු කිරීමේ සමමිතිය ⟹ ශක්තිය සංස්ථිතියයි
- ස්ථානය මාරු කිරීමේ සමමිතිය ⟹ ගම්‍යතාව සංස්ථිතියයි
- භ්‍රමණ සමමිතිය ⟹ කෝණික ගම්‍යතාව සංස්ථිතියයි
සමමිතිය යනු සරල රූපමය අලංකාරයක් පමණක් නොවෙයි. එය ස්වභාවධර්මයේ නීති ලියන මුල් පෑනයි. මේ අදහස මතක තබාගන්න. Yang–Mills කතාව සම්පූර්ණයෙන්ම ගොඩනැගෙන්නේ මෙයින්.
විද්‍යුත් චුම්බකත්වය සහ සැඟවුණු "කැරකෙන කටුව"
ක්වොන්ටම් ලෝකයේ තරංග
පරමාණු ලෝකයේ ඉලෙක්ට්‍රෝනයක් වැනි අංශුවක් තරංගයක් ලෙසද හැසිරෙනවා. එය විස්තර කරන්නේ තරංග ශ්‍රිතයක් (wave function) මගින්. අපි එය ψ (සයි) ලෙස ලියමු.
ψ යනු සංඛ්‍යාවක් පමණක් නොවෙයි. එයට විශාලත්වයක් සහ කෝණයක් (phase) ඇත. කෝණය යනු ඔරලෝසුවක කටුවක් මෙන්, කැරකෙන කටුවක් ගැන සිතන්න.
ඔබ ඒ කටුව ඕනෑම කෝණයකින් කැරකැවුවත්, අපට මැනිය හැකි භෞතික ප්‍රතිඵල වෙනස් වෙන්නේ නැහැ. මෙය ගේජ් සමමිතිය (gauge symmetry) නමින් හැඳින්වෙන ඉතා වැදගත් අදහසේ මුල.
ගෝලීය සහ ස්ථානීය (Global සහ Local)
මෙතැන දී දෙයාකාරයක් තිබෙනවා.
ගෝලීය (Global) සමමිතිය: විශ්වයේ සියලු තැන්වල තිබෙන කටු එකම කෝණයකින් කැරකැවීම. මෙය පහසුයි.
ස්ථානීය (Local) සමමිතිය: සෑම ලක්ෂ්‍යයකම කටුව වෙනස් කෝණයකින් කැරකැවීම.
ඔබට සිතාගන්න පුළුවන් විශාල ක්‍රීඩාංගනයක දහස් ගණනක් ප්‍රේක්ෂකයින් අතර ඒ සෑම කෙනෙකුටම තමන්ගේ අතේ දිශා දර්ශකයක් (compass) තිබෙනවා කියා. ගෝලීය වෙනස් කිරීමේදී සියල්ලෝම එකවර එකම පැත්තකට කැරකවනවා. ස්ථානීය වෙනස් කිරීමේදී සෑම කෙනෙකුම තමන්ට හිතෙන ආකාරයට කැරකවනවා.
ගැටලුව
ψ ගේ වෙනස් වීමේ වේගය මැනීමට අපි අවකලනය (derivative) භාවිත කරනවා. අපි එය ∂ (partial derivative) (we call it at the university as ඩැබා) ලෙස ලියමු.
ස්ථානීය ලෙස කැරකැවූ විට, ψ නව ස්වරූපයට පත්වෙනවා:
ψ → U(x) · ψ
එහිදී කෝණය ස්ථානයෙන් ස්ථානයට වෙනස් වන නිසා, අවකලනයේදී අමතර පදයක් මතු වෙනවා:
∂(U·ψ) = U·∂ψ + (∂U)·ψ
මේ අන්තිම පදය (∂U)·ψ අපට එපා වූ අමතර කුණු. එය නිසා සමමිතිය කැඩෙනවා.
ක්‍රීඩාංගනයේ උපමාවෙන්: එක් එක් ප්‍රේක්ෂකයා දිශා දර්ශකය වෙනස් ආකාරයට කැරකවා ඇති විට, ඔවුන් දෙදෙනෙකුගේ කියවීම් සංසන්දනය කිරීම අර්ථ විරහිතයි.
පුදුමාකාර විසඳුම
මෙතැනදී ගණිතය අපට අපූරු මඟක් පෙන්වනවා.
"මේ සමමිතිය දිගටම රැකගන්න නම්, අලුත් ක්ෂේත්‍රයක් (A) හඳුන්වා දෙන්න වෙනවා. එමගින් එක් එක් ස්ථානයේ සිදුවන කැරකැවීමට ගැළපෙන ලෙස ගණිතය සකස් කරගත හැකියි."
ඒ සඳහා සාමාන්‍ය අවකලනය වෙනුවට ගේජ් අවකලනයක් (covariant derivative) හඳුන්වා දෙමු.
D = ∂ − i·g·A
මෙහි A කියන්නේ ගේජ් විභවයයි (gauge potential). විද්‍යුත් චුම්බකත්වයේදී එය විද්‍යුත් හා චුම්බක ක්ෂේත්‍ර සමඟ සම්බන්ධ වෙනවා. ආලෝකයත් එම ක්ෂේත්‍රයේම ක්වොන්ටම් ස්වරූපයක්.
මෙහි ඇති අපූර්වත්වය සිතන්න. "ස්ථානීය සමමිතිය රැකගත යුතුයි" යන ගණිතමය අවශ්‍යතාවෙන්ම අලුත් ක්ෂේත්‍රයක් හඳුන්වා දීමට අපට සිදුවෙනවා!
ඒ කියන්නේ ආලෝකය සමමිතියෙන් පමණක් අනිවාර්යයෙන් උපදිනවා කියන එක නොවෙයි. නමුත් එහි අන්තර්ක්‍රියාව තේරුම් ගැනීමට සමමිතිය අපට මඟ පෙන්වනවා.
ගණිතයේ මේ අපූරු සුන්දරත්වය Hermann Weyl (1918, 1929) ඇතුළු භෞතික විද්‍යාඥයන් ක්‍රමයෙන් හෙළි කළා.
1950 දශකය, ඇමරිකාවේ බ්‍රුක්හේවන් පර්යේෂණාගාරයේ කාමරයක්
පසුබිම
1953-54 කාලය. Brookhaven National Laboratory (නිව්යෝර්ක්, ඇමරිකාව) හි එක් කාමරයක් එක්කෙනා තරුණ චීන ජාතික භෞතික විද්‍යාඥයෙක් Chen-Ning Yang සහ තරුණ ඇමරිකානු ආධුනිකයෙක් Robert Mills හවුලේ බෙදාගෙන සිටියා.
එකල අංශු භෞතිකයේ කතා කළ ප්‍රශ්නය මෙයයි: න්‍යෂ්ටිය තුළ ඇති බලවල ස්වභාවය කුමක්ද?
Yang ට කුඩා කාලයේ සිටම මේ අදහස තිබුණා: විද්‍යුත් චුම්බකත්වය සමමිතියකින් (ගේජ් සමමිතියකින්) ඇති වුණා නම්, න්‍යෂ්ටික බලයද එවැනි සමමිතියකින් ඇති විය හැකිද?
නව වර්ගයක සමමිතියක්
විද්‍යුත් චුම්බකත්වයේ කටුව කැරකවන්නේ එක් දිශාවකට පමණයි (රවුමක් මත). ඒ U(1) නම් සමමිතිය. එහි ක්‍රමය වැදගත් නැහැ. එනම් කටුව 30° කැරකවා පසුව 50° කැරකැවීම, 50° කැරකවා පසු 30° කැරකැවීම, ප්‍රතිඵලය එකයි. මෙවැනි සමමිතිය ආබෙලියානු (Abelian) යැයි කියනවා.
නමුත් ප්‍රෝටෝන සහ නියුට්‍රෝන වල සම්බන්ධය විස්තර කිරීමට, ඊට වඩා ධනවත් සමමිතියක් අවශ්‍ය බව පෙනුණා. ඒ SU(2) නම් සමමිතියයි. එහි කැරකැවීම් ත්‍රිමාන ආකාරයක්.
ඔබට මෙය අත්හදා බලන්න පුළුවන්. පොතක් අතට ගන්න.
- පළමුව පොත අංශක 90ක් ඉදිරියට අතින් පෙරළන්න, පසුව අංශක 90ක් දකුණට භ්‍රමණය කරන්න. අවසන් ස්ථානය බලන්න.
- දැන් එම පොත පෙර තිබූ ලෙසටම තබා, පළමුව දකුණට, පසුව ඉදිරියට කරන්න.
ප්‍රතිඵල වෙනස්! මේ ක්‍රමය වැදගත් වන (non-commuting) සමමිතියකට උදාහරණයක්. අපි එවැනි සමමිතියක් නොආබෙලියානු (non-Abelian) යැයි කියනවා.
ගණිතමය ලකුණ: [A, B] ≠ 0
ගණිතයෙන් මේ අදහස මෙසේ ලියන්න පුළුවන්:
A·B − B·A ≠ 0
මෙය commutator (එකිනෙක මාරු කිරීමේ වෙනස) ලෙස හැඳින්වෙනවා. ශූන්‍ය වුණොත් ක්‍රමය වැදගත් නැහැ (ආබෙලියානු). ශූන්‍ය නොවුණොත් ක්‍රමය වැදගත් (නොආබෙලියානු).
අලුත් ක්ෂේත්‍රයේ නව වාසනාව
Yang සහ Mills ඉහත පරිච්ඡේදයේ ආලෝකය ලබාගත් ක්‍රමයම SU(2) සමමිතියට යෙදුවා. එවිට නව ගේජ් ක්ෂේත්‍ර තුනක් (A¹, A², A³) අවශ්‍ය වුණා. අපි ඒවා a = 1, 2, 3 ලෙස ලේබල් කළා.
මෙයට අනුරූප ක්ෂේත්‍ර ශක්තිය (ආලෝකයේ විද්‍යුත්/චුම්බක ක්ෂේත්‍ර වලට සමාන) ගණනය කළ විට, අමතර පදයක් මතු වුණා:
F = ∂A − ∂A + g · f · A · A
සම්පූර්ණ ස්වරූපය:
F^a_μν = ∂_μ A^a_ν − ∂_ν A^a_μ + g f^abc A^b_μ A^c_ν
මෙහි අන්තිම පදය g · f · A · A නිසා ගැටලුවක් මතුවෙනවා. මෙය කුමක්ද?
"ඒ අමතර පදය" - ක්ෂේත්‍රය තමන් සමඟම නටනවා
ආලෝකය vs. Yang–Mills ක්ෂේත්‍රය
ආලෝකයේ සමීකරණයේ A·A වැනි පදයක් නැහැ. ඒ නිසා ආලෝක තරංග දෙකක් එකිනෙක හරහා ගමන් කරන විට එකිනෙකට බාධා නොකරයි. ඔබේ ෆ්ලෑෂ් ලයිට් දෙකක් එකිනෙකට හරහා පෙන්වුවොත් ඒවා ගැටෙන්නේ නැහැ.
නමුත් Yang–Mills ක්ෂේත්‍රයේ A·A පදය ඇත. එහි අරුත:
ක්ෂේත්‍රය තමා විසින්ම තමාව ජනනය කරනවා.
සරල ආදර්ශයක්
මේ අදහස අවබෝධ කරගැනීමට සරල ගණිත ආදර්ශයක් ගනිමු. (මෙය සැබෑ Yang–Mills සමීකරණය නොවෙයි. එහි එක ලක්ෂණයක් පෙන්වන්න හදන ආදර්ශයකි.)
රේඛීය (ආලෝකය වැනි) පද්ධතිය:
A’’ = 0
මෙහි A’’ යනු A හි දෙවන අවකලනය. විසඳුම් දෙකක් A₁ සහ A₂ ඇතැයි සිතන්න. ඒවා එකතු කළොත් A₁ + A₂ ද විසඳුමක්ම වෙනවා. මෙයට Superposition (අධිස්ථාපනය) කියනවා.
දැන් nonlinear පද්ධතිය බලන්න:
A’’ + g · A² = 0
A₁ සහ A₂ වෙන වෙනම විසඳුම් නම්, ඒවා එකතු කර A = A₁ + A₂ ආදේශ කළ විට:
(A₁’’ + g·A₁²) + (A₂’’ + g·A₂²) + 2g · A₁ · A₂
මුල් වරහන් දෙක ශූන්‍යයි. ඒත් 2g·A₁·A₂ ශූන්‍ය නොවෙයි!
මේ “2g·A₁·A₂” යනු A₁ සහ A₂ අතර සංවාදයයි. එක් ක්ෂේත්‍රයක් අනෙකා සමඟ අන්තර්ක්‍රියා කරනවා.
ආලෝකය: පුද්ගලයින් දෙදෙනෙක් එකිනෙකා නොදැක, ස්වාධීනව ගමන් කරනවා.
Yang–Mills: පුද්ගලයින් දෙදෙනෙක් එකිනෙකා දැක, එකිනෙකා සමඟ කතා කරනවා.
ඇයි මෙය අවශ්‍ය වුණේ?
මෙතැන සුන්දරම කොටස: Yang සහ Mills නිකම්ම මේ A·A පදය එකතු කළේ නැහැ. ඔවුන් සමමිතිය රැකීමට ඇති ගණිතය ඔස්සේ ගියා. එවිට සමමිතිය රැකෙන්නේ මේ පදය තිබුණොත් පමණයි යන්න ගණිතයෙන් පැහැදිලි වුණා.
ඒ බව මෙසේ දකින්න පුළුවන්. පොත පෙරළීමේදී ක්‍රමය වැදගත් බව අපි දුටුවා. ක්ෂේත්‍රයන් එකිනෙක කැරකෙන විට, ඒ ක්‍රමයේ වෙනස (commutator) ගණිතයේ දී g·f·A·A ලෙස මතු වෙනවා:
[T^b, T^c] = i · f^bca · T^a
මෙහි f (structure constants) යනු "කැරකැවීම් කොතරම් ක්‍රමය මත රඳා පවතීද" යන්න ලියූ සංඛ්‍යා වගුවක්. SU(2) සඳහා එය අපි දන්නා cross product (දෛශික ගුණිතය) හි ලකුණු ε (එපිසිලෝන්) ම යි.
f = 0 නම් (ආලෝකය) අමතර පදය නැහැ. f ≠ 0 නම් (SU(2), SU(3)) එය ස්වයංක්‍රීයව මතු වෙනවා.
භෞතික විද්‍යාවේ සුන්දරම ලක්ෂණය
Yang සහ Mills ගේ ආදර්ශයේ තවත් ගැටලුවක් තිබුණා. ඔවුන්ගේ න්‍යාය අනුව ගේජ් අංශුවල ස්කන්ධය ශූන්‍ය විය යුතුයි. එහෙත් න්‍යෂ්ටික බලය ඉතා කෙටි පරාසයකට පමණක් ක්‍රියා කරන නිසා එහි අංශු බර විය යුතුයි.
එකල ප්‍රසිද්ධ Wolfgang Pauli මෙම අදහසටම සමාන ආදර්ශයක් මීට පෙර (1953 දී පමණ) තනිව සිතා ඇති නමුත්, ස්කන්ධ ගැටලුව නිසා එය ප්‍රකාශයට පත් නොකළා යැයි කියැවෙනවා. Yang ඉදිරිපත් කිරීමක් කළ විට, Pauli කතා මැද "ඒ ක්ෂේත්‍රයේ ස්කන්ධය කොපමණ ද?" යැයි නැවත නැවත අසා Yang ව කම්පා කළ බව ප්‍රසිද්ධ කතාවක්.
එම ගැටලුව නිසා Yang–Mills න්‍යාය දශකයකට අධික කාලයක් ලස්සන ගණිතයක්, නමුත් භෞතික විද්‍යාවට අදාළ නැති අදහසක් ලෙස සැලකුණා.
නිහඬ දශක සහ නැවත පැමිණීම
1954 සිට 1970 දක්වා
මෙම කාලය තුළ න්‍යාය කබඩ් එකක තබාගත් ලස්සන ගණිතයක් වගෙයි. සැඟවිලා තිබුනා. නමුත් ගණිතඥයන් ඒ ගැන නොනැවතී සිතුවා. කුඩා පිරිසක් මෙම අදහස පෝෂණය කළා.
ඉලෙක්ට්‍රෝ-දුබල න්‍යාය (1960 දශකය)
Sheldon Glashow (1961), Abdus Salam සහ Steven Weinberg (1967-68) විසින් Yang–Mills අදහස දුබල න්‍යෂ්ටික බලය (වෙනත් න්‍යෂ්ටික බලයක්, විකිරණශීලී ක්ෂය වීමට හේතුව) සහ විද්‍යුත් චුම්බකත්වය එකතු කිරීමට භාවිත කළා.
ඔවුන් සමමිතිය SU(2) × U(1) ලෙස ගත්තා. එවිට ගේජ් අංශු හතරක්: W⁺, W⁻, Z⁰ (බර අංශු) සහ ෆෝටෝනය (බර රහිත).
ඒත් ස්කන්ධ ගැටලුව? පිළිතුර ආවේ Higgs යාන්ත්‍රණය (Peter Higgs, François Englert, Robert Brout, 1964) ඔස්සේ. එයින් W සහ Z අංශුවල ස්කන්ධය න්‍යායේ සමමිතිය නොකඩාම ලබාදෙන ක්‍රමයක් පෙන්වා දුන්නා.
"ඔවුන්ට වටින්නේ නැහැ" යැයි සිතූ ගණිතය සැබෑ වුණා
1971 දී Gerard ‘t Hooft (එවකට තරුණ ශිෂ්‍යයෙක්) සහ ඔහුගේ උපදේශක Martinus Veltman පෙන්වා දුන්නා, Yang–Mills වර්ගයේ න්‍යායන් ගණනය කළ හැකි (renormalizable) බව. එනම් ගණනය කිරීමේදී ඇතිවන අනන්ත අගයන් පාලනය කළ හැකි බව.
මෙය ඉතා වැදගත් සංධිස්ථානයක්. එතැන් සිට මේ න්‍යාය සැබෑ භෞතික විද්‍යාවක් බවට පත්වුණා.
1973 දී CERN හි දුබල උදාසීන ධාරා (neutral currents) සොයාගැනීමෙන් Z අංශුව පිළිබඳ ඉඟියක් ලැබුණා. 1983 දී W සහ Z අංශු සෘජුවම සොයාගන්නා ලද්දේ CERN හිදීයි.
Glashow, Salam, Weinberg 1979 දී නොබෙල් ත්‍යාගය ලැබුවා. ‘t Hooft සහ Veltman 1999 දී.
සමීකරණයේ ඇතුළත ඇති පුදුමය - ප්‍රබල බලය
Quarks ලෝකයට පැමිණීම
1960 දශකයේදී Murray Gell-Mann සහ George Zweig අපූරු අදහසක් ඉදිරිපත් කළා. අපි මෙතෙක් මූලික අංශු ලෙස සැලකූ ප්‍රෝටෝන සහ නියුට්‍රෝන පවා, ඊටත් වඩා කුඩා අංශුවලින් සෑදී තිබිය හැකි බවයි ඒ. Gell-Mann මේ අලුත් අංශුවලට quarks කියලා නමක් දුන්නා.
අද අපි quarks වර්ග හයක් හඳුනාගෙන තිබෙනවා. ඒවා up, down, strange, charm, bottom සහ top ලෙස නම් කරනවා.
සාමාන්‍ය ප්‍රෝටෝනයක ප්‍රධාන quark සංයුතිය up දෙකක් සහ down එකක්. නියුට්‍රෝනයක up එකක් සහ down දෙකක්. හැබැයි මේවා ඇතුළේ gluons සහ තාවකාලික quark–antiquark යුගලත් තිබෙන බව මතක තබාගත යුතුයි.
Quarks වලටත් වර්ණ තිබෙනවාද?
මෙතැනදී භෞතික විද්‍යාඥයන්ට තවත් ප්‍රහේලිකාවක් මතු වුණා.
Δ⁺⁺ නමින් හඳුන්වන අංශුවක් තුළ up quarks තුනක් තිබෙනවා. එහි ඇතැම් ක්වොන්ටම් තත්ත්වයන් සලකා බැලූ විට, මේ quarks තුනම එකම තත්ත්වයක සිටිනවා වගේ පෙනුණා.
නමුත් Pauli Exclusion Principle අනුව, එකම වර්ගයේ fermions දෙකකට එකම සම්පූර්ණ ක්වොන්ටම් තත්ත්වය බෙදාගන්න බැහැ. එහෙම නම් quarks තුනක් මෙසේ එකට පවතින්නේ කොහොමද?
මේ ගැටලුවට විසඳුමක් ලෙස quarks සතුව අප මෙතෙක් නොසලකා හැර තිබුණු තවත් ක්වොන්ටම් ගුණයක් තිබිය හැකි බව යෝජනා වුණා.
ඒ ගුණයට colour charge, එහෙමත් නැත්නම් වර්ණ ආරෝපණය කියලා නමක් දුන්නා.
ඒ අනුව quark එකක් රතු, කොළ හෝ නිල් යන වර්ණ ආරෝපණ තුනෙන් එකක් දරනවා. හැබැයි මේවා අපේ ඇසට පෙනෙන සැබෑ වර්ණ නොවෙයි. ගණිතමය වශයෙන් වෙනස් ක්වොන්ටම් තත්ත්ව තුනක් හඳුනාගන්න යොදාගත් නම් පමණයි.
දැන් අපට එකම වර්ගයේ quarks තුනක් තිබුණත්, ඒවායේ colour තත්ත්වයන් වෙනස් නිසා Pauli නීතියට පටහැනි නොවී ඒවා එකම අංශුවක පැවතිය හැකි ආකාරය තේරුම් ගන්න පුළුවන්.
මෙතැනදී තමයි අපි නැවතත් Yang–Mills න්‍යායට පැමිණෙන්නේ.
1954 දී Yang සහ Mills ඉදිරිපත් කළ මුල් න්‍යාය SU(2) නම් සමමිතික කණ්ඩායමක් මත ගොඩනැගුණා. නමුත් quarks වල colour charge තුන අතර සමමිතිය විස්තර කිරීමට අවශ්‍ය වන්නේ SU(3) නම් තවත් පුළුල් ගණිතමය කණ්ඩායමක්.
සරලව කිව්වොත්, SU(2) සහ SU(3) කියන්නේ එකම ගණිතමය පවුලේ සාමාජිකයන් දෙදෙනෙක්. SU(3) එහි වඩා විශාල, වැඩි නිදහස් මාන සහිත සාමාජිකයා ලෙස සිතන්න පුළුවන්. හැබැයි එය SU(2) එකට තවත් වර්ණයක් එකතු කිරීමක් පමණක් නොවෙයි.
මේ SU(3) සමමිතිය මත ගොඩනැගුණු Yang–Mills න්‍යාය තමයි අද අපි Quantum Chromodynamics (QCD) ලෙස හඳුන්වන්නේ.
එහිදී quarks අතර ප්‍රබල අන්තර්ක්‍රියාව ගෙන යන්නේ gluons අටක්. තවත් අපූරු දෙයක් වන්නේ මේ gluons වලටත් colour charge තිබීම නිසා ඒවා එකිනෙක සමඟ අන්තර්ක්‍රියා කිරීමයි.
අපි කලින් කතා කළ nonlinear ගණිතයේ සැබෑ වැදගත්කම දැන් ටිකෙන් ටික පෙනෙන්න පටන් ගන්නවා.
QCD න්‍යායේ උපත (1973)
1973 වසර ප්‍රබල න්‍යෂ්ටික අන්තර්ක්‍රියාව පිළිබඳ අපේ අවබෝධයේ වැදගත් හැරවුම් ලක්ෂ්‍යයක් වුණා. David Gross, Frank Wilczek සහ David Politzer විසින් ප්‍රබල අන්තර්ක්‍රියාවේ අපූරු ගුණයක් වන Asymptotic Freedom පැහැදිලි කළා. ඒ සොයාගැනීමත් සමඟ SU(3) Yang–Mills න්‍යාය මත ගොඩනැඟුණු Quantum Chromodynamics (QCD) න්‍යායට ශක්තිමත් පදනමක් ලැබුණා.
QCD න්‍යායේ quarks අතර ප්‍රබල අන්තර්ක්‍රියාව මැදිහත් කරන්නේ gluons නම් අංශු අටක්. Glue කියන්නේ මැලියම්. ඒ නමෙන්ම ඒවායේ කාර්යය ගැන යම් අදහසක් අපට ලැබෙනවා.
හැබැයි මෙතැන තවත් අපූරු වෙනසක් තිබෙනවා.
ආලෝකය ගෙන යන photons වලට විද්‍යුත් ආරෝපණයක් නැහැ. ඒ නිසා සාමාන්‍ය විද්‍යුත් චුම්බක න්‍යායේදී photons එකිනෙක සමඟ සෘජුව අන්තර්ක්‍රියා කරන්නේ නැහැ.
නමුත් gluons එහෙම නැහැ. ඒවාම colour charge දරන නිසා, gluons වලට තවත් gluons සමඟත් අන්තර්ක්‍රියා කරන්න පුළුවන්!
ඒ කියන්නේ quarks අතර අන්තර්ක්‍රියාව ගෙන යන අංශු, තමන් අතරත් අන්තර්ක්‍රියා කරන බවයි.
අපි කලින් හඳුනාගත් Yang–Mills සමීකරණයේ g·f·A·A නම් nonlinear පදයෙන් නිරූපණය වන මූලික ගුණය මෙයයි.
ප්‍රබල අන්තර්ක්‍රියාවේ ගණිතය මෙතරම් සංකීර්ණ වීමට මෙයත් එක් ප්‍රධාන හේතුවක්.
ගණිතයේ පුදුම ප්‍රතිඵලය - ආසන්නයේදී නිදහස
"නියතය" නියත නොවේ
අපි බලය මනින g හෝ α_s = g²/4π නම් සංඛ්‍යාව සාමාන්‍යයෙන් නියතයක් (coupling constant) ලෙස හඳුන්වනවා. නමුත් ක්වොන්ටම් ක්ෂේත්‍ර න්‍යායේදී මෙය නියත නොවේ. එය ඔබ කොතරම් ළඟින් බලනවාද යන්න මත වෙනස් වෙනවා.
විද්‍යුත් චුම්බකත්වයේ "තිරය"
රික්තය හිස් නැහැ. එහි ක්ෂණයකට පමණක් පවතින ඉලෙක්ට්‍රෝන-පොසිට්‍රෝන යුගල නිරන්තරයෙන් මතු වී අතුරුදහන් වෙනවා. ඒවා ආරෝපණයක් වටා තිරයක් (screening) නිර්මාණය කරනවා. ඔබ ආරෝපණයට ඈත සිට බැලුවොත්, මේ තිරය නිසා එහි බලපෑම අඩුවෙලා පෙනේ. ළං වී බැලුවොත් බලපෑම වැඩියි.
එනිසා විද්‍යුත් චුම්බක බලය කෙටි දුරේදී වැඩි වෙනවා.
Yang–Mills හි විරුද්ධ ප්‍රතිඵලය!
1973 දී Gross, Wilczek සහ Politzer පුදුම ප්‍රතිඵලයක් ගණනය කර සොයාගත්තා. QCD හි gluons ද වර්ණය රැගෙන යන නිසා, ඔවුන්ගේ වලාකුළ ආරෝපණය පැතිරවූ (anti-screening) වෙනවා. මෙය තිරයට විරුද්ධ ක්‍රියාවක්.
එනම්:
ළං වී බැලුවොත් ප්‍රබල බලය දුර්වල වෙනවා!
ගණිතයෙන් මෙය පෙන්වන්නේ beta ශ්‍රිතය (β) මගින්:
β(g) = − (g³ / 16π²) · ( 11 − (2/3)·n_f )
මෙහි n_f යනු quarks වර්ග ගණන (6ක් ඇත). වරහන් ඇතුළේ 11 ලැබෙන්නේ gluon ස්වයං-අන්තර්ක්‍රියාවෙන් (f ≠ 0 නිසා). (2/3)n_f ලැබෙන්නේ quarks වල තිරය නිසා.
ගණන් කළොත්: 11 − (2/3)(6) = 11 − 4 = 7, එය ධන. ඉදිරියෙන් ඇති ඍණ ලකුණ නිසා, ළං වන විට g අඩු වෙනවා.
ආලෝකයේ (f = 0) මෙම “11” කොටස නැහැ. එනිසා ආලෝකයේ ප්‍රතිඵලය ප්‍රතිවිරුද්ධයි.
මෙයට Asymptotic Freedom (ආසන්නයේ නිදහස) කියනවා. 2004 නොබෙල් ත්‍යාගය මේ සොයාගැනීමට ලැබුණා.
Confinement: quark කිසිවිටක තනිව නොපෙනේ
ප්‍රතිවිරුද්ධ පැත්ත ගනිමු. quarks එකිනෙකාගෙන් ඈත් කළොත්? ඒ අවස්ථාවේ බලය වැඩි වී යනවා.
විද්‍යුත් බලය දුර සමඟ අඩු වෙනවා:
V ≈ − α / r
නමුත් quarks අතර:
V ≈ − (4/3)·α_s / r + σ · r
අන්තිම පදය σ·r වැදගත්. එයින් කියන්නේ දුර (r) වැඩි වන විට ශක්තිය රේඛීයව වැඩි වන බවයි. මේ රබර් පටියක් ඇදගන්නා වගේයි. Gluons එකිනෙකට ඇදෙන නිසා ඒවා පැතිරෙන්නේ නැහැ, තුනී නලයක් (flux tube) ආකාරයට පිහිටනවා.
quark එක තවත් ඈතට ඇද්දොත්, ශක්තිය කොතරම් වැඩි වේද කිවහොත්, නලය කැඩී, නව quark-antiquark යුගලයක් ජනනය වෙනවා. එවිට ඔබට ඉතිරි වන්නේ quark තනිව නොවෙයි, quark යුගල දෙකක් වෙනම.
ඔබට රබර් පටියක් දෙකට කැඩූ විට, ඉතිරි වෙන්නේ කෙළවරවල් දෙකක් සහිත පටි දෙකක්ය. කෙළවරක් පමණක් ඇති පටියක් ඔබට නොලැබේ.
ඒ නිසා ස්වභාවධර්මයේ තනි quark එකක් කිසිවිටක නොපෙනේ. මේ confinement (සිරකරණය).
ඔබේ සිරුරේ බර ඇත්තේ කොහේද?
මෙතැන ඉතා පුදුම කරුණක් තිබෙනවා.
ප්‍රෝටෝනයක් quarks තුනකින් සෑදී ඇති නමුත්, ඒ quarks තුනේ තනි ස්කන්ධයන්ගේ එකතුව ප්‍රෝටෝන ස්කන්ධයෙන් ආසන්න වශයෙන් 1% පමණයි.
ඉතිරි 99% ක් එන්නේ කොහෙන්ද?
ඒ gluon ක්ෂේත්‍රයේ ශක්තියෙන් සහ quarks වල චලන ශක්තියෙන්. ඒ අතර Einstein ගේ සමීකරණය ක්‍රියා කරනවා:
E = m · c² හෙවත් m = E / c²
ප්‍රෝටෝනය ඇතුළේ සිර වී ඇති ගැටුම් සහිත gluon ක්ෂේත්‍රයේ ශක්තිය, ස්කන්ධය බවට පත්වෙනවා.
ඔබේ ශරීරයේ බර බොහෝමයක් සෑදී ඇත්තේ ශක්තියෙන්. එම ශක්තිය ඇති වන්නේ Yang සහ Mills ගේ ඒ අමතර පදයෙන්.
තවමත් විසඳා නැති ප්‍රශ්නය
භෞතික විද්‍යාව සහ ගණිතය
භෞතික විද්‍යාඥයන් Yang–Mills න්‍යාය විශිෂ්ට ලෙස භාවිත කරනවා. පරීක්ෂණ ප්‍රතිඵල ඉතා නිවැරදි ලෙස පුරෝකථනය කරනවා.
නමුත් ගණිතඥයන් ඉල්ලන්නේ පරිපූර්ණ ගණිතමය සාධනයක්. භාවිතයේ සාර්ථකත්වය සහ ගණිතමය පැවැත්ම එකම දේ නොවෙයි.
Clay Mathematics Institute ගේ අභියෝගය (2000)
2000 වසරේදී Clay Mathematics Institute විසින් ගණිතයේ ඉතා අසීරු ගැටලු හතක් (Millennium Prize Problems) නම් කළා. ඒ එක් එක් ගැටලුවට ඩොලර් මිලියනයක ත්‍යාගයක් ඇත.
Yang–Mills ගැටලුව ඒවායින් එකක්:
(1) අවකාශ-කාල මාන හතරක ක්වොන්ටම් Yang–Mills න්‍යාය ගණිතමය වශයෙන් නිවැරදිව පවතින බව සාධනය කරන්න.
(2) එයට mass gap එකක් (රික්තයේ ශක්තියට ඉහළින් ශූන්‍ය නොවන ධන ශක්ති පරතරයක්) ඇති බව පෙන්වන්න.
Mass gap යනු කුමක්ද?
සරලව: හිස්ම තත්වයේ ශක්තිය සහ ඊට ඉහළින් ඇති ඊළඟ අවස්ථාව අතර "පඩිපෙළක්" තිබෙනවා.
ඔබ ඉතා ශක්තිය අඩු "බර රහිත" අංශුවක් සෑදිය නොහැකි බව මෙයින් කියනවා. QCD හි gluons බර රහිත යැයි සමීකරණ කියන නමුත්, සැබෑ ලෝකයේ ඇත්තේ බර ඇති ඒකාබද්ධ අවස්ථා (glueballs) පමණයි.
භෞතික විද්‍යාඥයන් සහ පරිගණක (lattice QCD) අනුකරණ මෙය ඉතා හොඳින් සනාථ කරනවා. නමුත් නිවැරදි ගණිතමය සාධනයක් තවමත් නැහැ.
ඇයි මෙතරම් අසීරුද?
- ක්වොන්ටම් ක්ෂේත්‍රවලට අසීමිත ගණනක් නිදහස් මට්ටම් (degrees of freedom) ඇත.
- ගණනයේදී අනන්ත අගයන් මතු වන අතර ඒවා renormalization ක්‍රමයෙන් පාලනය කරනවා. ගණිතමය වශයෙන් එය නිවැරදි බව පෙන්වීම ඉතා අසීරුයි.
- Nonlinear සමීකරණ (අපේ 2g·A₁·A₂ කතාව) විසඳීම නිර්ණායක සීමාවන් නැති තත්වයක අතිශයින් දුෂ්කරයි.
තරුණ ඔබට පුංචි ආරාධනයක්
අපි මේ කතාව පටන් ගත්තේ කැරකෙන ඔරලෝසු කටුවකින් සහ පොතක් පෙරළා බැලීමෙන්. ඒ වගේ සරල දේවල් දෙකකින් පටන් ගත් ගමන අපව කොතරම් දුරකට රැගෙන ආවාද කියලා මොහොතක් සිතන්න.
සමමිතිය කියන සරල අදහසෙන් පටන්ගෙන, ඒ සමමිතිය රැකගැනීමට ගණිතය අපට අලුත් ක්ෂේත්‍ර හඳුන්වා දුන්නා. ඒ ක්ෂේත්‍ර එකිනෙක සමඟත් අන්තර්ක්‍රියා කළ හැකි බව අපි දැනගත්තා. අවසානයේ ඒ අදහස්ම quarks, gluons සහ ප්‍රෝටෝන ඇතුළේ සැඟවුණු අපූරු ලෝකය තේරුම් ගැනීමට අපට මඟ පෙන්වූවා.
මේ සියල්ල පිටුපස තිබුණේ මිනිසුන් කිහිපදෙනකුගේ කුතුහලයත්, පරිකල්පනයත්, ඒ පරිකල්පනය පරීක්ෂා කිරීමට ඔවුන් යොදාගත් ගණිතයත්.
මට මෙතැනදී තරුණ ඔබට කියන්නට දෙයක් තිබෙනවා.
ගණිතය කියන්නේ විභාගයක ලකුණු ලබාගන්න විතරක් ඉගෙන ගත යුතු විෂයයක් නොවෙයි. එය අපේ ඇසට නොපෙනෙන ලෝකය ගැන සිතන්නත්, ඒ සිතුවිලි නිවැරදිද කියලා පරීක්ෂා කරන්නත් අපට ලැබී තිබෙන අපූරු භාෂාවක්.
ඔබට යමක් ගැන කුතුහලයක් ඇති වුණාම, ඒ ගැන ඔබේම පරිකල්පනයට ඉඩ දෙන්න. අනිත් අය නොඅසන ප්‍රශ්නයක් අහන්න. ඔබටම අමුතුයි කියලා හිතෙන අදහසක් වුණත් එකවර අත්හැර දමන්න එපා.
හැබැයි පරිකල්පනයෙන් පමණක් නතර වෙන්නත් එපා.
ඔබේ අදහස ගණිතයෙන් ලියන්න උත්සාහ කරන්න. එයින් ලැබෙන ප්‍රතිඵල මොනවාද කියලා බලන්න. ඒවා ස්වභාවධර්මය ගැන අප දන්නා දේ සමඟ ගැළපෙනවාද කියලා පරීක්ෂා කරන්න. වැරදුණොත් නැවත සිතන්න.
විද්‍යාව ඉදිරියට ගමන් කරන්නේ එහෙමයි.
වීජ ගණිතය, ත්‍රිකෝණමිතිය, අවකලනය, අනුකලනය, න්‍යාස වැනි දේවල් අද ඔබට පෙනෙන්නේ විභාගයකට ඉගෙන ගන්නා පාඩම් හැටියට වෙන්න පුළුවන්. නමුත් ඒවායේ සැබෑ වටිනාකම ඔබට දැනෙන්නේ ඔබේම ප්‍රශ්නයකට පිළිතුරක් සොයන්න ඒවා භාවිත කරන දවසකයි.
Yang සහ Mills 1954 දී තමන්ගේ ගණිතමය අදහස් ඉදිරිපත් කරන විට, ඒවා පසුකාලීනව quarks සහ gluons විස්තර කරන න්‍යායකට මෙතරම් වැදගත් වේවි කියලා ඔවුන් දැන සිටියේ නැහැ. ඒ අදහස්වල භෞතික වැදගත්කම සම්පූර්ණයෙන් හෙළිවීමට තවත් බොහෝ විද්‍යාඥයන්ගේ දායකත්වයත්, දශක ගණනක පර්යේෂණත් අවශ්‍ය වුණා.
ඒ නිසා අද ඔබට ඇති වන ප්‍රශ්නයක් සුළු දෙයක් කියලා නොසලකා හරින්න එපා. එයට පිළිතුරක් ඔබට අදම නොලැබෙන්න පුළුවන්. සමහරවිට ඔබ සිතන ආකාරය වැරදි වෙන්නත් පුළුවන්. ඒත් එවැනි ප්‍රශ්නයක් පසුපස හඹා යන ගමනේදී ඔබ ඉගෙන ගන්නා දේවල් බොහෝ වටිනවා.
Galileo Galilei වරක් ස්වභාවධර්මය ගණිතයේ භාෂාවෙන් ලියැවී ඇති බව පැවසුවා.
මම ඒ අදහසට තවත් පුංචි දෙයක් එකතු කරන්න කැමතියි.
පරිකල්පනය ඔබට අලුත් ලෝකයක් ගැන සිතන්න ඉඩ දෙනවා. ගණිතය ඒ ලෝකය සැබෑ විය හැකිද කියලා විමසන්න ඔබට උදව් කරනවා.
ඒ දෙකම ඔබේ ජීවිතයේ කොටසක් කරගන්න.
කවදා හරි ඔබත්, අපි කවුරුත් තවම නොදුටු ස්වභාවධර්මයේ අලුත් රටාවක් හඳුනාගන්න පුළුවන්.
එය එසේ නොවුණත්, ඔබ ලෝකය දෙස බලන ආකාරය එදාට අදට වඩා බොහෝ වෙනස් වෙලා තියේවි.
සමහරවිට විද්‍යාව ඉගෙන ගැනීමේ ලස්සනම ප්‍රතිඵලයත් ඒකම වෙන්න ඇති.
වැඩිදුර කියවීමට (ඉංග්‍රීසියෙන්)
- Chen Ning Yang සහ Robert Mills, “Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance” (1954)
- Clay Mathematics Institute: Yang–Mills and Mass Gap (Millennium Problem)
- Frank Wilczek, “The Lightness of Being”
